測度論
概要
測度論（measure theory）とは、集合の個数・長さ・面積・確率などの大きさを、σ-代数の上で可算加法性を満たす測度として一般化し、測度空間とその上の可測関数・積分を研究する数学の分野である。測度の構成（Carathéodory の拡張定理）、極限と積分の交換（単調収束定理・優収束定理）、累次積分（Fubini の定理）、測度の比較（Radon–Nikodym の定理）が主な問いで、確率論と関数解析の土台になる。閉区間上の有界な関数が Riemann 積分可能であることは、不連続点の集合が零集合であることと同値である（Lebesgue の判定条件）。
測度論（measure theory）は、集合の「大きさ」（個数・長さ・面積・体積・確率など）を、可算個に分けて足し合わせる操作と両立するように一般化し、その大きさに基づく積分を研究する数学の分野である。Riemann 積分は区間を有限個に分けて面積を近似するが、極限との交換に強い制約があり、確率を無限個の結果の上で考えることにも向かない。測度論はこれらを 1 つの枠組みで扱い、解析学・確率論・関数解析の共通の土台になっている。
この記事では、まず σ-代数・測度・可測関数と積分を定義し、測度論の主な問いと代表的な定理を記事とともに一覧にする。続いて、Riemann 積分と測度論をつなぐ定理「有界な関数が Riemann 積分可能であることは、不連続点の集合が零集合であることと同値である」（Lebesgue の判定条件）を完全に証明し、仮定を外した反例を示す。最後に、学ぶ順に記事を並べた道筋を示す。
定義
集合 $X$ の部分集合の族 $\mathcal{F}$ が、$\emptyset\in\mathcal{F}$、補集合をとる操作、可算個の和集合をとる操作について閉じているとき、$\mathcal{F}$ を σ-代数（σ-加法族）、組 $(X,\mathcal{F})$ を可測空間、$\mathcal{F}$ の元を可測集合という（σ-代数）。写像 $\mu\colon\mathcal{F}\to[0,\infty]$ が $\mu(\emptyset)=0$ と可算加法性
$$
\mu\Bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\Bigr)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)\qquad(A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}\text{ は互いに交わらない})
$$
を満たすとき、$\mu$ を測度、$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間という（測度）。$\mu(X)=1$ のとき $\mu$ を確率測度という。
測度論とは、測度空間と、その上の可測関数と積分を研究する数学の分野である。
測度が $0$ の集合を零集合といい、零集合の外で成り立つ性質はほとんど至るところ成り立つという（測度 の定義「零集合とほとんどいたるところ」）。
主な例は次のとおりである。
- 数え上げ測度：任意の集合 $X$ の部分集合 $A$ に、その元の個数（無限なら $\infty$）を与える。
- Lebesgue 測度：$\mathbb{R}$ の Lebesgue 可測集合の族の上の測度 $\lambda$ で、区間に長さを与えるもの（Lebesgue測度）。開集合から生成される σ-代数（Borel集合 の族）はこれに含まれる。
- 確率空間：確率測度をもつ測度空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$。$\Omega$ は起こりうる結果の全体、$\mathcal{F}$ は確率を与える事象の族である（確率空間）。
測度をすべての部分集合ではなく σ-代数の上で定義するのは、$\mathbb{R}$ のすべての部分集合に、区間には長さを与え、平行移動で変わらず、可算加法的な大きさを与えることは、選択公理のもとではできないからである（測度 の注意「すべての部分集合に長さを与える測度はない」、選択公理 の例「Vitali集合の構成」）。高校の確率で、円周上の点や区間の値を「一様に選ぶ」ときの確率を定めるには、この制限のもとで長さを延長した Lebesgue 測度を使う（確率の定義と条件付き確率）。
測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ 上の関数 $f\colon X\to\mathbb{R}$ が、すべての実数 $t$ について $\{x\mid f(x)>t\}\in\mathcal{F}$ を満たすとき、$f$ を可測関数という。可測集合 $A_1,\dots,A_m$ の特性関数の有限個の非負係数の 1 次結合 $s=\sum_jc_j\mathbf{1}_{A_j}$（単関数）の積分を $\int s\,d\mu:=\sum_jc_j\mu(A_j)$ とし、非負の可測関数 $f$ の積分を、$0\le s\le f$ を満たす単関数 $s$ の積分の上限で定める。
詳しい定義と、積分が単関数の取り方によらないことは Lebesgue積分 にある。$\mathbb{R}$ の閉区間上の Riemann 積分可能な関数は Lebesgue 測度について積分可能で、2 つの積分は一致する（Lebesgue積分 の定理「Riemann積分との一致」）。
測度論の主な問い
- 測度を作る。 区間の長さのような簡単な集合の上の量から、σ-代数の上の測度を作る。外測度から可測集合を取り出す Carathéodoryの拡張定理 が基本の道具で、Lebesgue 測度・積測度・Hausdorff 測度（Hausdorff次元）はこの方法で作られる。作った測度が一意かどうかは Dynkinのπ-λ定理 で判定する。
- 極限と積分を交換する。 関数列 $f_n\to f$ のとき $\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu$ となる条件を求める。単調収束定理・Fatouの補題・優収束定理 がこれに答える。
- 重積分を累次積分に直す。 直積空間の上の積分を、変数ごとの積分の繰り返しで計算する（Fubiniの定理）。
- 測度を比べる。 一方の測度が他方の密度関数による積分で書けるかを問う（Radon–Nikodymの定理）。確率論の条件付き期待値 はこの定理で定義される。
- 関数の空間を作る。 積分の大きさで距離を入れた関数の空間（Lp空間）は完備になり、関数解析 と Fourier級数 の舞台になる。
- 確率論の基礎を与える。 確率空間・確率変数・期待値 を測度と積分として定義し、大数の法則 などの極限定理を証明する（確率論）。
代表的な定理
| 定理 | 主張の要点 | 記事 |
|---|---|---|
| Carathéodory の拡張定理 | 集合半環の上の前測度は、生成される σ-代数の上の測度に延びる | Carathéodoryの拡張定理 |
| 長さを与える測度の非存在 | $\mathbb{R}$ のすべての部分集合の上に、平行移動で不変で区間に長さを与える測度は、選択公理のもとでは存在しない | 測度, 選択公理 |
| π-λ 定理 | π 系の上で一致し全体の測度も等しい有限測度は、生成される σ-代数の上で一致する | Dynkinのπ-λ定理 |
| 単調収束定理 | 非負可測関数の増加列では積分と極限が交換できる | Lebesgue積分 |
| 優収束定理 | 可積分な関数で押さえられた関数列では積分と極限が交換できる | 優収束定理 |
| Fubini の定理 | σ-有限な測度空間の積の上の可積分関数の積分は累次積分に等しい | Fubiniの定理 |
| Radon–Nikodym の定理 | σ-有限な測度 $\mu,\nu$ について、$\nu$ が $\mu$ に絶対連続なら $\nu$ は $\mu$ に関する密度関数をもつ | Radon–Nikodymの定理 |
| Egorov の定理 | 有限測度空間でほとんど至るところ収束する可測関数列は、測度の小さい集合を除いて一様収束する | Egorovの定理 |
| Borel–Cantelli の補題 | 測度の和が有限な集合の列について、無限個に属する点は零集合をなす | 測度 |
代表例：Riemann 積分可能性の Lebesgue の判定条件
測度論の最初の成果の 1 つは、どの関数が Riemann 積分可能かを「長さ 0 の集合」の言葉で完全に答えたことである。Riemann 積分の定義（Riemann積分）には測度は現れないが、答えには零集合が現れる。ここではこの定理を、Lebesgue 測度の構成を使わずに、零集合の定義だけから証明する。教科書では Axler20 3.34（p. 93）にあり、そこでは Lebesgue 積分の収束定理を使って証明している。
以下、$a < b$ とし、有界な関数 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ の分割 $P\colon a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ に対し、$M_i,m_i$ を $[x_{i-1},x_i]$ での $f$ の上限・下限、$\Delta x_i:=x_i-x_{i-1}$、$U(P,f):=\sum_iM_i\Delta x_i$、$L(P,f):=\sum_im_i\Delta x_i$ とする。Riemann積分 の定理「可積分性の判定条件」により、$f$ が Riemann 積分可能であることは、任意の $\varepsilon>0$ に対して $U(P,f)-L(P,f) < \varepsilon$ となる分割 $P$ があることと同値である。開区間 $I=(c,d)$ の長さを $\ell(I):=d-c$ と書く。
- $A\subset\mathbb{R}$ が零集合であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対して、$A\subset\bigcup_kI_k$ かつ $\sum_k\ell(I_k) < \varepsilon$ となる高々可算個の開区間 $I_1,I_2,\ldots$ があることをいう。これは Lebesgue 外測度が $0$ であることと同じである（Lebesgue測度 の定義「外測度」）。
- $x\in[a,b]$ と $\delta>0$ に対し、$\Omega_f(x,\delta):=\sup\{\lvert f(y)-f(z)\rvert\mid y,z\in[a,b],\ \lvert y-x\rvert < \delta,\ \lvert z-x\rvert < \delta\}$ とし、$\omega_f(x):=\inf_{\delta>0}\Omega_f(x,\delta)$ を $x$ における $f$ の振動という。
$\Omega_f(x,\delta)$ は $\delta$ について単調に増加するので、$\omega_f(x) < c$ であることは、ある $\delta>0$ で $\Omega_f(x,\delta) < c$ となることと同値である。
- 可算個の零集合の和集合は零集合である。
- $f$ が $x$ で連続であることは、$\omega_f(x)=0$ と同値である。
- 各 $c>0$ について、$D_c:=\{x\in[a,b]\mid\omega_f(x)\ge c\}$ は閉集合である。
要点：1 は許容誤差を $\varepsilon/2^k$ に分ける。2・3 は振動の定義から従う。
詳しい証明を開く
1：零集合 $A_1,A_2,\ldots$ と $\varepsilon>0$ をとる。各 $A_k$ を長さの和が $\varepsilon/2^{k}$ 未満の高々可算個の開区間で覆うと、それらを全部合わせた高々可算個の開区間は $\bigcup_kA_k$ を覆い、長さの和は $\varepsilon$ 未満である。
2：$f$ が $x$ で連続なら、$\varepsilon>0$ に対し、$\lvert y-x\rvert < \delta$ なら $\lvert f(y)-f(x)\rvert < \varepsilon/3$ となる $\delta$ があり、このとき $\Omega_f(x,\delta)\le2\varepsilon/3 < \varepsilon$ なので $\omega_f(x)=0$ である。逆に $\omega_f(x)=0$ なら、$\varepsilon>0$ に対し $\Omega_f(x,\delta) < \varepsilon$ となる $\delta$ があり、$z=x$ とすれば $\lvert y-x\rvert < \delta$ で $\lvert f(y)-f(x)\rvert < \varepsilon$ である。
3：補集合 $[a,b]\setminus D_c$ が $[a,b]$ の中で開集合であることを示す。$\omega_f(x) < c$ なら $\Omega_f(x,\delta) < c$ となる $\delta$ がある。$\lvert x'-x\rvert < \delta/2$ を満たす $x'\in[a,b]$ について、$x'$ から $\delta/2$ 未満の点は $x$ から $\delta$ 未満なので、$\Omega_f(x',\delta/2)\le\Omega_f(x,\delta) < c$、すなわち $\omega_f(x') < c$ である。$\square$
有界な関数 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ が Riemann 積分可能であることは、$f$ の不連続点全体の集合 $D$ が零集合であることと同値である。
lem-mt-null-oscillation の 2 により $D=\{x\mid\omega_f(x)>0\}=\bigcup_{k\ge1}D_{1/k}$ である。
積分可能なら $D$ は零集合。 lem-mt-null-oscillation の 1 により、各 $k$ について $D_{1/k}$ が零集合であることを示せばよい。$\varepsilon>0$ をとり、$U(P,f)-L(P,f) < \varepsilon/k$ となる分割 $P$ をとる。開区間 $(x_{i-1},x_i)$ が $D_{1/k}$ の点 $x$ を含むような番号 $i$ の集合を $S$ とする。$i\in S$ なら、$x$ の十分小さい近傍は $[x_{i-1},x_i]$ に含まれるので $M_i-m_i\ge\omega_f(x)\ge1/k$ であり、
$$
\frac1k\sum_{i\in S}\Delta x_i\le\sum_{i\in S}(M_i-m_i)\Delta x_i\le U(P,f)-L(P,f) < \frac{\varepsilon}{k}
$$
となる。よって開区間 $(x_{i-1},x_i)$（$i\in S$）の長さの和は $\varepsilon$ 未満である。$D_{1/k}$ の残りの点は分割点 $x_0,\dots,x_n$ のどれかなので、長さの和が $\varepsilon$ 未満の有限個の開区間で覆える。合わせて、$D_{1/k}$ は長さの和が $2\varepsilon$ 未満の有限個の開区間で覆える。$\varepsilon$ は任意なので $D_{1/k}$ は零集合である。
$D$ が零集合なら積分可能。 $\lvert f\rvert\le K$（$K>0$）とし、$\varepsilon>0$ をとる。$(b-a)/k < \varepsilon/2$ となる $k$ を固定し、$c:=1/k$ とおく。$D_c\subset D$ は零集合なので、長さの和が $\varepsilon/(4K)$ 未満の開区間の列で覆える。$D_c$ は有界閉集合（lem-mt-null-oscillation の 3）なのでコンパクトであり（Lebesgue測度 の補題「閉区間のHeine–Borelの定理」と、コンパクト空間 の閉部分集合はコンパクトであること）、そのうち有限個 $J_1,\dots,J_r$ で覆える。残りの $C:=[a,b]\setminus(J_1\cup\cdots\cup J_r)$ も有界閉集合でコンパクトである。$x\in C$ では $\omega_f(x) < c$ なので、$\Omega_f(x,2\delta_x) < c$ となる $\delta_x>0$ があり、開区間 $I_x:=(x-\delta_x,x+\delta_x)$ のうち有限個 $I_{x_1},\dots,I_{x_s}$ が $C$ を覆う。
$a,b$ と、$J_1,\dots,J_r,I_{x_1},\dots,I_{x_s}$ の端点のうち $[a,b]$ に属するもの全部を分割点とする分割を $P$ とする。小区間 $[x_{i-1},x_i]$ の中点は、ある $J_l$ かある $I_{x_j}$ に属する。その開区間の端点は開区間 $(x_{i-1},x_i)$ の中にないので、$(x_{i-1},x_i)$ はその開区間に含まれ、閉区間 $[x_{i-1},x_i]$ はその閉包に含まれる。中点が $J_l$ に属する小区間を「J 型」、そうでないものを「I 型」とよぶ。
J 型の小区間は、ある $J_l$ の閉包に含まれ、互いに重ならないので、長さの合計は $\sum_l\ell(J_l)$ 以下、したがって $\varepsilon/(4K)$ 未満であり、$M_i-m_i\le2K$ である。I 型の小区間は、ある $I_{x_j}$ の閉包、したがって $x_j$ から $2\delta_{x_j}$ 未満の点の集合に含まれるので、$M_i-m_i\le\Omega_f(x_j,2\delta_{x_j}) < c$ である。よって
$$
U(P,f)-L(P,f)\le2K\cdot\frac{\varepsilon}{4K}+c\,(b-a) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$
であり、Riemann積分 の定理「可積分性の判定条件」により $f$ は Riemann 積分可能である。$\square$
- 有限個の点で不連続な有界関数、および単調関数は Riemann 積分可能である。単調関数の不連続点は可算個であり（各不連続点で左右の極限の間に有理数を 1 つずつ選べる）、可算集合は零集合である（1 点は長さがいくらでも小さい開区間で覆え、lem-mt-null-oscillation の 1 を使う）。
- $x=p/q$（既約分数、$q\ge1$）なら $f(x)=1/q$、$x$ が無理数なら $f(x)=0$ とする $[0,1]$ 上の関数は、有理数でちょうど不連続、無理数で連続である（無理数 $x$ の近くでは、分母が小さい有理数は有限個しかないので $f$ は小さい）。不連続点の集合 $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ は可算なので、この関数は Riemann 積分可能である。
- Cantor集合 $C$ の特性関数 $\mathbf{1}_C$ は、ちょうど $C$ の点で不連続である（$C$ は内部が空の閉集合なので、$C$ の各点の近くに $C$ の外の点がある）。$C$ は非可算だが零集合なので（Cantor集合 の命題「測度0のコンパクトな疎集合」）、$\mathbf{1}_C$ は Riemann 積分可能である。
反例：仮定を外すと崩れること
thm-mt-lebesgue-criterion の「積分可能」への向きの仮定は、(a) $f$ が有界であること、(b) 不連続点の集合が零集合であること、である。(b) を「内部が空の閉集合」に替えると、結論が成り立たなくなる。閉集合については零集合ならば内部が空なので、これは閉集合の範囲で条件を弱めたものである。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| (a) 有界であること | $f(x)=1/\sqrt{x}$（$0 < x\le1$）、$f(0)=0$ | 不連続点は $0$ だけで零集合だが、有界でないので Riemann 積分可能でない（Riemann積分 の例「反例：有界でない関数」） |
| (b) 零集合であること（内部が空の閉集合に替える） | 長さが正で内部が空の閉集合 $K\subset[0,1]$（Cantor集合 の例「反例：測度が正の疎な閉集合」）の特性関数 $\mathbf{1}_K$ | 不連続点の集合は $K$ で、内部が空の閉集合だが零集合でない。$\mathbf{1}_K$ は Riemann 積分可能でない |
(b) の行の $\mathbf{1}_K$ は Lebesgue 積分では問題なく積分でき、$\int\mathbf{1}_K\,d\lambda=\lambda(K)>0$ である。Riemann 積分は区間の分け方だけで値を決めるので、内部が空でも長さをもつ集合を扱えない。測度論は、集合の長さを先に定めてから積分を定義することで、この制約を取り除いた。
学ぶ順の道筋
測度論は、次の順に記事をたどると学べる。
- 準備：集合・可算集合・実数・上限、Riemann積分（全体は 微分積分学 が見渡す）、位相の基本として 開集合・Borel集合。
- 測度：σ-代数 → 測度 → 外測度 → Carathéodoryの拡張定理 → Lebesgue測度 → Dynkinのπ-λ定理。具体例として Cantor集合、長さを比べる対象として Jordan測度。
- 積分：Lebesgue積分（可測関数・単調収束定理）→ Fatouの補題 → 優収束定理 → Egorovの定理 → Lp空間。
- 積と比較：Fubiniの定理 → Radon–Nikodymの定理 → 絶対連続関数。
- 応用：確率論（確率空間 → 確率変数 → 期待値 → 条件付き期待値 → 大数の法則、全体は 確率論）、関数解析、Fourier変換、実解析（Hardy–Littlewoodの極大関数・Vitaliの被覆定理）、Hausdorff次元。
上の代表例の定理は、2 の最初の考え方（零集合）と Riemann 積分だけで証明できる。
歴史
19 世紀の Riemann 積分の研究の中で、積分可能な関数の不連続点の集合の「小ささ」が問題になり、Jordan は図形の面積を有限個の長方形で近似して定める Jordan 測度を導入した。1898 年に Borel が可算個の区間による測度の考え方を示し、1902 年の Lebesgue の学位論文が Lebesgue 測度と Lebesgue 積分を確立した。1914 年に Carathéodory が外測度から測度を作る一般的な方法を与え、1933 年に Kolmogorov が確率論を測度論の上に公理化した。
関連項目
- 前提: 集合, 実数, Riemann積分
- 基本の概念: σ-代数, 測度, 外測度, Lebesgue測度, Lebesgue積分
- 定理: Carathéodoryの拡張定理, 優収束定理, Fubiniの定理, Radon–Nikodymの定理
- 応用: 確率論, 確率空間, Lp空間, 関数解析
- ほかの分野の案内: 微分積分学, 位相幾何学, 代数的位相幾何学
参考文献
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