Jensenの不等式

$s(u,v):=\frac{\varphi(v)-\varphi(u)}{v-u}$ とする。凸関数 の命題「凸関数の傾きの単調性」の 3 により、$v\mapsto s(m,v)$ は $I\setminus\{m\}$ 上で単調増加である。$t>m$ なら、$0< h< t-m$ について $s(m,t)\ge s(m,m+h)$ で、$h\to+0$ とすると $s(m,t)\ge\varphi'_+(m)\ge a$、すなわち $\varphi(t)-\varphi(m)\ge a(t-m)$ である。$t< m$ なら同様に $s(m,t)\le\varphi'_-(m)\le a$ であり、$t-m<0$ を掛けて同じ不等式を得る。$\square$

$m\in I$。 $I$ の下端を $\alpha$ とする（$\alpha=-\infty$ なら何もしない）。$f\ge\alpha$ なので $m\ge\alpha$ である。$\alpha\notin I$ のとき $m=\alpha$ とすると、$f-\alpha>0$ で $\int(f-\alpha)\,d\mu=0$ となり、$f-\alpha=0$ がほとんど至るところ成り立つことになって（Lebesgue積分 の補題「零集合と積分」）$\mu(\Omega)=1$ に反する。上端についても同じなので $m\in I$ である。
$m$ が $I$ の端点の場合。 たとえば $m=\alpha\in I$ なら、$f-\alpha\ge0$ で積分が $0$ なので $f=m$ がほとんど至るところ成り立つ。このとき $\varphi(f)=\varphi(m)$ がほとんど至るところ成り立ち、両辺は等しい。上端でも同じである。
$m$ が $I$ の内点の場合。 lem-jen-support の支持直線 $\ell(t)=\varphi(m)+a(t-m)$ をとると、$\varphi(f)\ge\ell(f)$ であり、$\ell(f)$ は可積分である。よって $\varphi(f)^-\le\lvert\ell(f)\rvert$ は可積分で、
$$ \int\varphi(f)\,d\mu\ge\int\ell(f)\,d\mu=\varphi(m)+a\Bigl(\int f\,d\mu-m\Bigr)=\varphi(m) $$
である。$\square$

$\varphi(f)-\ell(f)\ge0$ であり、その積分は $\int\varphi(f)\,d\mu-\varphi(m)$ である。これが $0$ であることは、$\varphi(f)=\ell(f)$ がほとんど至るところ成り立つことと同値である（Lebesgue積分 の補題「零集合と積分」）。$\varphi-\ell$ は $0$ 以上の凸関数なので、零点の集合 $\{\varphi-\ell\le0\}$ は区間であり（2 点で $0$ なら間の点でも凸性から $0$ 以下）、その上で $\varphi=\ell$ は 1 次関数である。$\varphi$ が狭義凸なら、この区間は 1 点 $\{m\}$ である。$\square$

$q=\infty$ なら $\lvert f\rvert^p\le\|f\|_\infty^p$ がほとんど至るところ成り立つので、積分して結論を得る。$q<\infty$ とし、$\|f\|_q<\infty$ としてよい。$\lvert f\rvert^p\le1+\lvert f\rvert^q$ なので $g:=\lvert f\rvert^p$ は可積分である。$\varphi(t)=t^{q/p}$ は $[0,\infty)$ 上の凸関数なので、thm-jen-main により $\bigl(\int g\,d\mu\bigr)^{q/p}\le\int g^{q/p}\,d\mu=\int\lvert f\rvert^q\,d\mu$ であり、$\frac1q$ 乗して結論を得る。$\square$

$m\in C$。 $m\notin C$ とすると、開凸集合 $C$ と凸集合 $\{m\}$ は交わらないので、Hahn–Banachの定理 の定理「Hahn–Banachの定理（第一幾何形）」により、$a\in\mathbb R^d$ で $\langle a,x\rangle<\langle a,m\rangle$（$x\in C$）となるものがある（$\mathbb R^d$ 上の線形汎関数は内積で表せる）。$h:=\langle a,m\rangle-\langle a,f\rangle$ は正の値をとる可積分関数で、$\int h\,d\mu=\langle a,m\rangle-\langle a,m\rangle=0$ なので、thm-jen-main の証明と同じく $\mu(\Omega)=1$ に反する。
支持超平面。 $\varphi$ は $m$ で連続なので、$m$ の近くで上に有界である。$C$ の外で $\varphi=+\infty$ とおいた $\mathbb R^d$ 上の凸関数に 劣微分 の定理「連続点での劣微分」を使うと、$g\in\mathbb R^d$ で $\varphi(x)\ge\varphi(m)+\langle g,x-m\rangle$（$x\in C$）となるものがある。$\varphi$ は連続なので $\varphi(f)$ は可測であり、右辺に $f$ を代入した関数は可積分である。あとは thm-jen-main の内点の場合と同じく積分すればよい。$\square$

有理数 $q$ ごとに支持直線 $\ell_q(t):=\varphi(q)+\varphi'_+(q)(t-q)$ をとる（lem-jen-support）。
$\varphi=\sup_q\ell_q$。 $\ell_q\le\varphi$ である。$t\in\mathbb R$ を固定すると、$t-1< q< t+1$ の有理数 $q$ について $\varphi'_+(t-1)\le\varphi'_+(q)\le\varphi'_-(t+1)$（凸関数 の定理「開区間上の凸関数の連続性と片側微分」の 2）なので、$\lvert\varphi'_+(q)\rvert\le C$ となる $C$ がある。$\ell_q(t)\ge\varphi(q)-C\lvert t-q\rvert$ であり、$q\to t$ とすると $\varphi$ の連続性から右辺は $\varphi(t)$ に近づく。
各 $q$ での不等式。 $\ell_q(X)\le\varphi(X)$ に条件付き期待値の線形性と単調性、定数の条件付き期待値はその定数であることを使うと（条件付き期待値 の定理「条件付き期待値の基本性質」の 1・2・4）、ほとんど確実に
$$ \ell_q\bigl(E[X\mid\mathcal G]\bigr)=E[\ell_q(X)\mid\mathcal G]\le E[\varphi(X)\mid\mathcal G] $$
である。
上限をとる。 例外の零集合は $q$ ごとに 1 つで、有理数は可算個なので、その和の外ではすべての $q$ について上の不等式が成り立つ。$q$ について上限をとれば結論を得る。$\square$