包絡線

同義語：envelope

概要

包絡線（envelope）とは、平面の曲線の族 $F(x,y,t)=0$ のどの曲線にも接し、自分のどの点でも族のどれかの曲線に接している曲線である。包絡線の点は $F=0$ と $F_t=0$ を同時に満たすので、2 式から $t$ を消した判別集合に含まれるが、判別集合には族の曲線の尖点の軌跡のように包絡線でない部分も混ざる。$F$ と $F_t$ の $(x,y)$ についての Jacobi 行列式が $0$ でなければ、判別集合は陰関数定理により局所的に包絡線になり、さらに $F_{tt}\ne0$ なら、包絡線の近くでは、パラメータの近い族の曲線が片側に 2 本ずつ通り、反対側には通らない。直線の族からアステロイド、法線の族から縮閉線、Clairaut の微分方程式の特異解が得られる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 陰関数定理, 偏微分, 通過領域と包絡線

放物線 $y=x^2$ の接線 $y=2sx-s^2$ を、$s$ を動かしてすべて描くと、直線の群れの縁に放物線そのものが浮かび上がる。このように、曲線の族のどの曲線にも接し、自分のどの点でも族のどれかの曲線に接している曲線を、族の 包絡線（envelope）という。半径 $r$ の円を $x$ 軸に沿って動かすと直線 $y=\pm r$ が、長さ $1$ のはしごを壁と床に沿って滑らせるとアステロイドが、曲線の法線をすべて描くと縮閉線が、それぞれ包絡線として現れる。
族を $F(x,y,t)=0$（$t$ が族のパラメータ）と書くと、包絡線の点は
$$ F(x,y,t)=0,\qquad\frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 $$
を満たす。この 2 式から $t$ を消した集合（判別集合）を求めるのが包絡線の計算の基本である。ただし判別集合には、族の曲線の尖点の軌跡のように包絡線でない部分が混ざることがある。この記事では、包絡線を正確に定義し、(1) 包絡線は判別集合に含まれること、(2) 判別集合が実際に包絡線になる条件（陰関数定理による）、(3) 包絡線の近くでは、パラメータが接点のパラメータに近い族の曲線が、片側に 2 本ずつ通り、反対側には 1 本も通らないこと、を証明する。高校数学での直線の族の扱いは 通過領域と包絡線 にある。

設定と定義

$U\subset\mathbb{R}^2$ を開集合、$I\subset\mathbb{R}$ を開区間とし、$F\colon U\times I\to\mathbb{R}$ を $C^2$ 級の関数とする。$t\in I$ ごとに
$$ C_t:=\{p\in U\mid F(p,t)=0\} $$
とおき、$\{C_t\}_{t\in I}$ を 曲線の族 という。点 $p=(x,y)$ についての偏微分の組を $\nabla F=(F_x,F_y)$ と書き、$t$ についての偏微分を $F_t$、$F_{tt}$ などと書く。$F(p,t)=0$ かつ $\nabla F(p,t)\ne0$ のとき、陰関数定理 により $C_t$ は $p$ の近くで $C^1$ 級の曲線であり、その接線は $\nabla F(p,t)$ に垂直である。このとき $p$ を $C_t$ の 正則点 という。

判別集合

$t\in I$ で $F(p,t)=0$ かつ $F_t(p,t)=0$ となるものがある点 $p\in U$ の全体を、族 $\{C_t\}$ の 判別集合（discriminant set）という。

包絡線

$J\subset I$ を開区間とする。$C^1$ 級の写像 $\gamma\colon J\to U$ が族 $\{C_t\}$ の 包絡線 であるとは、すべての $t\in J$ について次が成り立つことをいう。

  1. $\gamma(t)\in C_t$。
  2. $\gamma(t)$ は $C_t$ の正則点であり、$\gamma'(t)$ は $C_t$ の $\gamma(t)$ での接線の向きにある。すなわち $\nabla F(\gamma(t),t)\cdot\gamma'(t)=0$。
    さらにすべての $t$ で $\gamma'(t)\ne0$ のとき、正則な包絡線 という。像 $\gamma(J)$ も包絡線と呼ぶ。

2 は「接点 $\gamma(t)$ で、$\gamma$ と $C_t$ が同じ接線をもつ」ことである（$\gamma'(t)=0$ の点では、$\gamma'(t)$ が接線の向きにあるという条件は自動的に満たされる）。包絡線の点は、族のパラメータ $t$ とともに動く。縮閉線 の定義「媒介変数表示の曲線が直線の族の包絡線であること」は、直線の族についての正則な包絡線と同じものである。通過領域と包絡線 の定義「直線の族の包絡線」は包絡線を関数のグラフとして述べたもので、接点を族のパラメータで表すことは求めていない。

包絡線と判別集合

包絡線は判別集合に含まれる

$\gamma\colon J\to U$ が族 $\{C_t\}$ の包絡線なら、すべての $t\in J$ で $F_t(\gamma(t),t)=0$ である。とくに $\gamma(J)$ は判別集合に含まれる。

1 から $F(\gamma(t),t)=0$ がすべての $t\in J$ で成り立つ。$F$ と $\gamma$ は $C^1$ 級なので、連鎖律により $t$ で微分できて
$$ \nabla F(\gamma(t),t)\cdot\gamma'(t)+F_t(\gamma(t),t)=0 $$
である。2 から第 1 項は $0$ なので、$F_t(\gamma(t),t)=0$ である。$\square$

逆向きには、判別集合の点を $t$ の関数として解けることが要る。

判別集合から包絡線を作る

$(p_0,t_0)\in U\times I$ で $F=F_t=0$ であり、
$$ \Delta:=\det\begin{pmatrix}F_x&F_y\\F_{tx}&F_{ty}\end{pmatrix}\ne0\qquad(\text{$(p_0,t_0)$ で}) $$
とする。このとき $\delta>0$、$p_0$ の近傍 $W$、$C^1$ 級の写像 $\gamma\colon(t_0-\delta,t_0+\delta)\to W$ で次を満たすものがある。

  1. $\gamma(t_0)=p_0$ であり、$p\in W$、$|t-t_0|<\delta$ について、$F(p,t)=F_t(p,t)=0$ となるのは $p=\gamma(t)$ のときに限る。
  2. $\gamma$ は族の包絡線である。
  3. さらに $F_{tt}(p_0,t_0)\ne0$ なら $\gamma'(t_0)\ne0$ であり、$\delta$ を小さくとり直せば $\gamma$ は正則な包絡線である。

$\Phi(p,t):=\bigl(F(p,t),F_t(p,t)\bigr)$ とおくと、$F$ が $C^2$ 級なので $\Phi\colon U\times I\to\mathbb{R}^2$ は $C^1$ 級であり、$p$ についての Jacobi 行列の行列式が $\Delta$ である。$\Phi(p_0,t_0)=0$ と $\Delta\ne0$ から、陰関数定理 により、$\delta>0$、$p_0$ の近傍 $W$、$C^1$ 級の $\gamma\colon(t_0-\delta,t_0+\delta)\to W$ があって、$W\times(t_0-\delta,t_0+\delta)$ の中で $\Phi(p,t)=0$ となるのはちょうど $p=\gamma(t)$ のときである。これが 1 である。$\delta$ と $W$ を小さくとり、その範囲で行列式が $0$ にならないようにしておく。
2：$F(\gamma(t),t)=0$ なので $\gamma(t)\in C_t$ である。行列式が $0$ でないので第 1 行 $\nabla F(\gamma(t),t)$ は $0$ でなく、$\gamma(t)$ は $C_t$ の正則点である。$F(\gamma(t),t)=0$ を $t$ で微分すると $\nabla F\cdot\gamma'+F_t=0$ で、$F_t(\gamma(t),t)=0$ なので $\nabla F(\gamma(t),t)\cdot\gamma'(t)=0$ である。
3：$F_t(\gamma(t),t)=0$ を $t$ で微分すると $\nabla F_t(\gamma(t),t)\cdot\gamma'(t)+F_{tt}(\gamma(t),t)=0$ である。$t=t_0$ で $F_{tt}\ne0$ なら $\gamma'(t_0)\ne0$ であり、$\gamma'$ と $F_{tt}$ の連続性から、$t_0$ の近くでも $\gamma'(t)\ne0$ である。$\square$

$\Delta\ne0$ は、$p$ を $p_0$ から動かしたとき、$F=0$ と $F_t=0$ の 2 つの条件が独立に変わることを表す。$F_{tt}\ne0$ は、接点 $\gamma(t)$ が $t$ とともに実際に動くことを保証する。
包絡線は「隣り合う曲線の交点の極限」とも見られる。$G(p,t,h):=\int_0^1F_t(p,t+sh)\,ds$ は $C^1$ 級で、$h\ne0$ では $G=\bigl(F(p,t+h)-F(p,t)\bigr)/h$、$h=0$ では $G=F_t$ である。$(F,G)$ に $(t,h)$ をパラメータとして陰関数定理を当てると（$h=0$ での行列式は $\Delta$）、$p_0$ の近くの解 $p(t,h)$ がただ 1 つあり、$h\to0$ で $\gamma(t)$ に近づく。$h\ne0$ のとき $p(t,h)$ は $C_t$ と $C_{t+h}$ の交点である。

包絡線の両側

パラメータを接点のパラメータの近くに限ると、包絡線は族の曲線が通る範囲（通過領域と包絡線 の通過領域）の縁になる。次の定理はこれを述べる。パラメータの離れた曲線は反対側も通りうる（$y=x^3$ の接線の族では、平面のどの点にも接線が通る）。

包絡線の片側で曲線が 2 本通る

$(p_0,t_0)\in U\times I$ で $F=F_t=0$、$F_{tt}\ne0$、$\nabla F\ne0$ とする。このとき $\delta>0$、$p_0$ の近傍 $W$、$C^1$ 級の関数 $m\colon W\to\mathbb{R}$ で $m(p_0)=0$、$\nabla m(p_0)\ne0$ となるものがあり、次が成り立つ。

  1. $p\in W$ について、$|t-t_0|<\delta$ で $p\in C_t$ となる $t$ の個数は、$m(p)F_{tt}(p_0,t_0)<0$ なら $2$、$m(p)=0$ なら $1$、$m(p)F_{tt}(p_0,t_0)>0$ なら $0$ である。
  2. $E:=\{p\in W\mid m(p)=0\}$ は $p_0$ を通る $C^1$ 級の曲線で、$|t-t_0|<\delta$ の範囲で $F=F_t=0$ となる点 $p\in W$ の全体に等しい。$E$ の各点 $p$ で、$E$ は $p$ を通るただ 1 本の曲線 $C_t$（$|t-t_0|<\delta$）に接する。

$F$ を $-F$ に替えても主張は変わらないので、$F_{tt}(p_0,t_0)>0$ としてよい。
段 1（谷の底）。$\delta>0$ と $p_0$ の近傍 $W_0$ を、$W_0\times[t_0-\delta,t_0+\delta]$ の上で $F_{tt}>0$ となるようにとる。$F(p_0,t_0)=F_t(p_0,t_0)=0$ で $t\mapsto F(p_0,t)$ は狭義凸なので、$F(p_0,t_0\pm\delta)>0$ である。$F_t=0$ に 陰関数定理 を当て（$F_{tt}\ne0$）、連続性も使って $W\subset W_0$ を小さくとると、$C^1$ 級の $\tau\colon W\to(t_0-\delta,t_0+\delta)$ で $F_t(p,\tau(p))=0$、$\tau(p_0)=t_0$ となるものがあり、さらに $W$ の上で $F(p,t_0\pm\delta)>0$ である。$t\mapsto F_t(p,t)$ は狭義単調増加なので、$|t-t_0|<\delta$ で $F_t(p,t)=0$ となる $t$ は $\tau(p)$ だけである。
段 2（数える）。$p\in W$ を固定し、$g(t):=F(p,t)$ とおく。$g$ は $[t_0-\delta,t_0+\delta]$ で狭義凸で、両端で正、ただ 1 つの臨界点 $\tau(p)$ で最小値 $m(p):=F(p,\tau(p))$ をとる。$m(p)<0$ なら、中間値の定理により $\tau(p)$ の左右に 1 つずつ零点があり、狭義凸なのでそれ以外にはない。$m(p)=0$ なら零点は $\tau(p)$ だけ、$m(p)>0$ なら零点はない。$F_{tt}>0$ なので、これが 1 である。
段 3（$m$ の勾配と接すること）。連鎖律と $F_t(p,\tau(p))=0$ から
$$ \nabla m(p)=\nabla F(p,\tau(p))+F_t(p,\tau(p))\,\nabla\tau(p)=\nabla F(p,\tau(p)) $$
で、$\nabla m(p_0)=\nabla F(p_0,t_0)\ne0$ である。$W$ を小さくとれば $W$ の上で $\nabla m\ne0$ で、陰関数定理 により $E$ は $C^1$ 級の曲線である。段 1 から、$|t-t_0|<\delta$ で $F(p,t)=F_t(p,t)=0$ となるのは $t=\tau(p)$ かつ $m(p)=0$ のときに限る。$p\in E$ を通る $C_t$（$|t-t_0|<\delta$）は 1 から $C_{\tau(p)}$ だけで、$E$ の法線 $\nabla m(p)$ は $C_{\tau(p)}$ の法線 $\nabla F(p,\tau(p))$ と等しいので、両者は $p$ で接する。$\square$

thm-env-construct の仮定 $\Delta\ne0$ と $F_{tt}\ne0$ がともに成り立つときは、$p_0$ の近くで $E$ は正則な包絡線 $\gamma$ の像に一致する（どちらも $t_0$ に近い $t$ で $F=F_t=0$ となる点の全体）。thm-env-fold は $\Delta\ne0$ を仮定しないので、$E$ が 1 本の曲線 $C_{t_0}$ そのものになる場合も含む（ex-env-counterexamples の 2）。

例

直線の族

$p\colon I\to\mathbb{R}$ を $C^2$ 級とし、直線の族 $F(x,y,t)=x\cos t+y\sin t-p(t)$ を考える。$u(t):=(\cos t,\sin t)$、$u^\perp(t):=(-\sin t,\cos t)$ とおくと $F_t=(x,y)\cdot u^\perp-p'$、$F_{tt}=-(x,y)\cdot u-p''$ で、$\Delta=\det(u,u^\perp)=1\ne0$ がいつも成り立つ。$F=F_t=0$ を解くと
$$ \gamma(t)=p(t)\,u(t)+p'(t)\,u^\perp(t),\qquad\gamma'(t)=\bigl(p(t)+p''(t)\bigr)\,u^\perp(t) $$
で（$u'=u^\perp$、$(u^\perp)'=-u$）、thm-env-construct によりこれが包絡線である。$\gamma(t)$ では $F_{tt}=-(p+p'')$ なので、$p+p''\ne0$ の範囲で正則であり、$p+p''=0$ となる $t$ で $\gamma'=0$ になる。

  1. $p\equiv r>0$ なら $\gamma(t)=r\,u(t)$ で、包絡線は半径 $r$ の円である。凸集合の 支持関数 を $p$ にとると、族は支持直線の族になる。
  2. はしごの族 $\frac{x}{\sin t}+\frac{y}{\cos t}=1$（$0< t<\frac\pi2$、両端が座標軸の上にある長さ $1$ の線分を延ばした直線）は、$x\cos t+y\sin t=\sin t\cos t$ と書けるので $p(t)=\frac12\sin2t$ である。$\gamma(t)=(\sin^3t,\cos^3t)$ となり、包絡線はアステロイド $x^{2/3}+y^{2/3}=1$ の第 1 象限の部分である（アステロイド）。$p+p''=-\frac32\sin2t$ は $0< t<\frac\pi2$ で $0$ にならないので $\gamma$ は正則で、$t\to0$、$t\to\frac\pi2$ で $\gamma(t)$ はアステロイドの尖点 $(0,1)$、$(1,0)$ に近づく。
動く円

$r>0$ とし、$F(x,y,t)=(x-t)^2+y^2-r^2$（中心 $(t,0)$、半径 $r$ の円）とする。$F_t=-2(x-t)$ なので、$F=F_t=0$ は $x=t$、$y=\pm r$ である。$(p_0,t_0)=((t_0,r),t_0)$ では $\nabla F=(0,2r)$、$\nabla F_t=(-2,0)$ で $\Delta=4r\ne0$、$F_{tt}=2\ne0$ なので、$\gamma(t)=(t,r)$ は正則な包絡線である。thm-env-fold の証明の $\tau$ は $\tau(x,y)=x$ で、$m(x,y)=F(x,y,x)=y^2-r^2$ である。$|y|< r$ の点には $t=x\pm\sqrt{r^2-y^2}$ の 2 つの円が通り、$|y|>r$ の点には 1 つも通らない。

法線の族と縮閉線

平面曲線の法線の族の包絡線は、曲率中心の軌跡である縮閉線である（縮閉線 の系「縮閉線は法線の包絡線」。曲率半径の微分が $0$ でない範囲で）。楕円 $(a\cos t,b\sin t)$（$a>b>0$）の法線は $F=ax\sin t-by\cos t-(a^2-b^2)\sin t\cos t$ で表され、縮閉線は $\gamma(t)=\bigl(\frac{a^2-b^2}a\cos^3t,\ -\frac{a^2-b^2}b\sin^3t\bigr)$ である。

Clairaut の微分方程式

$f$ を開区間の上の $C^2$ 級の関数で、その区間で $f''\ne0$ とする。微分方程式 $y=xy'+f(y')$ は、各 $c$ について直線 $y=cx+f(c)$ を解にもつ（$y'=c$ を代入すればよい）。この直線の族 $F=cx+f(c)-y$ では $F_c=x+f'(c)$、$\nabla F=(c,-1)$、$\nabla F_c=(1,0)$ で $\Delta=1\ne0$、$F_{cc}=f''(c)\ne0$ なので、包絡線
$$ \gamma(c)=\bigl(-f'(c),\ f(c)-cf'(c)\bigr) $$
は正則である。$x=-f'(c)$ は $c$ について狭義単調なので、$\gamma$ はある関数 $y=\varphi(x)$ のグラフで、傾きは $\frac{dy}{dx}=\frac{-cf''(c)}{-f''(c)}=c$ である。よって $\varphi(x)=xc+f(c)=x\varphi'(x)+f(\varphi'(x))$ となり、包絡線も同じ微分方程式の解である。$\varphi''(x)=\frac{dc}{dx}=-\frac1{f''(c)}\ne0$ なので $\varphi$ は 1 次関数でなく、直線の族のどれでもない解（特異解）である。$f(c)=-\frac{c^2}4$ なら、直線は $y=cx-\frac{c^2}4$、包絡線は放物線 $y=x^2$ で、冒頭の接線の族と同じものである。

仮定を外すと成り立たなくなること

判別集合の点がいつも包絡線の点とは限らない。次の表の各行は、定理の仮定を 1 つだけ外している。

外す条件反例成り立たなくなること
$\Delta\ne0$（$C_t$ が正則でない）尖点をもつ曲線の族 $(y-t)^2=x^3$判別集合は尖点の軌跡 $x=0$ で、族の曲線に接しない（thm-env-construct の 2）
$\Delta\ne0$（$C_t$ は正則）$y=x^3$ の接線の族 $y=3t^2x-2t^3$、$p_0=(1,0)$、$t_0=0$$t_0$ の近くで $F=F_t=0$ となるのは直線 $C_0$ 全体で、$t$ ごとの 1 点にならない（thm-env-construct の 1）
$F_{tt}\ne0$（thm-env-construct の 3）楕円の法線の族、$t_0=0$縮閉線の $t=0$ で $\gamma'(0)=0$ となり、包絡線が尖る
$F_{tt}\ne0$（thm-env-fold）平行な直線の族 $y=t^3$、$p_0=(0,0)$、$t_0=0$どの点にも直線がちょうど 1 本通り、2 本の側と 0 本の側に分かれない
表の反例の確かめ

どの行も、外す条件のほかは定理の仮定を満たしている。

4 つの確かめを開く

1. $F=(y-t)^2-x^3$ では $F_t=-2(y-t)$ で、$F=F_t=0$ は $y=t$、$x=0$ である。$\gamma(t)=(0,t)$ は $F=F_t=0$ を満たすが、そこで $\nabla F=(-3x^2,2(y-t))=0$ なので $\Delta=0$ で、$\gamma(t)$ は $C_t$ の正則点でない。$C_t$ は $y-t=\pm x^{3/2}$（$x\ge0$）で、$\gamma(t)$ での尖点の向きは水平だが、$\gamma'(t)=(0,1)$ は垂直である。$F_{tt}=2\ne0$。

2. $F=y-3t^2x+2t^3$ では $F_t=6t(t-x)$、$\nabla F=(-3t^2,1)$、$\nabla F_t=(-6t,0)$ で、$(p_0,t_0)$ では $\nabla F=(0,1)\ne0$、$\nabla F_t=0$ なので $\Delta=0$、$F_{tt}=-6x+12t=-6\ne0$ である。$p$ が $(1,0)$ に近く $t$ が $0$ に近いと $t-x\ne0$ なので、$F_t=0$ は $t=0$ に限られ、$F=F_t=0$ の点は直線 $y=0$ の全体である。$t\ne0$ の $C_t$ は $(1,0)$ の近くで $y\approx3t^2>0$ を通り、$y=0$ に接しない。thm-env-fold は成り立っていて、$m(x,y)=y$、$E$ は $C_0$ そのものである（$y>0$ の点には $C_t$ が 2 本通る）。

3. ex-env-normals の $F$ で、$F_t=ax\cos t+by\sin t-(a^2-b^2)\cos2t$、$F_{tt}=-ax\sin t+by\cos t+2(a^2-b^2)\sin2t$ である。$t_0=0$、$p_0=\gamma(0)=\bigl(\frac{a^2-b^2}a,0\bigr)$ では $F_{tt}=0$、$\nabla F=(0,-b)$、$\nabla F_t=(a,0)$ で $\Delta=ab\ne0$ である。$\gamma'(t)=\bigl(-\frac{3(a^2-b^2)}a\cos^2t\sin t,\ -\frac{3(a^2-b^2)}b\sin^2t\cos t\bigr)$ は $t=0$ で $0$ である（縮閉線 の例「反例：曲率が極値をとる点で尖る」と同じ現象）。

4. $F=y-t^3$ では $F_t=-3t^2$、$F_{tt}=-6t$ で、$(p_0,t_0)$ で $F=F_t=0$、$\nabla F=(0,1)\ne0$、$F_{tt}=0$ である。点 $(x,y)$ を通る直線は $t=y^{1/3}$ のただ 1 本である。

補足

定義の流儀
  1. 文献によっては、判別集合そのもの、または隣り合う曲線の交点の極限の集合を包絡線と呼ぶ。この記事の定義では、ex-env-counterexamples の 1 の判別集合と、2 の判別集合のうち直線 $y=0$ の部分は、包絡線にならない（2 の判別集合の残りの部分は曲線 $y=x^3$ そのもので、これは包絡線である）。
  2. 3 変数の関数 $F(x,y,z,t)$ で定まる曲面の族でも、$F=F_t=0$ から $t$ を消して包絡面を考える。
  3. 微分方程式の解の族の包絡線は、族に属さない解（特異解）になることがある（ex-env-clairaut）。

関連項目

Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する

Mathpediaを支援する
包絡線