自由積

文字 $g\in G_\lambda$ に対し、写像 $L_g\colon W\to W$、$L_g(w):=g\cdot w$ を考える（free-product-def の場合分けにより $g\cdot w$ は簡約語である）。
(a) $g,h\in G_\lambda$ について $L_g\circ L_h=L_{gh}$、また $L_{e_\lambda}=\operatorname{id}_W$ である。後者は定義そのものである。前者を $w=(g_1,\ldots,g_n)$ について場合分けで確かめる。$g=e_\lambda$ または $h=e_\lambda$ のときは明らかなので、$g,h\ne e_\lambda$ とする。
(i) $n=0$ または $g_1\notin G_\lambda$ のとき：$h\cdot w=(h,g_1,\ldots,g_n)$ である。$gh\ne e_\lambda$ なら $g\cdot(h\cdot w)=(gh,g_1,\ldots,g_n)=(gh)\cdot w$、$gh=e_\lambda$ なら $g\cdot(h\cdot w)=w=(gh)\cdot w$ である。
(ii) $g_1\in G_\lambda$ かつ $hg_1\ne e_\lambda$ のとき：$h\cdot w=(hg_1,g_2,\ldots,g_n)$ であり、$g\cdot(h\cdot w)$ は $ghg_1\ne e_\lambda$ なら $(ghg_1,g_2,\ldots,g_n)$、$ghg_1=e_\lambda$ なら $(g_2,\ldots,g_n)$ である。一方 $(gh)\cdot w$ は、$gh=e_\lambda$ なら $w$ であり、このとき $ghg_1=g_1\ne e_\lambda$ なので $g\cdot(h\cdot w)=(g_1,g_2,\ldots,g_n)=w$ と一致する。$gh\ne e_\lambda$ なら $(gh)\cdot w$ は $(gh)g_1=ghg_1$ が単位元かどうかに応じて $(ghg_1,g_2,\ldots,g_n)$ または $(g_2,\ldots,g_n)$ であり、やはり一致する。
(iii) $g_1\in G_\lambda$ かつ $hg_1=e_\lambda$ のとき：$h\cdot w=(g_2,\ldots,g_n)$ であり、$n=1$ または $g_2\notin G_\lambda$ なので $g\cdot(h\cdot w)=(g,g_2,\ldots,g_n)$ である。一方、$gh=e_\lambda$ なら $g=h^{-1}=g_1$ であり $(gh)\cdot w=w=(g,g_2,\ldots,g_n)$ で一致する。$gh\ne e_\lambda$ なら $(gh)g_1=g(hg_1)=g\ne e_\lambda$ なので $(gh)\cdot w=(g,g_2,\ldots,g_n)$ で一致する。
(a) により $L_g\circ L_{g^{-1}}=L_{g^{-1}}\circ L_g=\operatorname{id}_W$ なので各 $L_g$ は全単射であり、$g\mapsto L_g$ は $G_\lambda$ から $W$ の対称群 $\mathrm{Sym}(W)$ への準同型である。
(b) 簡約語 $w=(g_1,\ldots,g_n)$ に対し $L_w:=L_{g_1}\circ L_{g_2}\circ\cdots\circ L_{g_n}\in\mathrm{Sym}(W)$ とおく（$n=0$ なら $\operatorname{id}_W$）。定義により $w\,w'=L_w(w')$ であり、とくに $L_w(())=w$ である（$g_n\cdot()=(g_n)$、$g_{n-1}\cdot(g_n)=(g_{n-1},g_n)$、……と、簡約語の条件から毎回第 2 の場合が起こる）。したがって $w\mapsto L_w$ は単射である。
(c) 簡約語 $u=(h_1,\ldots,h_m)$ と文字 $g\in G_\lambda$ について $L_{g\cdot u}=L_g\circ L_u$ である。実際、$g=e_\lambda$ なら両辺とも $L_u$ である。$m=0$ または $h_1\notin G_\lambda$ なら $g\cdot u=(g,h_1,\ldots,h_m)$ で、定義から $L_{g\cdot u}=L_g\circ L_{h_1}\circ\cdots=L_g\circ L_u$ である。$h_1\in G_\lambda$、$gh_1\ne e_\lambda$ なら $g\cdot u=(gh_1,h_2,\ldots)$ で、(a) により $L_{gh_1}=L_g\circ L_{h_1}$ なので $L_{g\cdot u}=L_g\circ L_u$ である。$gh_1=e_\lambda$ なら $g\cdot u=(h_2,\ldots)$ で、$L_g\circ L_u=L_g\circ L_{h_1}\circ L_{h_2}\circ\cdots=L_{e_\lambda}\circ L_{h_2}\circ\cdots=L_{g\cdot u}$ である。
(d) (c) を繰り返すと、簡約語 $w=(g_1,\ldots,g_n)$ と $w'$ について $L_{w\,w'}=L_{g_1\cdot(\cdots(g_n\cdot w'))}=L_{g_1}\circ\cdots\circ L_{g_n}\circ L_{w'}=L_w\circ L_{w'}$ である。
(e) 結論。$S:=\{L_w\mid w\in W\}\subset\mathrm{Sym}(W)$ とおく。(d) により $S$ は合成で閉じており、$L_{()}=\operatorname{id}_W\in S$ であり、$\bar w:=(g_n^{-1},\ldots,g_1^{-1})$（これは簡約語である）について $L_{\bar w}\circ L_w=L_{g_n^{-1}}\circ\cdots\circ L_{g_1^{-1}}\circ L_{g_1}\circ\cdots\circ L_{g_n}=\operatorname{id}_W$ なので $S$ は逆元でも閉じている。よって $S$ は $\mathrm{Sym}(W)$ の部分群である。(b) により $w\mapsto L_w$ は $W$ から $S$ への全単射であり、(d) によりこの全単射は $W$ の積を $S$ の合成に写す。ゆえに $W$ は群であり、単位元は $()$、$w$ の逆元は $L_{\bar w}=L_w^{-1}$ に対応する $\bar w$ である。$\square$

1. $g,h\in G_\lambda$ について $\iota_\lambda(g)\,\iota_\lambda(h)=g\cdot\iota_\lambda(h)$ であり、free-product-def の場合分けにより、これは $gh\ne e_\lambda$ なら $(gh)$、$gh=e_\lambda$ なら $()$、すなわち $\iota_\lambda(gh)$ である。よって $\iota_\lambda$ は準同型であり、$g\ne e_\lambda$ なら $\iota_\lambda(g)=(g)\ne()$ なので単射である。長さ $1$ の語 $(g)$ はその文字の属する群を決めるので、異なる $\lambda,\mu$ について像の共通部分は空語だけである。
2. 存在：簡約語 $w=(g_1,\ldots,g_n)$（$g_i\in G_{\lambda_i}$）に対し $\varphi(w):=\varphi_{\lambda_1}(g_1)\varphi_{\lambda_2}(g_2)\cdots\varphi_{\lambda_n}(g_n)$（空語には $e_H$）と定める。$\varphi\circ\iota_\lambda=\varphi_\lambda$ は明らかである。準同型性を示す。まず文字 $g\in G_\lambda$ と簡約語 $u=(h_1,\ldots,h_m)$ について $\varphi(g\cdot u)=\varphi_\lambda(g)\varphi(u)$ である：free-product-def の四つの場合それぞれで、$\varphi_\lambda(g)=e_H$（第 1 の場合）、$\varphi(g\cdot u)=\varphi_\lambda(g)\varphi_{\mu_1}(h_1)\cdots$（第 2 の場合）、$\varphi_\lambda(gh_1)=\varphi_\lambda(g)\varphi_\lambda(h_1)$（第 3 の場合）、$\varphi_\lambda(g)\varphi_\lambda(h_1)=\varphi_\lambda(gh_1)=e_H$（第 4 の場合）により成り立つ。これを繰り返せば $\varphi(w\,w')=\varphi_{\lambda_1}(g_1)\cdots\varphi_{\lambda_n}(g_n)\varphi(w')=\varphi(w)\varphi(w')$ である。一意性：$\underset{\lambda}{\ast}G_\lambda$ の任意の元 $(g_1,\ldots,g_n)$ は $\iota_{\lambda_1}(g_1)\cdots\iota_{\lambda_n}(g_n)$ に等しい（free-product-prf-group (b) の計算）ので、$\varphi$ は $\iota_\lambda$ との合成で決まる。$\square$

$P:=\langle\bigsqcup X_\lambda\mid\bigsqcup R_\lambda\rangle$ とおき、$P$ が族 $\{G_\lambda\}$ の余積の普遍性を満たすことを示せば、余積(圏論)の記事の命題「構造射を保つ一意な同型」により $P\cong\underset{\lambda}{\ast}G_\lambda$ である。まず、包含 $X_\lambda\to\bigsqcup X_\mu$ は $R_\lambda$ を $P$ の単位元に写すので、群の表示の記事の命題「表示からの準同型」により準同型 $j_\lambda\colon G_\lambda=\langle X_\lambda\mid R_\lambda\rangle\to P$ を定める。群 $H$ と準同型の族 $\varphi_\lambda\colon G_\lambda\to H$ が与えられたとき、写像 $\bigsqcup X_\lambda\to H$ を $X_\lambda$ 上で $\varphi_\lambda$ の制限と定めると、各 $R_\lambda$ の元は $\varphi_\lambda$ により単位元に写るので、同じ命題により準同型 $\varphi\colon P\to H$ で $\varphi\circ j_\lambda=\varphi_\lambda$ を満たすものが存在する。$P$ は $\bigsqcup X_\lambda$ の像、したがって $\bigcup_\lambda j_\lambda(G_\lambda)$ で生成されるので、この $\varphi$ は一意である。$\square$

いずれも余積の普遍性の帰結である。$(G\ast H)\ast K$ が族 $\{G,H,K\}$ の余積であることを示す：群 $L$ と準同型 $\varphi_G,\varphi_H,\varphi_K$ が与えられたとき、free-product-prop-coproduct により $\varphi_G,\varphi_H$ は $\psi\colon G\ast H\to L$ に一意に延び、さらに $\psi,\varphi_K$ は $(G\ast H)\ast K\to L$ に一意に延びる。逆にこの三つの群からの構造射との合成が $\varphi_G,\varphi_H,\varphi_K$ である準同型は、$G\ast H$ への制限が一意性から $\psi$ に一致し、続いて全体が一意に決まる。よって $(G\ast H)\ast K$ は $\{G,H,K\}$ の余積であり、同様に $G\ast(H\ast K)$ もそうである。同じ族の余積は構造射を保つ一意な同型で結ばれる（余積(圏論)の記事の命題「構造射を保つ一意な同型」）。可換律は族 $\{G,H\}$ の余積が添字の順序によらないことから、単位は free-product-ex-trivial から従う。$\square$

$g\in G\setminus\{e_G\}$、$h\in H\setminus\{e_H\}$ をとる。$n\ge1$ に対し、$g,h$ を交互に $n$ 回ずつ並べた長さ $2n$ の語 $w_n:=(g,h,g,h,\ldots,g,h)$ は、単位元を含まず隣り合う文字が異なる群に属するので簡約語である。相異なる $n$ について $w_n$ は長さが異なるので相異なる元であり、$G\ast H$ は無限群である。また $(g,h)$ と $(h,g)$ はともに簡約語であり、列として異なるので $G\ast H$ の相異なる元である。$(g,h)=\iota_G(g)\,\iota_H(h)$、$(h,g)=\iota_H(h)\,\iota_G(g)$（free-product-prf-group (b)）なので、$\iota_G(g)$ と $\iota_H(h)$ は可換でない。よって $G\ast H$ は非可換である。最後に $x:=(g,h)$ とおくと、$x^n$ は $(g,h)$ を $n$ 回並べた語を簡約したものであるが、$h$ と $g$ は異なる群の文字なので簡約は起こらず $x^n=w_n\ne()$ である。よって $x$ は無限位数である。$\square$

$F:=\underset{\lambda}{\ast}G_\lambda$、$A:=\bigoplus_\lambda G_\lambda^{\mathrm{ab}}$ とおき、$A$ への標準的な単射を $\eta_\lambda\colon G_\lambda^{\mathrm{ab}}\to A$ とする。以下、アーベル群への準同型がアーベル化を経由すること（$\psi\colon G\to B$、$B$ がアーベル群ならば $[G,G]\subset\ker\psi$ なので $\psi=\bar\psi\circ\alpha_G$ となる $\bar\psi$ が一意に存在する）を繰り返し使う。
$F\to A$ の構成：準同型の族 $\eta_\lambda\circ\alpha_{G_\lambda}\colon G_\lambda\to A$ に free-product-prop-coproduct を適用して $\varphi\colon F\to A$ を得る。$A$ はアーベル群なので $\varphi=\bar\varphi\circ\alpha_F$ となる $\bar\varphi\colon F^{\mathrm{ab}}\to A$ がある。
$A\to F^{\mathrm{ab}}$ の構成：$\alpha_F\circ\iota_\lambda\colon G_\lambda\to F^{\mathrm{ab}}$ はアーベル群への準同型なので $\psi_\lambda\colon G_\lambda^{\mathrm{ab}}\to F^{\mathrm{ab}}$ を経由する。直和はアーベル群の圏の余積なので、$\psi_\lambda$ の族は $\psi\colon A\to F^{\mathrm{ab}}$ で $\psi\circ\eta_\lambda=\psi_\lambda$ を満たすものに一意に延びる。
互いに逆であること：$\psi\circ\bar\varphi\circ\alpha_F\circ\iota_\lambda=\psi\circ\eta_\lambda\circ\alpha_{G_\lambda}=\psi_\lambda\circ\alpha_{G_\lambda}=\alpha_F\circ\iota_\lambda$ である。$F$ は $\bigcup_\lambda\iota_\lambda(G_\lambda)$ で生成されるので $F^{\mathrm{ab}}$ は $\bigcup_\lambda\alpha_F\iota_\lambda(G_\lambda)$ で生成され、したがって $\psi\circ\bar\varphi=\operatorname{id}$ である。同様に $\bar\varphi\circ\psi\circ\eta_\lambda\circ\alpha_{G_\lambda}=\bar\varphi\circ\alpha_F\circ\iota_\lambda=\eta_\lambda\circ\alpha_{G_\lambda}$ であり、$A$ は $\bigcup_\lambda\eta_\lambda(G_\lambda^{\mathrm{ab}})$ で生成され $\alpha_{G_\lambda}$ は全射なので $\bar\varphi\circ\psi=\operatorname{id}$ である。$\square$