Kaplanskyの定理(射影加群)

閉包を可算個ずつ広げる。 $S$ が閉じていて $\mu\in\Lambda$ とする。$S\cup\{\mu\}$ を含む閉じた集合 $T$ で、$T\setminus S$ が可算であるものを作る。各 $E_\lambda$ について可算個の生成元を一つずつ選んでおく。$T_0=S\cup\{\mu\}$ とし、
$$ T_{k+1}=T_k\cup\bigcup_{\lambda\in T_k\setminus S}\ \bigcup_{g}\operatorname{supp}\pi(g) $$
（$g$ は $E_\lambda$ の選んだ生成元を動く）と定め、$T=\bigcup_kT_k$ とする。可算集合の可算個の和は可算で、各 $\operatorname{supp}\pi(g)$ は有限なので、帰納的に $T_k\setminus S$ は可算であり、$T\setminus S$ も可算である。$\lambda\in S$ なら $\pi(E_\lambda)\subset\pi(F_S)\subset F_S\subset F_T$ である。$\lambda\in T\setminus S$ なら $\lambda\in T_k$ となる $k$ があり、$E_\lambda$ の生成元 $g$ について $\pi(g)\in F_{T_{k+1}}\subset F_T$ なので、$\pi$ の線形性から $\pi(E_\lambda)\subset F_T$ である。$F_T$ はこれらの $E_\lambda$ で生成されるので $T$ は閉じている。
超限帰納法で積み上げる。 $\Lambda$ を整列し、順序数 $\kappa$ を用いて $\Lambda=\{\lambda_\alpha\mid\alpha<\kappa\}$ と番号付ける。閉じた集合の増大列 $(S_\alpha)_{\alpha\le\kappa}$ を、$S_0=\emptyset$、後続では上の構成を $S=S_\alpha$、$\mu=\lambda_\alpha$ に当てた $T$ を $S_{\alpha+1}$ とし、極限順序数 $\gamma$ では $S_\gamma=\bigcup_{\alpha<\gamma}S_\alpha$ と定める。極限では $F_{S_\gamma}=\bigcup_{\alpha<\gamma}F_{S_\alpha}$（各元の台は有限で、ある段階に含まれる）なので $S_\gamma$ も閉じている。$\lambda_\alpha\in S_{\alpha+1}$ なので $S_\kappa=\Lambda$ である。
$M_\alpha=M\cap F_{S_\alpha}$、$N_\alpha=N\cap F_{S_\alpha}$ とおく。$M_\alpha$ は $F$ の直和因子である。実際
$$ F=F_{S_\alpha}\oplus F_{\Lambda\setminus S_\alpha}=M_\alpha\oplus N_\alpha\oplus F_{\Lambda\setminus S_\alpha} $$
である。$C=N_\alpha\oplus F_{\Lambda\setminus S_\alpha}$ とおくと $M_\alpha\subset M_{\alpha+1}$ より $M_{\alpha+1}=M_\alpha\oplus(C\cap M_{\alpha+1})$ となる（$m\in M_{\alpha+1}$ を $F=M_\alpha\oplus C$ で分けると、$C$ 成分は $m$ から $M_\alpha$ の元を引いたものなので $M_{\alpha+1}$ に入る）。$M'_\alpha=C\cap M_{\alpha+1}$ とおく。
$F_{S_{\alpha+1}}=M_{\alpha+1}\oplus N_{\alpha+1}$ と $F_{S_\alpha}=M_\alpha\oplus N_\alpha$ を比べると
$$ \bigoplus_{\lambda\in S_{\alpha+1}\setminus S_\alpha}E_\lambda\cong F_{S_{\alpha+1}}/F_{S_\alpha}\cong(M_{\alpha+1}/M_\alpha)\oplus(N_{\alpha+1}/N_\alpha) $$
である。左辺は可算個の可算生成加群の直和なので可算生成であり、その直和因子 $M_{\alpha+1}/M_\alpha\cong M'_\alpha$ も（射影の像として）可算生成である。
最後に、超限帰納法で $M_\alpha=\bigoplus_{\beta<\alpha}M'_\beta$ を示す。後続では $M_{\alpha+1}=M_\alpha\oplus M'_\alpha$ による。極限 $\gamma$ では $M_\gamma=\bigcup_{\alpha<\gamma}M_\alpha$ であり、和が直和であることは有限個の項だけを含むある $M_\alpha$ の中で確かめられる。$\alpha=\kappa$ として $M=\bigoplus_{\beta<\kappa}M'_\beta$ を得る。各 $M'_\beta$ は $M_{\beta+1}$ の直和因子で、$M_{\beta+1}$ は $F$ の直和因子なので、$M'_\beta$ は $F$ の、従って $M$ の直和因子である。$\square$

$x=0$ なら零加群を取ればよい。$x\ne0$ とする。自由加群 $F$ と部分加群 $Q$ で $F=P\oplus Q$ となるものを取る。$F$ の基底を一つ選ぶと、$x$ はそのうち有限個の基底元を使って書ける。$F$ のあらゆる基底のうち、$x$ を表すのに使う基底元（係数が $0$ でないもの）の個数が最小のものを選び、その個数を $n\ge1$、
$$ x=a_1u_1+\cdots+a_nu_n\qquad(a_i\ne0) $$
とする。選んだ基底のうち $u_1,\dots,u_n$ 以外の元が張る部分加群を $F_1$ とし、$F_0=Au_1\oplus\cdots\oplus Au_n$ とおく。$F=F_0\oplus F_1$ である。
係数の間の関係はすべて $\mathfrak m$ に入る。 $r_1a_1+\cdots+r_na_n=0$（$r_i\in A$）なら、すべての $r_i$ は $\mathfrak m$ に属する。実際 $r_j$ が単元なら $a_j=\sum_{i\ne j}s_ia_i$（$s_i=-r_j^{-1}r_i$）と書ける。基底の $u_i$（$i\ne j$）を $u_i+s_iu_j$ に取り替え、他の基底元はそのままにすると、再び $F$ の基底が得られ（逆の取り替えは $s_i$ を $-s_i$ にしたもの）、
$$ x=\sum_{i\ne j}a_i(u_i+s_iu_j)+\Bigl(a_j-\sum_{i\ne j}s_ia_i\Bigr)u_j=\sum_{i\ne j}a_i(u_i+s_iu_j) $$
となって、$x$ が $n-1$ 個の基底元で書ける。これは $n$ の最小性に反する。
基底を $P$ の元に取り替える。 $u_i=y_i+z_i$（$y_i\in P$、$z_i\in Q$）と分け、
$$ y_i=\sum_{j=1}^nc_{ji}u_j+t_i\qquad(c_{ji}\in A,\ t_i\in F_1) $$
と書く。$x\in P$ なので $x$ の $Q$ 成分は $0$ であり、$x=\sum_ia_iy_i$ となる。両辺の $u_j$ の係数を比べると $a_j=\sum_ic_{ji}a_i$、すなわち $\sum_i(\delta_{ji}-c_{ji})a_i=0$ である（$\delta_{ji}$ は Kronecker のデルタ）。前段により $\delta_{ji}-c_{ji}\in\mathfrak m$ がすべての $i,j$ で成り立つ。従って行列 $C=(c_{ji})$ は $\mathfrak m$ を法として単位行列に合同で、$\det C\equiv1\pmod{\mathfrak m}$ は単元であり、$C$ は $A$ 上可逆である（逆行列は $(\det C)^{-1}\operatorname{adj}C$）。
$F$ の自己準同型 $\phi$ を、$\phi(u_i)=y_i$（$1\le i\le n$）、$F_1$ 上は恒等写像と定める。分解 $F=F_0\oplus F_1$ に関して $\phi$ と $\psi$ を
$$ \phi=\begin{pmatrix}C&0\\ T&1\end{pmatrix},\qquad \psi=\begin{pmatrix}C^{-1}&0\\ -TC^{-1}&1\end{pmatrix} $$
と書く。ここで $T\colon F_0\to F_1$ は $u_i\mapsto t_i$ で定まる写像である。$\phi\psi=\psi\phi=1$ なので $\phi$ は自己同型であり、$y_1,\dots,y_n$ と $F_1$ の基底をあわせたものは $F$ の基底になる。
$L=Ay_1\oplus\cdots\oplus Ay_n$ は階数 $n$ の自由加群で、$F=L\oplus F_1$、$L\subset P$ である。$p\in P$ を $p=l+f$（$l\in L$、$f\in F_1$）と分けると $f=p-l\in P\cap F_1$ なので、$P=L\oplus(P\cap F_1)$ である。$x=\sum_ia_iy_i\in L$ なので、$L$ が求める直和因子である。$\square$

$F=P\oplus Q$ を自由加群とすると、局所化して $F_{\mathfrak p}=P_{\mathfrak p}\oplus Q_{\mathfrak p}$ であり、$F_{\mathfrak p}$ は自由 $A_{\mathfrak p}$ 加群である。従って $P_{\mathfrak p}$ は局所環 $A_{\mathfrak p}$ 上の射影加群であり、thm-kaplansky-projective の 2 により自由である。$\square$