体積形式

多重線形性で展開すると $\mu(v_1,\dots,v_n)=\sum_{i_1,\dots,i_n}a_{i_11}\cdots a_{i_nn}\,\mu(e_{i_1},\dots,e_{i_n})$ である。交代性により添字に重複がある項は $0$ であり、残る項は $(i_1,\dots,i_n)=(\sigma(1),\dots,\sigma(n))$（$\sigma$ は置換）で $\mu(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})=\operatorname{sgn}(\sigma)\,\mu(e_1,\dots,e_n)$ となる。よって和は $\sum_\sigma\operatorname{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}\,\mu(e_1,\dots,e_n)=\det(a_{ij})\,\mu(e_1,\dots,e_n)$ である（行列式 の定義）。$\mu(e_1,\dots,e_n)=0$ なら $\mu$ はすべての組で $0$ なので、$\mu\mapsto\mu(e_1,\dots,e_n)$ は単射な線形写像 $\Lambda^n(V^\ast)\to\mathbb{R}$ であり、$e^1\wedge\cdots\wedge e^n$（双対基底の外積）の値が $1$ なので全射でもある。$\square$

各点で $\Lambda^n(T^\ast_xM)$ は 1 次元で $\mu_x\ne0$ なので（lem-volume-form-det）、$\eta_x=f(x)\mu_x$ となる実数 $f(x)$ がただ一つある。局所座標で $\mu=h\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$、$\eta=k\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ と書くと、$h,k$ は滑らかで $h$ は $0$ にならないので $f=k/h$ は滑らかである。$\eta_x\ne0\iff f(x)\ne0$ は明らかである。$f$ が $0$ にならない連続関数なら $\{f>0\}$ と $\{f<0\}$ は互いに交わらない開集合で $M$ を覆うので、$M$ が連結ならどちらかが空である。$\square$

$\{e^I\}$ は $\Lambda^p(V^\ast)$ の基底なので（微分形式 の命題「交代形式の基底と成分表示」）、これを正規直交基底とする内積 $B$ が一つ定まる。$L(\alpha^1,\dots,\alpha^p;\beta^1,\dots,\beta^p):=B(\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p)$ と $R:=\det\bigl(g^\ast(\alpha^i,\beta^j)\bigr)$ は、どちらも $(\alpha^1,\dots,\alpha^p)$ と $(\beta^1,\dots,\beta^p)$ のそれぞれについて多重線形かつ交代的である（$L$ は外積の性質から、$R$ は行列式の行と列の性質から）。このような関数は、$\alpha^a$、$\beta^b$ を基底の元 $e^{i_a}$、$e^{j_b}$ にとり、添字の列が狭義に増加する場合の値で決まる（多重線形性で展開し、交代性で並べ替えると、重複のある項は $0$、ほかは符号をつけて増加列の値になる）。増加列 $I,J$ について $L=B(e^I,e^J)$ は $I=J$ なら $1$、そうでなければ $0$ である。$R=\det(\delta_{i_aj_b})$ は、$I=J$ なら単位行列の行列式 $1$ であり、$I\ne J$ なら $J$ に現れない $i_a$ があってその行がすべて $0$ なので $0$ である。よって $L=R$ である。分解可能な元は $\Lambda^p(V^\ast)$ を張るので、等式を満たす双線形形式は一つしかない。右辺は基底によらないので、内積も基底によらない。$\square$

正の向きの正規直交基底 $(e_i)$ を一つ固定し、$\mu:=e^1\wedge\cdots\wedge e^n$ とおく。任意の基底を $v_j=\sum_ia_{ij}e_i$、$A:=(a_{ij})$ と書くと、外積の定義から $\mu(v_1,\dots,v_n)=\det\bigl(e^i(v_j)\bigr)=\det A$ である。一方 $g(v_j,v_k)=\sum_ia_{ij}a_{ik}$ は ${}^tAA$ の $(j,k)$ 成分なので $\det\bigl(g(v_j,v_k)\bigr)=(\det A)^2>0$ であり、$\mu(v_1,\dots,v_n)=\pm\sqrt{\det(g(v_i,v_j))}$ となる。$(v_j)$ が正の向きであることは $\det A>0$ と同値なので（$(e_i)$ が正の向き）、符号は 2 のとおりである。
2 の右辺は $(e_i)$ によらない。別の正の向きの正規直交基底から同じように作った形式も、すべての基底で同じ値をとるので $\mu$ に等しい。よって 1 が成り立ち、正の向きの正規直交基底 $(e'_i)$ について $\mu(e'_1,\dots,e'_n)=\sqrt{\det(\delta_{ij})}=1$ である。こうして存在が示された。一意性は、$\Lambda^n(V^\ast)$ の元が 1 つの基底での値で決まること（lem-volume-form-det）による。
3：def-volume-form-inner-product により $\langle\mu,\mu\rangle=\det\bigl(g^\ast(e^i,e^j)\bigr)=1$ である。$\Lambda^n(V^\ast)$ の正の向きの元は $c\,\mu$（$c>0$）であり、$\langle c\mu,c\mu\rangle=c^2$ なので、値が $1$ になるのは $c=1$ のときに限る。$\square$

座標枠 $(\partial_1,\dots,\partial_n)$ は各点で正の向きの基底なので、thm-volume-form-riemannian の 2 により $dV_g(\partial_1,\dots,\partial_n)=\sqrt{\det(g_{ij})}$ である。$(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n)(\partial_1,\dots,\partial_n)=\det(\delta_{ij})=1$ なので、$n$ 形式は 1 つの基底での値で決まること（lem-volume-form-det）から等式が従う。$g_{ij}$ は滑らかで $\det(g_{ij})>0$ なので係数は滑らかで正である。最後の主張は thm-volume-form-riemannian の 1 である（Lee12 Proposition 15.29・15.31 も同じ内容）。$\square$

$dy^i=\sum_j(\partial y^i/\partial x^j)\,dx^j$ なので $dy^i(\partial_{x^j})=J_{ij}$ であり、$(dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n)(\partial_{x^1},\dots,\partial_{x^n})=\det J$ である。$n$ 形式は 1 つの基底での値で決まるので第 1 式を得る。連鎖律 $\partial_{x^i}=\sum_kJ_{ki}\,\partial_{y^k}$ から $g^x_{ij}=\sum_{k,l}J_{ki}\,g^y_{kl}\,J_{lj}$、すなわち $(g^x)={}^tJ\,(g^y)\,J$ であり、$\det(g^x)=(\det J)^2\det(g^y)$ となる。2 つの座標は同じ向きなので $\det J>0$ であり、$\sqrt{\det(g^x)}=\det J\sqrt{\det(g^y)}$ である。これと第 1 式から第 2 式が従う。$\square$

$S$ のスライス座標（$S$ との共通部分が $\{x^n=0\}$ で、像が原点中心の立方体になる $M$ の局所座標）で $N$ の成分を $x^n$ によらないように延ばすと、$N$ は局所的に $M$ のベクトル場 $\widetilde N$ の制限になり、$\sigma=\iota_S^\ast(\iota_{\widetilde N}dV_g)$ は滑らかである。$N_x\notin T_xS$ なので、$T_xS$ の基底 $(w_i)$ に $N_x$ を加えた $(N_x,w_1,\dots,w_{n-1})$ は $T_xM$ の基底であり、$dV_g$ は基底で $0$ にならないので $\sigma_x\ne0$ である。よって $\sigma$ は $S$ の体積形式であり、thm-volume-form-riemannian の 2 により $\sigma_x(w)>0$ は $(N_x,w)$ が正の向きであることと同値なので、$\sigma$ の定める向きは主張のとおりである。
$(e_1,\dots,e_{n-1})$ をこの向きで正の向きの $(T_xS,g_S)$ の正規直交基底とすると、$N_x$ は単位ベクトルで $T_xS$ に直交するので $(N_x,e_1,\dots,e_{n-1})$ は $T_xM$ の正規直交基底であり、正の向きである。よって $\sigma_x(e_1,\dots,e_{n-1})=(dV_g)_x(N_x,e_1,\dots,e_{n-1})=1$ となり、thm-volume-form-riemannian の一意性から $\sigma_x=(dV_{g_S})_x$ である。$\square$

$\mu$ を体積形式とする。各連結成分の上で $\mu$ か $-\mu$ が正の向きであり（prop-volume-form-ratio）、$\mu=d\eta$ なら成分ごとに符号を変えたものも $\eta$ の符号を変えて完全形式になるので、$\mu$ は正の向きとしてよい。$M$ を正の向きの有限個の局所座標 $N_1,\dots,N_m$ で覆い、従属する滑らかな 1 の分割 $(\rho_j)$ をとると、$\int_M\mu=\sum_j\int_{x(N_j)}\rho_jf_j\,dx^1\cdots dx^n$（$N_j$ の上で $\mu=f_j\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$、$f_j>0$）である。各項は $0$ 以上の連続関数の積分で、$\rho_j\not\equiv0$ となる項は正なので $\int_M\mu>0$ である。一方 $\mu=d\eta$ なら Stokesの定理 の系「閉多様体上の積分と完全形式」の 1 により $\int_Md\eta=0$ であり、矛盾する。$\square$