第1Chern類

層の列の完全性は各点の茎で調べればよい。$\mathbb{Z}\to\mathcal{O}_X$ は整数値の定数関数への包含であり単射である。$e^{2\pi if}=1$ を満たす正則関数 $f$ は連結な開集合（連結空間）上で離散集合 $\mathbb{Z}$ に値をとる連続写像なので局所定数であり、よって $\exp(2\pi i\,\cdot)$ の核は $\mathbb{Z}$ の像に一致する。全射性を示す。$g\in\mathcal{O}^*(U)$ と $x\in U$ に対し、$g(x)\neq0$ なので $g(x)$ のある近傍 $W\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上で対数の正則な枝 $\log$（対数関数）がとれる。$g$ の連続性から $x$ の近傍 $V$ で $g(V)\subset W$ となるものをとると、$f:=\frac{1}{2\pi i}\log g$ は $V$ 上正則で $e^{2\pi if}=g$ を満たす。よって $\exp(2\pi i\,\cdot)$ は茎の上で全射である。

複素多様体上の外微分（外微分）は $d=\partial+\bar\partial$ と分解し、$\partial^2=\bar\partial^2=0$、$\partial\bar\partial=-\bar\partial\partial$ が成り立つ（Dolbeaultコホモロジー）。

1. $U_i\cap U_j$ の各点の近傍で対数の枝をとると $\log h_j=\log h_i+\log g_{ij}+\log\bar g_{ij}$ であり、枝の違いは定数なので微分に影響しない。$g_{ij}$ は正則なので $\partial\log g_{ij}=g_{ij}^{-1}\partial g_{ij}$ は係数が正則な $(1,0)$ 形式であり、$\bar\partial$ で消える。$\bar g_{ij}$ は反正則なので $\partial\log\bar g_{ij}=0$ である。よって $\bar\partial\partial\log|g_{ij}|^2=0$ となり、主張が従う。
2. $\bar\partial\partial u=(\partial+\bar\partial)\partial u=d(\partial u)$ であるから $\Theta_h$ は局所的に完全、とくに閉である。実性は、実関数 $u$ に対し $\overline{\bar\partial\partial u}=\partial\bar\partial u=-\bar\partial\partial u$ であることから
   $$ \overline{\Theta_h}=\overline{\left(\tfrac{i}{2\pi}\right)}\cdot\overline{\bar\partial\partial\log h_i}=\left(-\tfrac{i}{2\pi}\right)\cdot\left(-\bar\partial\partial\log h_i\right)=\Theta_h $$
   と従う。
3. $h'_i/h_i=|g_{ij}|^{-2}h'_j\cdot|g_{ij}|^{2}h_j^{-1}=h'_j/h_j$ なので、$u:=\log(h'_i/h_i)$ は $X$ 全体の実 $C^\infty$ 関数である。2 の計算により
   $$ \Theta_{h'}-\Theta_h=\frac{i}{2\pi}\bar\partial\partial u=d\left(\frac{i}{2\pi}\partial u\right) $$
   は完全形式である。

def-first-chern-class-line-bundle により、共通の開被覆上で $L$、$M$ の変換関数を $(g_{ij})$、$(h_{ij})$ とすると $L\otimes M$ の変換関数は $(g_{ij}h_{ij})$ であり、$H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$ の（乗法的に書いた）群演算はコサイクルの積で与えられる。よって $[L\otimes M]=[L]\cdot[M]$、$[\mathcal{O}_X]=1$ である。連結準同型 $\delta\colon H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to H^2(X,\mathbb{Z})$ はアーベル群の準同型（長完全列の一般論）なので
$$ c_1(L\otimes M)=\delta([L]\cdot[M])=\delta[L]+\delta[M]=c_1(L)+c_1(M),\qquad c_1(\mathcal{O}_X)=\delta(1)=0 $$
である。Čech 表示では、$e^{2\pi if_{ij}}=g_{ij}$、$e^{2\pi if'_{ij}}=h_{ij}$ ならば $e^{2\pi i(f_{ij}+f'_{ij})}=g_{ij}h_{ij}$ であり、対応する整数コサイクルは $c_{ijk}+c'_{ijk}$ である。位相的定義に基づく別証明（$\mathbb{CP}^\infty\times\mathbb{CP}^\infty$ 上の普遍的な直線束の対と Künnethの公式を用いるもの）は Chern類 の記事にある。

関数の引き戻し $g\mapsto g\circ f$ は $Y$ 上の層の射 $f^{-1}\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_Y$ を与え、これは $f^{-1}\mathcal{O}_X^*\to\mathcal{O}_Y^*$ に制限され、定数層の上では $f^{-1}\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ の恒等写像である。逆像関手 $f^{-1}$ は完全（完全関手）なので、$X$ の指数完全列の逆像 $0\to\mathbb{Z}\to f^{-1}\mathcal{O}_X\to f^{-1}\mathcal{O}_X^*\to0$ は $Y$ 上の短完全列（短完全列）であり、上の射は指数関数と可換（$e^{2\pi i(g\circ f)}=e^{2\pi ig}\circ f$）なので、$Y$ 上の短完全列の射
$$ \left(0\to\mathbb{Z}\to f^{-1}\mathcal{O}_X\to f^{-1}\mathcal{O}_X^*\to0\right)\longrightarrow\left(0\to\mathbb{Z}\to\mathcal{O}_Y\to\mathcal{O}_Y^*\to0\right) $$
を得る。短完全列の射は長完全列の射を誘導し、とくに連結準同型と可換である。一方、写像 $H^q(X,\mathcal{F})\to H^q(Y,f^{-1}\mathcal{F})$ も短完全列の連結準同型と可換であり（層コホモロジーの関手性）、$\mathcal{F}=\mathbb{Z}$ のときこれは特異コホモロジーの $f^*$ に対応する（Bre97 III.1）。以上を合わせると $\delta_Y\circ f^*=f^*\circ\delta_X\colon H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to H^2(Y,\mathbb{Z})$ である。最後に、$L$ の変換関数が $(g_{ij})$ なら $f^*L$ の変換関数は被覆 $\{f^{-1}(U_i)\}$ 上の $(g_{ij}\circ f)$ であるから $[f^*L]=f^*[L]$ である。よって
$$ c_1(f^*L)=\delta_Y[f^*L]=\delta_Y(f^*[L])=f^*(\delta_X[L])=f^*c_1(L) $$
である。

$L\otimes L^\vee\cong\mathcal{O}_X$（局所枠 $e$ とその双対枠 $e^\vee$ に対し $e\otimes e^\vee$ は枠のとり方によらない至るところ零でない大域切断）なので、prop-first-chern-class-additive により $0=c_1(\mathcal{O}_X)=c_1(L)+c_1(L^\vee)$ である。後半は加法性を $|k|$ 回使う。

1. 完全性の証明は prf-first-chern-class-exponential-sequence と同じである（対数の枝は $C^\infty$ 関数に対しても $C^\infty$ である）。$\mathcal{E}_X$ はパラコンパクト空間上の細層（1 の分割をもつ $\mathcal{E}_X$ 加群の層）なので $H^q(X,\mathcal{E}_X)=0$（$q\ge1$）である（Bre97 II.9、GH78 Chapter 0 §3）。長完全列
   $$ H^1(X,\mathcal{E}_X)\to H^1(X,\mathcal{E}_X^*)\xrightarrow{\delta_{\mathcal{E}}}H^2(X;\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathcal{E}_X) $$
   の両端が $0$ なので $\delta_{\mathcal{E}}$ は同型である。
2. def-first-chern-class-line-bundle の議論で「正則」を「$C^\infty$」に置き換えればよい。$C^\infty$ 直線束の変換関数は $\mathcal{E}_X^*$ 係数の 1 コサイクルであり、枠の取り替えはコホモロガスなコサイクルを与え、逆に任意の 1 コサイクルから直線束が貼り合わせで作られる。
3. 包含 $\mathcal{O}_X\subset\mathcal{E}_X$ は指数関数と可換なので、$X$ 上の短完全列の射
   $$ \left(0\to\mathbb{Z}\to\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X^*\to0\right)\longrightarrow\left(0\to\mathbb{Z}\to\mathcal{E}_X\to\mathcal{E}_X^*\to0\right) $$
   を与え、$\mathbb{Z}$ の上では恒等写像である。連結準同型の自然性により $\delta_{\mathcal{E}}\circ\iota=\delta$（$\iota\colon H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to H^1(X,\mathcal{E}_X^*)$ は正則直線束を $C^\infty$ 直線束とみる写像）であり、これが主張である。最後の同値は 1 と 2 から従う。

最初の等号は thm-first-chern-class-comparison の 2 と de Rham の定理（de Rham 類と特異ホモロジー類の対は積分で与えられる）による。第 2 の等号を示す。$Z:=\{p_1,\dots,p_r\}$ を $\operatorname{div}(s)$ の台、$m_k:=\operatorname{ord}_{p_k}(s)$ とする。$X\setminus Z$ 上で $s$ は正則な局所枠なので、$h_s:=h(s,s)$ とおくと def-first-chern-class-chern-weil により $X\setminus Z$ 上で
$$ \Theta_h=\frac{i}{2\pi}\bar\partial\partial\log h_s=d\eta,\qquad\eta:=\frac{i}{2\pi}\partial\log h_s $$
である（prf-first-chern-class-curvature-form の 2）。各 $p_k$ のまわりに座標円板 $D_k$（座標 $z_k$、$z_k(p_k)=0$）と枠 $e_k$ をとり、単元を $e_k$ に吸収して $D_k$ 上 $s=z_k^{m_k}e_k$ としてよい。$h_k:=h(e_k,e_k)$ とおくと $h_s=|z_k|^{2m_k}h_k$ であり、$D_k\setminus\{p_k\}$ 上で
$$ \eta=\frac{i}{2\pi}\left(m_k\frac{dz_k}{z_k}+\partial\log h_k\right) $$
である（$\partial\log\bar z_k=0$）。$D_k(\varepsilon):=\{|z_k|<\varepsilon\}$、$X_\varepsilon:=X\setminus\bigcup_kD_k(\varepsilon)$ とおく。$\Theta_h$ は $X$ 全体で滑らかなので $\int_X\Theta_h=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{X_\varepsilon}\Theta_h$ である。$X_\varepsilon$ は境界付きコンパクト多様体で、その境界は円周 $\{|z_k|=\varepsilon\}$ に、円板 $D_k(\varepsilon)$ の境界としての向き（反時計回り）と逆の向きを入れたものである。Stokes の定理（Stokesの定理）により
$$ \int_{X_\varepsilon}\Theta_h=\int_{X_\varepsilon}d\eta=\int_{\partial X_\varepsilon}\eta=-\sum_{k=1}^r\oint_{|z_k|=\varepsilon}\eta $$
である。ここで
$$ \oint_{|z_k|=\varepsilon}\frac{i}{2\pi}\,m_k\frac{dz_k}{z_k}=\frac{i}{2\pi}\,m_k\cdot2\pi i=-m_k $$
であり、$\partial\log h_k=a_k\,dz_k$（$a_k$ は $D_k$ 上の滑らかな関数）なので $\left|\oint_{|z_k|=\varepsilon}\frac{i}{2\pi}\partial\log h_k\right|\le\varepsilon\cdot\sup_{D_k}|a_k|\to0$（$\varepsilon\to0$）である。したがって
$$ \int_X\Theta_h=\lim_{\varepsilon\to0}\left(-\sum_k(-m_k)+o(1)\right)=\sum_km_k=\deg\operatorname{div}(s) $$
である。$s$ によらないことは、左辺が $s$ を含まないことから従う。