Gauss積分（高校数学）

後で示す不等式 $e^t\ge1+t$（lem-gi-exp）で $t=-x^2$ とすると $e^{-x^2}\ge1-x^2$、$t=x^2$ とすると $e^{x^2}\ge1+x^2$、すなわち $e^{-x^2}\le\frac1{1+x^2}$ である。よって
$$ \int_0^1(1-x^2)\,dx\le\int_0^1e^{-x^2}\,dx\le\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} $$
であり、左辺は $\bigl[x-\frac{x^3}3\bigr]_0^1=\frac23$、右辺は $\bigl[\arctan x\bigr]_0^1=\frac\pi4$ である。したがって $0.666\ldots\le\int_0^1e^{-x^2}dx\le0.785\ldots$ である（数値計算による値は $0.7468\ldots$）。

$\int_0^3e^{-x^2}dx$ を数値計算すると $0.886207\ldots$ であり、$\frac{\sqrt\pi}2=0.886226\ldots$ にかなり近い。
$x\ge3$ の部分の寄与は小さい。被積分関数の値が小さいことだけでは、長い区間の積分が小さいとは言えない（ex-gi-divergent の $\frac1x$ がその例である）ので、積分そのものを評価する。$x\ge3$ では $x^2\ge3x$ なので $e^{-x^2}\le e^{-3x}$ である。よって $R>3$ について
$$ \int_3^Re^{-x^2}dx\le\int_3^Re^{-3x}dx=\Bigl[-\frac{e^{-3x}}3\Bigr]_3^R=\frac{e^{-9}-e^{-3R}}3<\frac{e^{-9}}3=0.0000411\ldots $$
である。$R$ をどれだけ大きくしても、$x\ge3$ の部分の寄与は $0.00005$ より小さい（数値計算では $\int_3^Re^{-x^2}dx$ は $R\to\infty$ で $0.0000195\ldots$ に近づく）。
この記事の主定理は、$\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ がちょうど $\frac{\sqrt\pi}2$ になることである。

1. $\displaystyle\int_1^R\frac{dx}{x^2}=\Bigl[-\frac1x\Bigr]_1^R=1-\frac1R$ であり、$R\to\infty$ で $1$ に近づく。よって $\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=1$ である（$R=10,100,1000$ で $0.9,\ 0.99,\ 0.999$）。
2. $\displaystyle\int_0^R\frac{dx}{1+x^2}=\bigl[\arctan x\bigr]_0^R=\arctan R$ であり、$R\to\infty$ で $\frac\pi2$ に近づく。よって $\displaystyle\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2$ である。

$\displaystyle\int_1^R\frac{dx}x=\log R$ は、$R=10,100,1000$ で $2.30\ldots,\ 4.60\ldots,\ 6.90\ldots$ と限りなく大きくなる。よって $\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}x$ は収束しない。被積分関数 $\frac1x$ は $0$ に近づくが、近づき方が遅いので、積分は上に有界にならない。

1. $t=-x^2$ とすると $e^{-x^2}\ge1-x^2$ である。$0\le x\le1$ では両辺とも $0$ 以上なので、両辺を $n$ 乗して $e^{-nx^2}\ge(1-x^2)^n$ である。
2. $t=x^2$ とすると $e^{x^2}\ge1+x^2>0$ である。両辺を $n$ 乗して逆数をとると $e^{-nx^2}\le(1+x^2)^{-n}$ である（すべての $x$ で）。
   たとえば $x=\frac12$、$n=2$ では、$(1-\frac14)^2=0.5625$、$e^{-1/2}=0.6065\ldots$、$(1+\frac14)^{-2}=0.64$ で、確かに $0.5625\le0.6065\ldots\le0.64$ である。

1. $\displaystyle\int_0^1(1-x^2)^3\,dx$：$x=\sin\theta$（$0\le\theta\le\frac\pi2$）とおくと $dx=\cos\theta\,d\theta$、$1-x^2=\cos^2\theta$ なので、$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^6\theta\cdot\cos\theta\,d\theta=I_7=\frac{16}{35}$ である。展開して直接計算しても $\int_0^1(1-3x^2+3x^4-x^6)dx=1-1+\frac35-\frac17=\frac{16}{35}$ となり、一致する。
2. $\displaystyle\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^3}$：$x=\tan\theta$ とおくと $dx=\frac{d\theta}{\cos^2\theta}$、$1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta}$ なので、$\displaystyle\int_0^R\frac{dx}{(1+x^2)^3}=\int_0^{\arctan R}\cos^6\theta\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}=\int_0^{\arctan R}\cos^4\theta\,d\theta$ である。$R\to\infty$ で $\arctan R\to\frac\pi2$ なので、値は $I_4=\frac{3\pi}{16}$ である。

段 5 の不等式 $\sqrt nI_{2n+1}\le G\le\sqrt nI_{2n-2}$ を具体的な $n$ で計算すると、次のようになる（図 2）。

$\frac{\sqrt\pi}2=0.886226\ldots$ はつねにその間にある。$n=1$ の上からの評価は、$\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2=I_0$ そのものである（ex-gi-improper-examples の 2）。

段 1（全体の積分）：$e^{-x^2}$ は偶関数なので、$x=-u$ と置換すると $\int_{-R}^0e^{-x^2}dx=\int_0^Re^{-u^2}du$ である。よって $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=2\cdot\frac{\sqrt\pi}2=\sqrt\pi$ である。
段 2（尺度を変える）：$x=\frac y{\sqrt2}$ と置換すると $dx=\frac{dy}{\sqrt2}$ なので
$$ \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2}\,dy=\sqrt2\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{2\pi} $$
である。したがって $\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}dy=1$ であり、標準正規分布の密度 $\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$ の定数 $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ は、全体の確率を $1$ にするためのものである（数値積分でも $1.0000\ldots$）。

prf-thm-gi-gauss の段 3 は $0\le x\le1$ に限った。$x=2$、$n=2$ では $(1-x^2)^n=(1-4)^2=9$ であり、$e^{-nx^2}=e^{-8}=0.00033\ldots$ より大きい。$1-x^2<0$ のときは、$e^{-x^2}\ge1-x^2$ の両辺を $n$ 乗しても不等号の向きが保たれるとは限らない（負の数を偶数乗すると正になる）。段 3 で積分の区間を $[0,1]$ にしたのはこのためである。