積分で円周率を評価する

$f(x)=x(1-x)$ は $[0,1]$ で $0$ 以上で、$x=0,1$ では $0$、$x=\frac12$ では $\frac14$ である。積分は
$$ \int_0^1x(1-x)\,dx=\Bigl[\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\Bigr]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16 $$
で、正である。区間の端で $0$ になっても、途中で正の値をとれば積分は正になる。

$0< x<1$ では $1<1+x^2<2$ なので $\frac12<\frac1{1+x^2}<1$ である。prop-pint-positive の後半により
$$ \frac12=\int_0^1\frac12\,dx<\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}<\int_0^11\,dx=1 $$
つまり $\frac12<\frac\pi4<1$、$2<\pi<4$ である。正しいが、とても粗い。

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ は $[0,1]$ で減少するので、$[0,1]$ を $N$ 等分した各小区間 $\bigl[\frac{k-1}N,\frac kN\bigr]$ で、$f$ は右端の値以上、左端の値以下である。長方形の面積を足すと
$$ \frac1N\sum_{k=1}^Nf\Bigl(\frac kN\Bigr)<\frac\pi4<\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}f\Bigl(\frac kN\Bigr) $$
となる（各小区間で prop-pint-positive の後半を使うので不等号は狭義）。
$N=4$ では、$f(0)=1$、$f\bigl(\frac14\bigr)=\frac{\sqrt{15}}4=0.9682\ldots$、$f\bigl(\frac12\bigr)=\frac{\sqrt3}2=0.8660\ldots$、$f\bigl(\frac34\bigr)=\frac{\sqrt7}4=0.6614\ldots$、$f(1)=0$ なので、4 倍して $2.4957\ldots<\pi<3.4957\ldots$ である。$N=10$ では $2.9045\ldots<\pi<3.3045\ldots$ である（数値計算）。両辺の差は $4\cdot\frac{f(0)-f(1)}N=\frac4N$ である。$3.14<\pi<3.15$ を長方形で示すには、まず幅 $\frac4N$ を $0.01$ より小さくする必要があるので $N>400$ が要る。しかしそれだけでは足りない。数値計算によると、上からの和が $3.15$ を下回るのは $N=229$ から、下からの和が $3.14$ を上回るのは $N=1277$ からである（$N=1000$ でも下からの和は $3.1395\ldots$）。つまり $N$ を千以上にしなければならない。

$x^4(1-x)^4$ は $[0,1]$ の両端で $0$、$x=\frac12$ で最大値 $\bigl(\frac14\bigr)^4=\frac1{256}$ をとる、小さな正の関数である。$(1-x)^4=1-4x+6x^2-4x^3+x^4$ なので
$$ x^4(1-x)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8 $$
であり、
$$ \int_0^1x^4(1-x)^4\,dx=\frac15-\frac46+\frac67-\frac48+\frac19=\frac{126-420+540-315+70}{630}=\frac1{630} $$
である（$\frac48=\frac12$ なので、$5,6,7,2,9$ の最小公倍数 $630$ で通分した。たとえば $\frac15=\frac{126}{630}$、$\frac46=\frac{420}{630}$）。

$\frac{22}7-\pi=0.0012644\ldots$ であり、確かに $\frac1{1260}=0.0007936\ldots$ と $\frac1{630}=0.0015873\ldots$ の間にある。$\frac{22}7-\frac1{630}=3.1412698\ldots$、$\frac{22}7-\frac1{1260}=3.1420634\ldots$ で、この評価の精度は正九十六角形（正多角形で円周率を挟む）と同じくらいだが、計算はずっと短い。

$h(x)=x^4(1-x)^4$ では、$i^4=1$、$(1-i)^2=1-2i+i^2=-2i$ なので
$$ h(i)=i^4\bigl((1-i)^2\bigr)^2=1\cdot(-2i)^2=4i^2=-4 $$
であり、prf-thm-pint-22-7 の割り算の余り $-4$ と一致する。したがって積分は「有理数 $+(-4)\cdot\frac\pi4$」$=$「有理数 $-\pi$」の形になる。

$h(x)=x^8(1-x)^8$ では $h(i)=i^8\bigl((1-i)^2\bigr)^4=(-2i)^4=16$ なので、積分は「有理数 $+16\cdot\frac\pi4$」$=$「有理数 $+4\pi$」の形になる。計算すると
$$ \int_0^1\frac{x^8(1-x)^8}{1+x^2}dx=4\pi-\frac{188684}{15015} $$
である（sympy で検算）。左辺は正なので $\pi>\frac{188684}{4\cdot15015}=\frac{47171}{15015}=3.14159174\ldots$ を得る。$x^8(1-x)^8$ は $x=\frac12$ で最大値 $\frac1{65536}$ しかとらないので、積分はとても小さく（$3.6\times10^{-6}$ 程度）、評価は精密になる。
$\frac{355}{113}>\pi$ についても、$\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx=\frac{355}{113}-\pi$ という積分表示が知られている（Luc05。この記事では検算のみ行った）。

$h(x)=x^2(1-x)^2$ も $[0,1]$ で $0$ 以上であり、$\int_0^1\frac{h(x)}{1+x^2}dx>0$ である。しかし $h(i)=i^2(1-i)^2=(-1)(-2i)=2i$ は実数でない。実際、割り算すると $h(x)=x^4-2x^3+x^2=(x^2-2x)(x^2+1)+2x$ で、余りは $2x$ である。$\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}dx=\bigl[\log(1+x^2)\bigr]_0^1=\log2$ なので
$$ \int_0^1\frac{x^2(1-x)^2}{1+x^2}dx=\int_0^1(x^2-2x)\,dx+\log2=\frac13-1+\log2=\log2-\frac23 $$
となる（値は $0.0264\ldots$）。$\pi$ は現れず、$\log2$ だけが残る。
余りが定数でなくても $\pi$ が現れることはある。たとえば $h(x)=x^2(1-x)^2+1$ では $h(i)=1+2i$、余りは $2x+1$ で、積分は $\log2-\frac23+\frac\pi4$ になる（sympy で検算）。しかしどちらも $\log2$ が混ざるので「有理数 $\pm\pi$」の形にはならず、有理数で $\pi$ を挟む評価には使えない。有理数で $\pi$ を挟むには、$h(i)$ が実数であることが要る。さらに、次の例のとおり $h(i)$ が $0$ でないことも要る。

$h(x)=x^4(1-x)^4(1+x^2)$ とする。$h$ は $[0,1]$ で $0$ 以上で、$x=\frac12$ で正である。$1+i^2=0$ なので $h(i)=0$ であり、$h(i)$ は実数である。しかし
$$ \int_0^1\frac{h(x)}{1+x^2}dx=\int_0^1x^4(1-x)^4\,dx=\frac1{630} $$
（ex-pint-small-integral）となり、$\pi$ は現れない。prop-pint-remainder の式で言えば「有理数 $+0\cdot\frac\pi4$」である。この積分が正であることから分かるのは $\frac1{630}>0$ だけで、$\pi$ については何も分からない。$h$ が $x^2+1$ で割り切れる（余りが $0$）と、このように $\pi$ が消える。

$h(x)=x^4$ では $h(i)=1$ で、$0$ でない実数なので、余りについての条件は満たす。$x^4=(x^2-1)(x^2+1)+1$ より
$$ \int_0^1\frac{x^4}{1+x^2}dx=\int_0^1(x^2-1)\,dx+\frac\pi4=\frac13-1+\frac\pi4=\frac\pi4-\frac23 $$
であり、これが正であることから $\pi>\frac83=2.666\ldots$ しか分からない。$x^4$ は $x=1$ で $1$ になり、$[0,1]$ で小さくないからである。$x^4(1-x)^4$ のように区間の両端で $0$ になる因子を掛けて、関数全体を小さくすることが大切である。