具体圏
概要
具体圏（concrete category）とは、圏 $\mathcal{C}$ と集合の圏への忠実関手 $U\colon\mathcal{C}\to\mathsf{Set}$ の組であり、対象を台集合を持つ構造、射をその集合間の写像として観察する枠組みである。群・環・位相空間などの圏は具体圏になる一方、ホモトピー圏は具体化できない。具体圏という付加構造と、忠実関手が存在するという具体化可能性の違い、相対具体圏、部分圏・積・忠実関手の合成に関する基本性質を解説する。
前提知識: 圏
定義
具体圏は、圏を集合と写像によって観察する方法まで含めた概念である。そのため「具体圏という構造」と「具体化できるという性質」を区別する。
圏 $\mathcal{C}$ と忠実関手
$$
U\colon \mathcal{C}\longrightarrow \mathsf{Set}
$$
の組 $(\mathcal{C},U)$ を具体圏(concrete category)という。$U(X)$ を対象 $X$ の台集合と呼ぶ。
忠実性とは、任意の対象 $X,Y$ に対して写像
$$
U_{X,Y}\colon \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)
\longrightarrow
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}}(U(X),U(Y))
$$
が単射であることをいう。したがって、二つの射は台集合上の写像が同じならもとの射としても同じである。
圏 $\mathcal{C}$ が具体化可能(concretizable)であるとは、$\mathcal{C}$ から $\mathsf{Set}$ への忠実関手が少なくとも一つ存在することをいう。
具体圏 $(\mathcal{C},U)$ は $U$ の選択まで含む付加構造である。一方、具体化可能性はそのような $U$ が存在するという圏の性質である。同じ圏に異なる具体化が入ることもある。
圏 $\mathcal{X}$ を固定する。圏 $\mathcal{C}$ と忠実関手 $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{X}$ の組を$\mathcal{X}$-具体圏という。また、そのような忠実関手が存在するとき、$\mathcal{C}$ は$\mathcal{X}$-具体化可能であるという。
$\mathcal{X}=\mathsf{Set}$ とすれば、通常の具体圏と具体化可能性に戻る。
直感
忠実関手 $U$ は、対象 $X$ を集合 $U(X)$ として眺め、射 $f\colon X\to Y$ を集合の写像 $U(f)\colon U(X)\to U(Y)$ として眺める装置である。しかも射の区別は失われない。群準同型や連続写像を「特別な性質を満たす集合の写像」として扱えるのは、この仕組みによる。
ただし、忠実性は充満性ではない。たとえば位相空間の間の集合写像がすべて連続とは限らないので、台集合を取る関手 $\mathsf{Top}\to\mathsf{Set}$ は一般に充満ではない。また、$U(X)$ が集合であっても $X$ 自身が集合と同一だという意味ではなく、異なる対象が同じ台集合を持つことも許される。
例と反例
集合と写像の圏 $\mathsf{Set}$ は、恒等関手 $\operatorname{id}_{\mathsf{Set}}$ によって具体圏になる。
位相空間と連続写像の圏 $\mathsf{Top}$ は、各空間の台集合と各連続写像の underlying map を取る関手によって具体圏になる。この関手は忠実だが、一般には充満でない。
群と群準同型の圏 $\mathsf{Grp}$、環と環準同型の圏 $\mathsf{Ring}$、固定した環 $R$ 上の加群の圏 $\mathsf{Mod}_R$ は、台集合を取る関手によって具体圏になる。同様に、Banach 空間と有界線形写像の圏も具体化可能である。
基本性質
$\mathcal{C}$ が具体化可能で、$\mathcal{C}'$ が $\mathcal{C}$ の部分圏ならば、$\mathcal{C}'$ も具体化可能である。
$U\colon\mathcal{C}\to\mathsf{Set}$ を忠実関手とし、包含関手を $I\colon\mathcal{C}'\to\mathcal{C}$ とする。$U\circ I$ の忠実性を示す。$\mathcal{C}'$ の平行な射 $f,g\colon X\to Y$ が $(U\circ I)(f)=(U\circ I)(g)$ を満たすとする。これは $U(f)=U(g)$ を意味するので、$U$ の忠実性から $f=g$ である。したがって $U\circ I$ は忠実である。$\blacksquare$
$F\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ と $U\colon\mathcal{C}\to\mathcal{X}$ が忠実関手ならば、$U\circ F\colon\mathcal{D}\to\mathcal{X}$ も忠実である。特に、$\mathcal{C}$ が具体化可能で $\mathcal{D}$ が $\mathcal{C}$-具体化可能ならば、$\mathcal{D}$ は具体化可能である。
$\mathcal{D}$ の平行な射 $f,g$ が $(U\circ F)(f)=(U\circ F)(g)$ を満たすとする。$U$ の忠実性から $F(f)=F(g)$ であり、さらに $F$ の忠実性から $f=g$ である。よって $U\circ F$ は忠実である。後半は $\mathcal{X}=\mathsf{Set}$ とした場合である。$\blacksquare$
任意の圏 $\mathcal{C}$ は $\mathcal{C}$-具体化可能である。
恒等関手 $\operatorname{id}_{\mathcal{C}}\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ は忠実である。$\blacksquare$
$I$ を集合とし、各 $i\in I$ に対して $\mathcal{C}_i$ を具体化可能圏とする。このとき積圏 $\prod_{i\in I}\mathcal{C}_i$ は具体化可能である。
各 $i$ について忠実関手 $U_i\colon\mathcal{C}_i\to\mathsf{Set}$ を選ぶ。対象 $(X_i)_{i\in I}$ にタグつき非交和
$$
U((X_i)_i)=\coprod_{i\in I}\bigl(\{i\}\times U_i(X_i)\bigr)
$$
を対応させ、射 $(f_i)_i$ には各成分で $(i,x)\mapsto(i,U_i(f_i)(x))$ と作用する写像を対応させる。これは積圏から $\mathsf{Set}$ への関手 $U$ を定める。
$U((f_i)_i)=U((g_i)_i)$ なら、各 $i$ のタグつき成分への制限から $U_i(f_i)=U_i(g_i)$ を得る。$U_i$ は忠実だから $f_i=g_i$ がすべての $i$ について成り立ち、したがって $(f_i)_i=(g_i)_i$ である。ゆえに $U$ は忠実である。$\blacksquare$
具体圏を使うときの注意
圏論的な構成は、選んだ具体化に依存するとは限らない。たとえば積や余積は普遍性によって定まり、台集合の積や非交和と一致するかどうかは個々の忘却関手について別に確かめる必要がある。群の直積の台集合は集合の直積であるが、位相空間の商の台集合にどの位相を入れるかは圏の構造の一部である。
また、具体化可能性は圏同値で保たれる。実際、圏同値 $E\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ は忠実であるから、$\mathcal{C}\to\mathsf{Set}$ の忠実関手と合成すれば $\mathcal{D}$ の具体化が得られる。したがって、具体化可能かどうかは対象の表示ではなく圏そのものの性質として扱える。
関連項目
参考文献
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