Gromov–Witten理論
概要
Gromov–Witten理論（Gromov–Witten theory）とは、シンプレクティック多様体や射影多様体の中の擬正則曲線を、通る点などの条件をつけて数える理論である。整合的な概複素構造の擬正則曲線のエネルギーは $\int u^*\omega$ に等しく、閉曲面からの曲線ではホモロジー類だけで決まる。数えた値である Gromov–Witten 不変量の母関数から量子コホモロジーが作られ、その結合法則（WDVV 方程式）から、$3d-1$ 個の一般の点を通る次数 $d$ の平面有理曲線の個数 $N_d$ を決める Kontsevich の公式が導かれる。
前提知識: シンプレクティック多様体, 概複素構造, Riemann面, コホモロジー
Gromov–Witten理論（Gromov–Witten theory）は、シンプレクティック多様体や射影多様体 $X$ の中の擬正則曲線（正則曲線）を、通る点や交わる部分多様体などの条件をつけて「数える」理論である。数えた結果は Gromov–Witten 不変量 と呼ばれ、$X$ のコホモロジーの元を引数とする多重線形写像として定式化される。不変量の母関数から $H^*(X)$ の積を変形した量子コホモロジーが作られ、その積の結合法則（WDVV 方程式）が数え上げの問題に強い関係式を与える。
起源は二つある。一つは M. Gromov にさかのぼるシンプレクティック幾何学の擬正則曲線の方法、もう一つは場の量子論からの予測と Witten による位相的場の理論の扱いである。Kontsevich と Manin は、不変量の満たすべき性質を公理として整理した（KM94 §1、pp. 1–2。公理の一覧は同 §2）。
この記事は分野の案内である。まず擬正則曲線とエネルギーの関係を定義から証明し、次に安定写像のモジュライ空間・Gromov–Witten 不変量・量子コホモロジーを述べ、代表的な応用として、平面有理曲線の個数についての Kontsevich の公式を量子コホモロジーの結合法則から導く。最後に、ほかの分野との関係と学ぶ順を示す。モジュライ空間の構成とその基本類の存在は深い定理で、この記事では証明しない。
擬正則曲線とエネルギー
$(X,\omega)$ をシンプレクティック多様体とする。$X$ の概複素構造 $J$（$J^2=-1$ となる接束の自己準同型）は、$0$ でないすべての接ベクトル $v$ で $\omega(v,Jv)>0$ のとき $\omega$ に順応する（tame）といい、さらに $\omega(Jv,Jw)=\omega(v,w)$ を満たすとき $\omega$ と整合的（compatible）という。整合的なとき $g_J(v,w):=\omega(v,Jw)$ は Riemann 計量である。
$(\Sigma,j)$ を Riemann面（$j$ はその複素構造）とする。滑らかな写像 $u\colon\Sigma\to X$ が
$$
du\circ j=J\circ du
$$
を満たすとき、$J$ 正則曲線（擬正則曲線）という。整合的な $J$ について、$\Sigma$ に $j$ と両立する面積要素をとって
$$
E(u):=\frac12\int_\Sigma\lvert du\rvert^2_{g_J}
$$
を $u$ のエネルギーという。$\Sigma$ の局所座標 $z=s+it$（$j\partial_s=\partial_t$）では $\lvert du\rvert^2=\lvert\partial_su\rvert^2+\lvert\partial_tu\rvert^2$ と面積要素 $ds\,dt$ を使う。この値は共形な座標のとり方によらない。
$X=\mathbb C^n$、$J$ を $i$ 倍とすると、$J$ 正則曲線は通常の正則写像である。局所座標では方程式は $\partial_tu=J\partial_su$ と書ける。
$J$ が $\omega$ と整合的で、$u\colon\Sigma\to X$ が $J$ 正則曲線ならば、$\Sigma$ の各点で $u^*\omega=\tfrac12\lvert du\rvert^2\,ds\wedge dt$ が成り立つ。したがって
$$
E(u)=\int_\Sigma u^*\omega.
$$
とくに $\Sigma$ が閉 Riemann 面なら $E(u)=\langle[\omega],u_*[\Sigma]\rangle$ であり、エネルギーは $u$ の表すホモロジー類 $A=u_*[\Sigma]\in H_2(X;\mathbb Z)$ だけで決まる。
$v,w\in T_xX$ について、整合性から $g_J(Jv,Jw)=\omega(Jv,J^2w)=-\omega(Jv,w)=\omega(w,Jv)=g_J(w,v)$ なので、$J$ は $g_J$ について直交変換である。局所座標 $s+it$ で $\partial_tu=J\partial_su$ だから、$\lvert\partial_tu\rvert=\lvert\partial_su\rvert$ であり、
$$
u^*\omega(\partial_s,\partial_t)=\omega(\partial_su,J\partial_su)=g_J(\partial_su,\partial_su)=\lvert\partial_su\rvert^2=\tfrac12\bigl(\lvert\partial_su\rvert^2+\lvert\partial_tu\rvert^2\bigr).
$$
よって $u^*\omega=\tfrac12\lvert du\rvert^2ds\wedge dt$ で、積分すると $E(u)=\int_\Sigma u^*\omega$。$\Sigma$ が閉なら、$\omega$ が閉形式であることから $\int_\Sigma u^*\omega$ は $[\omega]$ と $u_*[\Sigma]$ の対 $\langle[\omega],u_*[\Sigma]\rangle$ に等しい（de Rhamの定理）。$\square$
$J$ が $\omega$ と整合的で、$\Sigma$ が連結な閉 Riemann 面のとき、$J$ 正則曲線 $u$ が定数でないことと $\langle[\omega],u_*[\Sigma]\rangle>0$ は同値である。とくに $\langle[\omega],A\rangle\le0$ となる類 $A$ を表す $J$ 正則曲線は定数だけで、$A=0$ である。
thm-gw-energy より $\langle[\omega],u_*[\Sigma]\rangle=E(u)\ge0$ で、$E(u)=0$ と $du\equiv0$ は同値である。$\Sigma$ は連結なので $du\equiv0$ は $u$ が定数であることと同値である。定数写像の表す類は $0$ である。$\square$
閉曲面からの曲線ではエネルギーが類 $A$ で決まるので、類を固定すればエネルギーが一様に抑えられる。これがモジュライ空間のコンパクト性（Gromov のコンパクト性定理）の出発点で、極限では球面が泡のように分かれることがある。そのため曲線の側も節点つきの曲線まで許す（次節の安定写像）。Floer 理論でも同じ議論が使われる（Aur13 注意 1.7、pp. 5–6。Floer理論 の定理「エネルギー等式」）。
安定写像と Gromov–Witten 不変量
ここからは、代数幾何で構成が完成している場合として、凸な射影多様体（$\mathbb P^1$ から $X$ へのすべての正則写像 $\mu$ について $H^1(\mathbb P^1,\mu^*T_X)=0$ となる非特異射影多様体。たとえば射影空間・Grassmann 多様体などの等質空間）の種数 $0$ の理論を述べる（FP97 §1、p. 12）。
$\beta\in H_2(X;\mathbb Z)$ と $n\ge0$ について、$n$ 個の印のついた種数 $0$ の節点つき曲線から $X$ への写像で、像の類が $\beta$ であり、自己同型が有限個のもの（安定写像）の同型類のなす粗モジュライ空間を $\overline M_{0,n}(X,\beta)$ と書く。$i$ 番目の印の像をとる評価写像 $\mathrm{ev}_i\colon\overline M_{0,n}(X,\beta)\to X$ がある。
$X$ を凸な非特異射影多様体とすると、$\overline M_{0,n}(X,\beta)$ は射影的な正規多様体で、その次元は
$$
\dim X+\int_\beta c_1(T_X)+n-3
$$
である（純次元。空のこともある）。
FP97 Theorem 1 と Theorem 2（pp. 11–12）で、この記事では証明しない。たとえば $X=\mathbb P^2$、$\beta=d\,[\text{直線}]$ なら $\int_\beta c_1=3d$ なので、次元は $3d-1+n$ である。
上の設定で、$\gamma_1,\dots,\gamma_n\in H^*(X;\mathbb Q)$ に対し
$$
I_\beta(\gamma_1\cdots\gamma_n):=\int_{\overline M_{0,n}(X,\beta)}\mathrm{ev}_1^*\gamma_1\smile\cdots\smile\mathrm{ev}_n^*\gamma_n
$$
を Gromov–Witten 不変量という（被積分の最高次の成分を基本類で評価する）。$\gamma_i$ が斉次なら、余次元の和がモジュライ空間の次元に等しいときにだけ $0$ でない。
（FP97 (37)、p. 33。）$X$ が等質空間 $G/P$ で、$\gamma_i$ が部分多様体 $\Gamma_i$ の類なら、$\Gamma_i$ を $G$ の一般の元で動かしたとき、$I_\beta(\gamma_1\cdots\gamma_n)$ は「$i$ 番目の印が $\Gamma_i$ に乗る、類 $\beta$ の印つき有理曲線」の実際の個数に等しい（FP97 Lemma 14、p. 34）。$X=\mathbb P^2$、$\gamma_i=[\text{点}]$、$n=3d-1$ のとき、不変量 $N_d:=I_{d[\text{直線}]}([\text{点}]^{3d-1})$ は、一般の位置にある $3d-1$ 個の点を通る次数 $d$ の平面有理曲線の個数である（FP97 p. 41）。
不変量は次の性質を満たす（FP97 §7 の (I)–(III)、pp. 34–35）。
- $\beta=0$ なら、$n=3$ のときだけ $0$ でなく、$I_0(\gamma_1\gamma_2\gamma_3)=\int_X\gamma_1\smile\gamma_2\smile\gamma_3$（古典的な交点数）。
- $\gamma_1=1$ なら、$\beta=0$、$n=3$ のときを除いて $I_\beta(\gamma_1\cdots\gamma_n)=0$。
- $\gamma_1\in H^2(X)$、$\beta\ne0$ なら $I_\beta(\gamma_1\cdots\gamma_n)=\bigl(\int_\beta\gamma_1\bigr)I_\beta(\gamma_2\cdots\gamma_n)$（因子の公理）。
一般の閉シンプレクティック多様体では、モジュライ空間のコンパクト化に擬正則球面を組み込む必要があり、横断性の扱いがずっと難しくなる。この困難は Floer 理論とも共通で、深谷賢治（Kenji Fukaya）と小野薫（Kaoru Ono）の方法をはじめいくつかの解決法が提案されている（AS17 p. 29）。
量子コホモロジー
$H^*(X;\mathbb Q)$ の斉次な基底 $T_0=1,T_1,\dots,T_m$ をとり、$g_{ij}:=\int_XT_i\smile T_j$、その逆行列を $(g^{ij})$ とする。$\gamma=\sum_iy_iT_i$ を形式的な変数 $y=(y_0,\dots,y_m)$ で書き、
$$
\Phi(y):=\sum_{n\ge3}\sum_\beta\frac1{n!}I_\beta(\gamma^n)
$$
を Gromov–Witten ポテンシャルとする（等質空間では各 $n$ で $0$ でない項は有限個なので、$\mathbb Q[\![y]\!]$ の元になる。FP97 Lemma 15 と (46)、pp. 36–37）。$\Phi_{ijk}:=\partial^3\Phi/\partial y_i\partial y_j\partial y_k$ とおき、
$$
T_i*T_j:=\sum_{e,f}\Phi_{ije}\,g^{ef}\,T_f
$$
を $\mathbb Q[\![y]\!]$ 線形に広げた積を量子積という。偏微分の対称性から量子積は可換である。性質 1 と 2 から $\Phi_{0jk}=g_{jk}$ となるので、$T_0$ は単位元である。
$X$ が等質空間 $G/P$ のとき、量子積は結合的である。すなわち $H^*(X)\otimes\mathbb Q[\![y]\!]$ は単位元 $T_0$ をもつ可換な結合的 $\mathbb Q[\![y]\!]$ 代数になる。成分で書くと、すべての $i,j,k,l$ について
$$
\sum_{e,f}\Phi_{ije}\,g^{ef}\,\Phi_{fkl}=\sum_{e,f}\Phi_{jke}\,g^{ef}\,\Phi_{fil}
$$
（WDVV 方程式）が成り立つ。
FP97 Theorem 4（p. 37）で、この記事では証明しない。証明は $\overline M_{0,4}\cong\mathbb P^1$ の 2 点の境界の因子が線形同値であることを、忘却写像で $\overline M_{0,n}(X,\beta)$ に引き戻して使う（同 pp. 37–39）。
代表例：平面有理曲線の Kontsevich の公式
一般の位置にある 2 点を通る直線はちょうど 1 本なので $N_1=1$ である。量子コホモロジーの結合法則は、これだけから $N_d$ をすべて決める。
$d\ge2$ について
$$
N_d=\sum_{\substack{d_1+d_2=d\\d_1,d_2\ge1}}N_{d_1}N_{d_2}\Bigl(d_1^2d_2^2\binom{3d-4}{3d_1-2}-d_1^3d_2\binom{3d-4}{3d_1-1}\Bigr)
$$
が成り立つ。ここで二項係数 $\binom ab$ は $b<0$ または $b>a$ のとき $0$ とする。
$X=\mathbb P^2$ の基底を $T_0=1$、$T_1=[\text{直線}]$、$T_2=[\text{点}]$ とすると、$g_{ij}=1$（$i+j=2$）、それ以外は $0$ で、$g^{ij}$ も同じである。よって $T_i*T_j=\Phi_{ij0}T_2+\Phi_{ij1}T_1+\Phi_{ij2}T_0$。
ポテンシャルの形。 $\beta=0$ の項は性質 1 により $\int_X\gamma^3/3!$ で、その 3 階の偏微分のうち $0$ でないのは $\Phi_{002}=\Phi_{011}=1$ だけである。$\beta=d[\text{直線}]$（$d\ge1$）の項は、性質 2 により $T_0$ を含まず、性質 3 により $T_1$ の各成分が因子 $d$ を出すので、$y_1$ については $e^{dy_1}$ の形にまとまる。次元の条件から $T_2$ をちょうど $3d-1$ 個含む項だけが残り、
$$
\Phi=\tfrac12y_0^2y_2+\tfrac12y_0y_1^2+\Gamma(y_1,y_2),\qquad\Gamma=\sum_{d\ge1}N_d\,e^{dy_1}\frac{y_2^{3d-1}}{(3d-1)!}
$$
となる（2 次以下の項は 3 階の偏微分に効かないので除いた。FP97 pp. 40–41）。添字に $0$ を含む 3 階の偏微分は $\Phi_{002}=\Phi_{011}=1$ 以外 $0$ であり、添字が $1,2$ だけなら $\Phi_{ijk}=\Gamma_{ijk}$ である。
結合法則。 上の式から
$$
T_1*T_1=T_2+\Gamma_{111}T_1+\Gamma_{112}T_0,\quad T_1*T_2=\Gamma_{112}T_1+\Gamma_{122}T_0,\quad T_2*T_2=\Gamma_{122}T_1+\Gamma_{222}T_0
$$
である。$T_0$ が単位元であることを使うと
$$
(T_1*T_1)*T_2=(\Gamma_{122}+\Gamma_{111}\Gamma_{112})T_1+(\Gamma_{222}+\Gamma_{111}\Gamma_{122})T_0+\Gamma_{112}T_2,
$$
$$
T_1*(T_1*T_2)=\Gamma_{112}T_2+(\Gamma_{112}\Gamma_{111}+\Gamma_{122})T_1+\Gamma_{112}^2T_0.
$$
thm-gw-associativity により両者は等しく、$T_0$ の係数を比べると
$$
\Gamma_{222}=\Gamma_{112}^2-\Gamma_{111}\Gamma_{122}.
$$
係数の比較。 $\Gamma$ を微分すると
$$
\Gamma_{222}=\sum_dN_de^{dy_1}\frac{y_2^{3d-4}}{(3d-4)!},\quad\Gamma_{112}=\sum_dd^2N_de^{dy_1}\frac{y_2^{3d-2}}{(3d-2)!},
$$
$$
\Gamma_{111}=\sum_dd^3N_de^{dy_1}\frac{y_2^{3d-1}}{(3d-1)!},\quad\Gamma_{122}=\sum_ddN_de^{dy_1}\frac{y_2^{3d-3}}{(3d-3)!}
$$
である（$y_2$ の負の冪の項は $0$。$\Gamma_{222}$ では $d=1$ の項が消える）。右辺の積で $e^{d_1y_1}e^{d_2y_1}=e^{dy_1}$ となる項を集めると、$y_2$ の冪はどれも $(3d_1-2)+(3d_2-2)=(3d_1-1)+(3d_2-3)=3d-4$ である。$e^{dy_1}y_2^{3d-4}/(3d-4)!$ の係数を比べ、
$$
\frac{(3d-4)!}{(3d_1-2)!\,(3d_2-2)!}=\binom{3d-4}{3d_1-2},\qquad\frac{(3d-4)!}{(3d_1-1)!\,(3d_2-3)!}=\binom{3d-4}{3d_1-1}
$$
を使うと公式を得る（$d_2=1$ のとき第 2 項の $(3d_2-3)!$ は $0!=1$ で、二項係数の約束と合う）。$\square$
この公式は KM94 Claim 5.2.1（p. 28）、FP97 (59)（p. 41）にある。最初の値は次のとおりである。
| $d$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $N_d$ | $1$ | $1$ | $12$ | $620$ | $87304$ |
$d=2$：$(d_1,d_2)=(1,1)$ だけで、$1\cdot\bigl(1\cdot\binom21-1\cdot\binom22\bigr)=1$。
$d=3$：$(1,2)$ の項は $N_1N_2\bigl(4\binom51-2\binom52\bigr)=20-20=0$、$(2,1)$ の項は $N_2N_1\bigl(4\binom54-8\binom55\bigr)=20-8=12$ で、$N_3=12$。
$d=4$：$(1,3)$、$(2,2)$、$(3,1)$ の項はそれぞれ $12(72-84)=-144$、$1120-896=224$、$12(72-27)=540$ で、和は $620$ である。
分野の地図
| 話題 | 内容 | 記事 |
|---|---|---|
| 擬正則曲線 | $J$ 正則曲線、エネルギー、コンパクト性 | 概複素構造, シンプレクティック多様体 |
| 不変量 | 安定写像のモジュライ空間、評価写像、不変量の公理 | モジュライ空間, 交点理論 |
| 量子コホモロジー | 量子積と WDVV 方程式 | カップ積, Grassmann多様体 |
| 数え上げ | 平面有理曲線の個数、Schubert 問題 | 数え上げ幾何学, Schubertカルキュラス, Bezoutの定理 |
| Floer 理論 | ズボン積が量子積に一致する | Floer理論 |
| ミラー対称性 | 量子積と深谷圏、Calabi–Yau 多様体の数え上げ | 深谷圏, Calabi–Yau多様体 |
- 閉シンプレクティック多様体の Hamilton Floer ホモロジーにはズボン積という積があり、シンプレクティック非球面性を仮定しない場合、Floer ホモロジーを多様体のコホモロジーと同一視すると、ズボン積は Gromov–Witten 理論の量子積に一致する（AS17 p. 31）。
- Kontsevich は、ミラー対称性を深谷圏と連接層の導来圏の同値として定式化することを提案し、その根拠の一つとして、$V\times V$ の深谷圏で対角線の Floer コホモロジーの積が量子積になると期待されることを挙げた（Kon95 p. 18）。
- Calabi–Yau 多様体では結合法則は数え上げを決めるほど強くなく（KM94 p. 1）、不変量の計算にはミラー対称性などの別の方法が使われる。
反例：仮定を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $J$ が $\omega$ に順応する | $\mathbb C$ で $\omega=dx\wedge dy$、$J=-i$、$u(z)=\bar z$（単位円板上） | エネルギー等式（Euclid 計量でのエネルギーは $\pi$、$\int u^*\omega=-\pi$） |
| $\Sigma$ が閉曲面 | 単位円板 $D$ から $\mathbb C$ への $u(z)=z$ と $u(z)=2z$ | エネルギーがホモロジー類で決まること（$H_2(\mathbb C)=0$ だがエネルギーは $\pi$ と $4\pi$） |
| 点が一般の位置 | $\mathbb P^2$ の同じ点を 2 回とる | $N_1=1$ の数え上げの意味（その点を通る直線は無数にある） |
- 1 行目：$J=-i$ について $\omega(v,Jv)=-\lvert v\rvert^2<0$。$J$ が順応しないので $g_J$ は計量にならず、エネルギーは Euclid 計量で計る。$u(z)=\bar z$ は $du\circ i=-i\circ du$ を満たすので $J$ 正則で、$\lvert du\rvert^2=2$ からエネルギーは $\pi$ だが、$u$ は向きを逆にするので $\int_Du^*\omega=-\pi$ である。
- 2 行目：どちらも通常の正則写像で、$E(u)=\int_Du^*\omega$ は像の面積 $\pi$、$4\pi$ である。境界がある曲面には基本類がないので、エネルギーはホモロジー類では決まらない。
- 3 行目：$I_\beta$ は数としては $1$ のままだが、FP97 Lemma 14 の「一般の位置」が外れると、条件を満たす曲線の集合は有限集合にならない。
学ぶ順の道筋
- 準備：シンプレクティック多様体 → 概複素構造 → Kähler多様体、Riemann面。
- 擬正則曲線：この記事の thm-gw-energy → Floer理論（Floer 方程式とエネルギー）。
- 代数的な理論：モジュライ空間 → 安定写像（FP97 §1–§6）→ この記事の不変量と量子コホモロジー → 数え上げ幾何学。
- 発展：深谷圏（Lagrange 部分多様体を境界とする円板の数え上げ）、ミラー対称性。
関連項目
- 前提: シンプレクティック多様体, 概複素構造, Riemann面, コホモロジー
- 基本の概念: モジュライ空間, 交点理論, カップ積
- 比較: Floer理論, 数え上げ幾何学
- 発展: 深谷圏, Calabi–Yau多様体, Schubertカルキュラス
参考文献
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