Doobのマルチンゲール収束定理

$Y_m:=a+(X_m-a)^+=\max(X_m,a)$ とおく。$\varphi(x)=\max(x,a)$ は単調非減少な凸関数なので、$(Y_m)$ は劣マルチンゲールである。$Y_m\le a$ と $X_m\le a$、$Y_m\ge b$ と $X_m\ge b$ はそれぞれ同値なので、$(Y_m)$ の時刻 $N_j$ と上向き横断の回数は $(X_m)$ のものと同じである。
$a$ 以下になってから $b$ 以上になるまでの間だけ $1$ 単位を賭ける列
$$ H_m:=\begin{cases}1&(\text{ある }k\text{ について }N_{2k-1}< m\le N_{2k})\\0&(\text{それ以外})\end{cases} $$
を考える。$\{N_{2k-1}< m\le N_{2k}\}=\{N_{2k-1}\le m-1\}\setminus\{N_{2k}\le m-1\}\in\mathcal F_{m-1}$ なので $(H_m)$ は可予測である。$(H\cdot Y)_n$ は、時刻 $n$ までに完了した各上向き横断で $Y_{N_{2k}}-Y_{N_{2k-1}}\ge b-a$（$Y_{N_{2k-1}}=a$ なので）を得て、時刻 $n$ に途中の横断があればさらに $Y_n-Y_{N_{2k-1}}=Y_n-a\ge0$ を加えたものである。よって
$$ (b-a)\,U_n[a,b]\le(H\cdot Y)_n $$
である。$K_m:=1-H_m$ も可予測で $0\le K_m\le1$ なので、$(K\cdot Y)$ は劣マルチンゲールで $E[(K\cdot Y)_n]\ge0$ である。$Y_n-Y_0=(H\cdot Y)_n+(K\cdot Y)_n$ なので
$$ (b-a)\,E\bigl[U_n[a,b]\bigr]\le E[(H\cdot Y)_n]\le E[Y_n-Y_0]=E\bigl[(X_n-a)^+\bigr]-E\bigl[(X_0-a)^+\bigr] $$
を得る。$\square$

横断は有限回。 $a< b$ を固定する。$(x-a)^+\le x^++|a|$ なので、lem-dmc-upcrossing から
$$ E\bigl[U_n[a,b]\bigr]\le\frac{E[X_n^+]+|a|}{b-a}\le\frac{\sup_mE[X_m^+]+|a|}{b-a} $$
である。$n\to\infty$ とすると 単調収束定理 により $E\bigl[U_\infty[a,b]\bigr]<\infty$ であり、$U_\infty[a,b]<\infty$ がほとんど確実に成り立つ。
極限の存在。 実数の列 $(x_n)$ が $\liminf_nx_n< a< b<\limsup_nx_n$ を満たすなら、$x_n\le a$ となる $n$ と $x_n\ge b$ となる $n$ がともに無限個あるので、上向き横断が無限回起こる。よって
$$ \{\liminf_nX_n<\limsup_nX_n\}=\bigcup_{a,b\in\mathbb Q,\ a< b}\{\liminf_nX_n< a< b<\limsup_nX_n\}\subset\bigcup_{a,b\in\mathbb Q,\ a< b}\{U_\infty[a,b]=\infty\} $$
であり、右辺は可算個の零集合の和なので確率 $0$ である。したがって、ほとんど確実に $\lim_nX_n$ が $[-\infty,\infty]$ の中に存在する。
極限は可積分。 $X:=\liminf_nX_n$ とおく。ほとんど確実に極限が存在するので、ほとんど確実に $X^+=\liminf_nX_n^+$、$X^-=\liminf_nX_n^-$ である。Fatouの補題 により $E[X^+]\le\liminf_nE[X_n^+]<\infty$ である。また $E[X_n^-]=E[X_n^+]-E[X_n]\le E[X_n^+]-E[X_0]$ なので、Fatou の補題から $E[X^-]\le\liminf_nE[X_n^-]\le\sup_nE[X_n^+]-E[X_0]<\infty$ である。よって $X$ はほとんど確実に有限で可積分である。$X_\infty:=X1_{\{|X|<\infty\}}$ とおけば結論を得る。$\square$

$(-X_n)$ は劣マルチンゲールで $(-X_n)^+=0$ なので、thm-dmc-main から収束する。$E[X_n]\le E[X_0]$ と Fatou の補題から $E[X_\infty]\le\liminf_nE[X_n]\le E[X_0]$ である。$\square$

1 ⇒ 2。 一様可積分な族は $L^1$ で有界なので（一様可積分性 の定義「一様可積分性」の (a)）、thm-dmc-main により $X_n$ はほとんど確実に可積分な $X_\infty$ に収束する。確率空間で $p=1$ の Vitaliの収束定理 を当てると、$\|X_n-X_\infty\|_1\to0$ である。
2 ⇒ 3 は明らかである。
3 ⇒ 4。 $X_n\to X_\infty$（$L^1$）とする。$A\in\mathcal F_n$、$m> n$ について、マルチンゲール の命題「マルチンゲールの基本性質」の 1 から $E[X_m;A]=E\bigl[E[X_m\mid\mathcal F_n];A\bigr]=E[X_n;A]$ であり、
$$ \bigl|E[X_m;A]-E[X_\infty;A]\bigr|\le E|X_m-X_\infty|\to0\qquad(m\to\infty) $$
なので $E[X_n;A]=E[X_\infty;A]$ である。$X_n$ は $\mathcal F_n$-可測で可積分なので、条件付き期待値の定義により $X_n=E[X_\infty\mid\mathcal F_n]$ であり、$Z:=X_\infty$ とすればよい。
4 ⇒ 1 は、一様可積分性 の例「条件付き期待値の族」による。
後半：2 の極限 $X_\infty$ について 3 ⇒ 4 の議論から $X_n=E[X_\infty\mid\mathcal F_n]$ である。4 の $Z$ について $X_\infty=E[Z\mid\mathcal F_\infty]$ となることは、次の thm-dmc-levy-upward である。$\square$

$X_n:=E[Z\mid\mathcal F_n]$ は塔の性質によりマルチンゲールであり（マルチンゲール の例「情報を増やして条件付けた列」）、thm-dmc-ui の 4 ⇒ 1 ⇒ 2 により、ほとんど確実に、かつ $L^1$ で可積分な $X_\infty$ に収束する。$X_\infty:=\limsup_nX_n$ を $\{\limsup_n|X_n|<\infty\}$ の上で、$0$ をその外でとれば、$X_\infty$ は $\mathcal F_\infty$-可測である。
$\mathcal L:=\{A\in\mathcal F_\infty\mid E[X_\infty;A]=E[Z;A]\}$ とおく。$A\in\mathcal F_n$ なら、3 ⇒ 4 の議論から $E[X_\infty;A]=E[X_n;A]=E[Z;A]$ なので、$\mathcal P:=\bigcup_n\mathcal F_n\subset\mathcal L$ である。$\mathcal F_n$ は増加列なので $\mathcal P$ は有限個の共通部分で閉じている（π 系）。$\mathcal L$ は $\Omega$ を含み、$A\subset B$ がともに $\mathcal L$ に属すれば $B\setminus A$ も属し（積分の線形性）、増加列 $A_k\uparrow A$ がすべて属せば $A$ も属する（$|X_\infty1_{A_k}|\le|X_\infty|$、$|Z1_{A_k}|\le|Z|$ と 優収束定理）。よって $\mathcal L$ は λ 系であり、Dynkinのπ-λ定理 により $\sigma(\mathcal P)=\mathcal F_\infty\subset\mathcal L$ である。$X_\infty$ は $\mathcal F_\infty$-可測で可積分なので、$X_\infty=E[Z\mid\mathcal F_\infty]$ である。$\square$

thm-dmc-levy-upward を $Z=1_A$ に当てると、$1_A$ は $\mathcal F_\infty$-可測なので $E[1_A\mid\mathcal F_\infty]=1_A$ である。$\square$

$E[X_n^+]\le E|X_n|\le E[|X_n|^p]^{1/p}$（Jensenの不等式 または Hölder の不等式）なので、thm-dmc-main によりほとんど確実に $X_n\to X_\infty$ である。Doobの極大不等式 の定理「$L^p$ での Doob の極大不等式」により
$$ E\Bigl[\max_{m\le n}|X_m|^p\Bigr]\le\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sup_kE\bigl[|X_k|^p\bigr] $$
であり、$n\to\infty$ として単調収束定理から $X^*:=\sup_m|X_m|$ は $E[(X^*)^p]<\infty$ を満たす。$|X_\infty|\le X^*$ なので $|X_n-X_\infty|^p\le(2X^*)^p$ は可積分な関数で抑えられ、優収束定理により $E|X_n-X_\infty|^p\to0$ である。$\square$