F_σ-集合

1. $A=\bigcup_n F_n$（$F_n$ は閉集合）ならば、De Morganの法則により $X\setminus A=\bigcap_n(X\setminus F_n)$ であり、各 $X\setminus F_n$ は開集合なので $X\setminus A$ は $G_\delta$-集合である。逆に $X\setminus A=\bigcap_n U_n$（$U_n$ は開集合）ならば $A=\bigcup_n(X\setminus U_n)$ であり、各 $X\setminus U_n$ は閉集合なので $A$ は $F_\sigma$-集合である。
2. $A_k$（$k\in\mathbb{N}$）を $F_\sigma$-集合とすると、(1) により $X\setminus A_k$ は $G_\delta$-集合であり、G_δ-集合 の閉包性（可算個の $G_\delta$-集合の共通部分は $G_\delta$-集合）により $X\setminus\bigcup_k A_k=\bigcap_k(X\setminus A_k)$ は $G_\delta$-集合である。再び (1) により $\bigcup_k A_k$ は $F_\sigma$-集合である。有限個の共通部分についても同様に、$X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup(X\setminus B)$ が $G_\delta$-集合の有限和として $G_\delta$-集合であることから従う。逆像については、$A=\bigcup_n F_n$ に対し $f^{-1}(A)=\bigcup_n f^{-1}(F_n)$ であり、$f$ の連続性により各 $f^{-1}(F_n)$ は $Y$ の閉集合である。
3. 開集合 $U$ に対し $X\setminus U$ は閉集合であり、距離空間の閉集合は $G_\delta$-集合である（G_δ-集合）。(1) により $U$ は $F_\sigma$-集合である。$\square$

$F_\sigma$-集合であることは ex-f-sigma-countable で見た。$\mathbb{Q}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n$（$U_n$ は開集合）と表せたと仮定する。$\mathbb{Q}\subset U_n$ かつ $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密なので、各 $U_n$ は $\mathbb{R}$ の稠密な開集合である。一方、$\mathbb{Q}=\{q_0,q_1,\dots\}$ と番号づけし $V_n:=\mathbb{R}\setminus\{q_n\}$ とおくと、各 $V_n$ も稠密な開集合であり、$\bigcap_n V_n=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ である。よって
$$ \bigcap_{n\in\mathbb{N}}(U_n\cap V_n)=\mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\emptyset $$
となる。ここで $\{U_n\}_n\cup\{V_n\}_n$ は稠密な開集合からなる可算族であり、$\mathbb{R}$ は完備距離空間なので、Baireのカテゴリー定理（Mun00 §48）により可算個の稠密な開集合の共通部分は $\mathbb{R}$ で稠密、特に空でない。これは矛盾である。$\square$

点 $x\in X$ における $f$ の振動を
$$ \omega_f(x):=\inf_{U}\ \sup_{y,z\in U}|f(y)-f(z)|\in[0,\infty] $$
と定める。ここで $U$ は $x$ を含む開集合全体を動く。
まず、$f$ が $x$ で連続であることと $\omega_f(x)=0$ であることは同値である。$f$ が $x$ で連続なら、任意の $\varepsilon>0$ に対し $x$ を含む開集合 $U$ で、$y\in U$ ならば $|f(y)-f(x)|<\varepsilon/2$ となるものがあり、$y,z\in U$ に対し $|f(y)-f(z)|<\varepsilon$ なので $\omega_f(x)\le\varepsilon$、よって $\omega_f(x)=0$ である。逆に $\omega_f(x)=0$ なら、任意の $\varepsilon>0$ に対し $x$ を含む開集合 $U$ で $\sup_{y,z\in U}|f(y)-f(z)|<\varepsilon$ となるものがあり、特に $y\in U$ ならば $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$ なので $f$ は $x$ で連続である。
次に、各 $\varepsilon>0$ について $\{x\in X\mid\omega_f(x)<\varepsilon\}$ は開集合である。実際 $\omega_f(x)<\varepsilon$ なら、$x$ を含む開集合 $U$ で $\sup_{y,z\in U}|f(y)-f(z)|<\varepsilon$ となるものがあり、任意の $y\in U$ について $U$ は $y$ を含む開集合でもあるので $\omega_f(y)\le\sup_{y',z\in U}|f(y')-f(z)|<\varepsilon$ である。よって $U\subset\{\omega_f<\varepsilon\}$ である。
したがって $E_n:=\{x\in X\mid\omega_f(x)\ge 1/n\}$（$n\ge 1$）は閉集合であり、
$$ D_f=\{x\in X\mid\omega_f(x)>0\}=\bigcup_{n\ge 1}E_n $$
は $F_\sigma$-集合である。最後の主張は prop-f-sigma-dual (1) による。$\square$