対数関数

$\exp$ は $\mathbb{R}$ 上で連続かつ狭義単調増加で、どの点でも $\exp'=\exp>0$ である（指数関数 の記事の定理「指数関数の導関数」と命題「正値性と単調性」）。$x>0$ に対し $t:=\log x$ とおくと、連鎖律 の記事の系「逆関数の微分公式」により $\log$ は $x=\exp t$ で微分可能で
$$ \log'x=\frac1{\exp'(t)}=\frac1{\exp(\log x)}=\frac1x $$
である。微分可能な関数は連続である（導関数 の記事の命題「微分可能ならば連続」）。

$x=1$ なら両辺とも $0$ である。$x>1$ とすると、$1/t$ は $[1,x]$ 上で連続なので Riemann積分 可能であり、thm-logf-derivative により $\log$ は $[1,x]$ 上で連続、$(1,x)$ 上で微分可能で導関数は $1/t$ である。微分積分学の基本定理 の記事の定理「原始関数による積分の計算」により $\int_1^x\frac{dt}t=\log x-\log1=\log x$ である。$0< x<1$ なら $[x,1]$ 上で同じ定理を使い、$\int_x^1\frac{dt}t=\log1-\log x=-\log x$ から従う。
後半：$L=\log$ はいま示したとおりである。$L(1)=0$ は定義から、$L'(x)=1/x$ は $\log'x=1/x$ から従う。$1/t$ が連続であることから 微分積分学の基本定理 の記事の系「連続関数の原始関数」を使って直接 $L'=1/x$ を示すこともできる。

指数関数 の記事の定理「指数法則」により $e^{\log x+\log y}=e^{\log x}e^{\log y}=xy$ である。$\log(xy)$ は $e^u=xy$ を満たすただ 1 つの $u$ なので、$\log(xy)=\log x+\log y$ である。$y$ の代わりに $1/y$ を使うと、$\log y+\log(1/y)=\log1=0$ から $\log(1/y)=-\log y$ となり、2 つめの式を得る。3 つめは $\log(x^r)=\log(e^{r\log x})=r\log x$ である。

def-logf-base により $\frac{\log_bx}{\log_ba}=\frac{\log x/\log b}{\log a/\log b}=\frac{\log x}{\log a}=\log_ax$ である。残りの 2 式は、thm-logf-product の両辺を $\log a$ で割ればよい。

$\log'x=1/x>0$ なので、平均値の定理 の記事の系「導関数の符号と増減」により狭義単調増加である。全単射な写像の逆写像は全単射である。$M>0$ に対し $x>e^M$ なら $\log x>\log e^M=M$ なので $\log x\to\infty$（$x\to\infty$）であり、$0< x< e^{-M}$ なら $\log x<-M$ なので $\log x\to-\infty$（$x\to+0$）である。最後の主張は $\log1=0$ と単調性による。

指数関数 の記事の命題「正値性と単調性」の 3 により、すべての実数 $u$ で $e^u\geq1+u$ であり、等号は $u=0$ に限る。$u=\log x$ とおくと $x\geq1+\log x$、すなわち $\log x\leq x-1$ で、等号は $\log x=0$、すなわち $x=1$ に限る。$x$ の代わりに $1/x$ を代入すると $-\log x\leq\frac1x-1$、すなわち $\log x\geq1-\frac1x$ で、等号は $x=1$ に限る。

$x>1$ とし $t:=\varepsilon\log x>0$ とおくと、$x^\varepsilon=e^{\varepsilon\log x}=e^t$、$\log x=t/\varepsilon$ なので
$$ \frac{\log x}{x^\varepsilon}=\frac1\varepsilon\,t\,e^{-t} $$
である。$x\to\infty$ のとき prop-logf-monotone により $t\to\infty$ であり、指数関数 の記事の命題「指数関数はどの冪よりも速く増える」（$m=1$）により $te^{-t}\to0$ なので、前半を得る。後半は $x=1/u$ とおくと $x^\varepsilon\log x=-\frac{\log u}{u^\varepsilon}$ であり、$x\to+0$ のとき $u\to\infty$ なので前半から従う。

$t\ne-1$ と $n\geq1$ について、有限の等比数列の和の公式から
$$ \frac1{1+t}=\sum_{k=0}^{n-1}(-t)^k+\frac{(-t)^n}{1+t} $$
である。連鎖律により $\frac{d}{dt}\log(1+t)=\frac1{1+t}$（$t>-1$）なので、$-1< x\leq1$ について両辺を $0$ から $x$ まで積分すると（微分積分学の基本定理 の記事の定理「原始関数による積分の計算」。$x<0$ なら $\int_0^x:=-\int_x^0$）
$$ \log(1+x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+r_n(x),\qquad r_n(x):=(-1)^n\int_0^x\frac{t^n}{1+t}\,dt $$
を得る。$r_n(x)\to0$（$n\to\infty$）を示せばよい。
$0\leq x\leq1$ のとき、$0\leq t\leq x$ で $0\leq\frac{t^n}{1+t}\leq t^n$ なので $|r_n(x)|\leq\int_0^xt^n\,dt=\frac{x^{n+1}}{n+1}\leq\frac1{n+1}\to0$ である。
$-1< x<0$ のとき、$x\leq t\leq0$ で $1+t\geq1+x>0$、$|t|^n\leq|x|^n$ なので $|r_n(x)|\leq\int_x^0\frac{|t|^n}{1+t}\,dt\leq\frac{|x|^n\,|x|}{1+x}$ であり、$|x|<1$ なので $0$ に収束する。
積分の大小の比較には Riemann積分 の記事の命題「積分の単調性と絶対値の評価」を使った。

$a<0$ とし、$z_n:=a-i/n$ とおくと $z_n\to a$ である。$\operatorname{Im}z_n<0$ なので、$\theta_n:=\operatorname{Arg}z_n$ は $\sin\theta_n=\operatorname{Im}z_n/|z_n|<0$ を満たし、$-\pi<\theta_n\leq\pi$ と合わせて $-\pi<\theta_n<0$ である。したがって $\operatorname{Im}\operatorname{Log}z_n=\theta_n<0$ である。もし $\operatorname{Log}$ が $a$ で連続なら $\operatorname{Im}\operatorname{Log}z_n\to\operatorname{Im}\operatorname{Log}a=\operatorname{Arg}a=\pi$ となるが、$\theta_n<0$ なので極限は $0$ 以下であり（数列の極限 の記事の命題「極限は大小関係を保つ」）、矛盾する。