既約空間

1 点集合は既約である（閉集合は空集合と全体だけで、全体を 2 つの空集合の和には書けない）。より一般に、空でない集合 $X$ に密着位相（開集合が $\emptyset$ と $X$ だけ）を入れると、空でない開集合は $X$ だけなので prop-irreducible-space-equivalent の条件 (ii) が成り立ち、$X$ は既約である。

2 点集合 $\{0,1\}$ に開集合 $\emptyset,\{1\},\{0,1\}$ を入れた Sierpiński空間 も既約である。空でない開集合 $\{1\}$ と $\{0,1\}$ はどちらも点 $1$ を含むので、互いに交わる。一方、2 点集合に離散位相を入れると、$\{0\}$ と $\{1\}$ が交わらない空でない開集合なので可約である。

無限集合 $X$ に余有限位相（空集合と、補集合が有限な集合を開集合とする位相）を入れると、$X$ は既約である（余有限位相 の記事の命題「空でない開集合の交わり」の 2）。実際、空でない開集合 $U,V$ の補集合はどちらも有限集合なので、$X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$ は有限集合であり、$X$ は無限集合だから $U\cap V\neq\emptyset$ となる。

無限体 $k$ 上の直線 $k$ に古典的な Zariski 位相（多項式の零点集合を閉集合とする位相）を入れたものは、この位相空間である（余有限位相 の記事の例「無限体上の直線の Zariski 位相」）。したがって無限体上の直線は既約である。

$A$ を整域とすると、$X=\operatorname{Spec}A$ は既約であり、零イデアル $(0)$ の閉包は $X$ 全体である（Zariski位相 の記事の命題「既約閉集合と素イデアルの対応」の 3）。たとえば $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$、体 $k$ 上の $\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]=\mathbb{A}^n_k$、離散付値環のスペクトルは既約である。$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ については、真の閉部分集合が有限個の素数の点からなる有限集合であり、無限集合 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ が 2 つの有限集合の和にならないことからも直接分かる（既約成分 の記事の例「整数環のスペクトル」）。

$k$ を無限体とし、$k^n$ に古典的な Zariski 位相を入れる。空でないアフィン代数的集合 $V\subset k^n$ が既約であることと、その座標環 $k[V]$ が整域であることは同値である（座標環 の記事の命題「既約性と整域性」）。とくに $k^n$ 自身（座標環は多項式環）や、放物線 $V(y-x^2)\subset k^2$（座標環は $k[x]$ に同型）は既約である。

$k$ が有限体なら事情が違う。$k^n$ の 1 点 $\{a\}$ は $x_1-a_1,\dots,x_n-a_n$ の共通零点なので閉集合であり、$k^n$ は有限集合なので、すべての部分集合が有限個の点の和として閉集合になる。つまり古典的な Zariski 位相は離散位相であり、$k^n$ は（$k^n$ が 2 点以上なら）可約である。一方、スキーム $\mathbb{A}^n_k=\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]$ は多項式環が整域なので $k$ によらず既約である（ex-irreducible-space-domain）。スキームの点には $k$ に座標をもつ点のほかに生成点などの点があり、それが既約性を回復している。

$\mathbb{C}^n$（$n\ge1$）は古典的な Zariski 位相では既約である（ex-irreducible-space-classical）。同じ集合に通常の（Euclid の）位相を入れると、$\mathbb{C}^n$ は Hausdorff空間で 2 点以上をもつので可約である（prop-irreducible-space-hausdorff）。たとえば $\mathbb{C}$ の 2 つの開円板 $\{\lvert z\rvert<1\}$ と $\{\lvert z-3\rvert<1\}$ は交わらない空でない開集合である。Zariski 位相は通常の位相より真に粗く（Zariski位相 の記事の例「反例：複素数空間の Zariski 位相と通常の位相」）、閉集合が少ないことが既約性を生んでいる。

$k$ を体、$A:=k[x,y]/(xy)$、$X:=\operatorname{Spec}A$ とし、$x,y$ の像も $x,y$ と書く。$A/(x)\cong k[y]$ と $A/(y)\cong k[x]$ は整域なので $(x)$ と $(y)$ は素イデアルである。$X=V(xy)=V(x)\cup V(y)$ は 2 つの閉集合の和であり（素イデアルは $xy=0$ を含むので $x$ か $y$ を含む）、点 $(x)$ は $V(x)$ に属するが $V(y)$ に属さない（$y\notin(x)$。$A/(x)\cong k[y]$ での $y$ の像は $0$ でない）。同様に点 $(y)$ は $V(y)$ に属するが $V(x)$ に属さない。よって $V(x),V(y)$ はどちらも真の閉部分集合であり、$X$ は可約である。

一方、$(x)$ は素イデアルなので $V(x)=\overline{\{(x)\}}$ であり（Zariski位相 の記事の命題「点の閉包と閉点」）、1 点の閉包は既約である（生成点 の記事の補題「1 点の閉包は既約」）。よって $V(x)$ は既約、したがって連結であり、$V(y)$ も同様である。両者は点 $(x,y)$（原点）を共有するので、連結空間 の記事の命題「共通点をもつ族の和」により $X$ は連結である。この例は満たす性質「連結」、満たさない性質「既約」を示し、含意「連結ならば既約」を破る。$x$ 軸と $y$ 軸という 2 つの既約な部分が $X$ の既約成分である（既約成分 の記事の例「2 本の座標軸」）。

$k$ を体、$X:=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[x]$ とする。$X$ は既約である（ex-irreducible-space-domain）。$a\neq b$ を $k$ の元とし、閉点 $p:=(x-a)$、$q:=(x-b)$ をとる（$k[x]/(x-a)\cong k$ は体なので $p$ は極大イデアルであり、$\{p\}=V(x-a)$ は閉集合である）。$Y:=\{p,q\}=V\bigl((x-a)(x-b)\bigr)$ は $X$ の閉集合であるが、$Y=\{p\}\cup\{q\}$ は $Y$ の 2 つの真の閉部分集合の和なので、$Y$ は既約でない。

この例は、満たす性質「既約空間の閉部分集合である」、満たさない性質「既約」を示し、含意「既約空間の部分集合は既約である」を破る。開部分集合については prop-irreducible-space-equivalent の条件 (v) によりこの含意が正しく、また稠密な部分集合についても正しい（prop-irreducible-space-closure-image の 1）。$Y$ は閉集合で $X$ と異なるので、$X$ で稠密でない。

$\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ は 1 点なので既約である。しかし $\mathbb{R}$ 上のファイバー積 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{R}}\operatorname{Spec}\mathbb{C}=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C})$ は既約でない。実際、$\mathbb{C}=\mathbb{R}[t]/(t^2+1)$ から
$$ \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}[t]/(t^2+1)=\mathbb{C}[t]/\bigl((t-i)(t+i)\bigr)\cong\mathbb{C}[t]/(t-i)\times\mathbb{C}[t]/(t+i)\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C} $$
であり（最後から 2 番目の同型は、$(t-i)$ と $(t+i)$ が $(t-i)-(t+i)=-2i$ から互いに素なので中国剰余定理による）、体の直積 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ のスペクトルは 2 点の離散空間である（アフィンスキーム の記事の例「体の直積のスペクトル」）。この計算は Vak25 Example 10.2.3 にある。

この例は、満たす性質「既約なスキームのファイバー積である」、満たさない性質「既約」を示し、積位相についての prop-irreducible-space-product の結論がスキームのファイバー積では成り立たないことを示す。スキームのファイバー積の位相は、底の位相空間の積位相ではない（アフィン平面の場合は Zariski位相 の記事の例「反例：平面の Zariski 位相は直積位相でない」）。代数閉体 $k$ の上では、既約な $k$ 上の代数多様体の $k$ 上の積は既約である（Vak25 Proposition 11.2.11 (b)。この記事では証明しない）。

$k$ を体とし、$\mathbb{P}^n_k$ を $n+1$ 個のアフィン空間 $U_i\cong\operatorname{Spec}k[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i]$（$x_i/x_i$ を除いた $n$ 変数の多項式環）を貼り合わせたスキームとする（スキーム の記事の例「射影空間の貼り合わせ」）。各 $U_i$ は多項式環が整域なので既約である（ex-irreducible-space-domain）。$i\neq j$ について、$U_i\cap U_j$ は $U_i$ の基本開集合 $D(x_j/x_i)$ であり、$x_j/x_i$ は多項式環の $0$ でない元なので冪零でなく、$D(x_j/x_i)\neq\emptyset$ である（アフィンスキーム の記事の命題「Zariski位相の基本性質」の 5）。prop-irreducible-space-cover の 1 により $\mathbb{P}^n_k$ は既約である。