平衡圏

$f\colon X\to Y$ を $\mathbf{Set}$ のモノ射かつエピ射とする。
まず $f$ は単射である。$f(x)=f(x')$ とする。一点集合 $1=\{*\}$ から $X$ への写像 $u,v$ を $u(*)=x$、$v(*)=x'$ で定めると $f\circ u=f\circ v$ であり、$f$ のモノ性から $u=v$、したがって $x=x'$ である。
次に $f$ は全射である。全射でないと仮定し、$y_0\in Y\setminus f(X)$ を取る。二点集合 $2=\{0,1\}$ への写像 $g,h\colon Y\to2$ を
$$ g(y)=0\quad(y\in Y),\qquad h(y)=\begin{cases}1&(y=y_0),\\0&(y\ne y_0) \end{cases} $$
で定める。$y_0$ は $f$ の像に入らないので $g\circ f=h\circ f$ だが、$g\ne h$ である。これは $f$ のエピ性に反する。よって $f$ は全射でもあり、全単射 $f$ の集合論的な逆写像は $\mathbf{Set}$ の射である。したがって $f$ は同型射である。

$\mathcal{A}$ をアーベル圏、$f\colon X\to Y$ をモノ射かつエピ射とする。アーベル圏では、モノ射であることは $\ker f=0$ と同値であり、エピ射であることは $\operatorname{coker}f=0$ と同値である。したがって
$$ \operatorname{Coim}(f)=\operatorname{coker}(\ker f)\cong X, \qquad \operatorname{Im}(f)=\ker(\operatorname{coker}f)\cong Y $$
である。アーベル圏の公理により、標準射 $\operatorname{Coim}(f)\to\operatorname{Im}(f)$ は同型射である。この標準射を上の同一視で書いたものが $f\colon X\to Y$ だから、$f$ は同型射である（Stacks010C）。

$i$ は台集合上で単射である。したがって、環準同型 $u,v\colon A\to\mathbb{Z}$ が $i\circ u=i\circ v$ を満たせば、各 $a\in A$ について $i(u(a))=i(v(a))$ から $u(a)=v(a)$ となる。よって $u=v$ であり、$i$ はモノ射である。
$i$ がエピ射であることを示す。環準同型 $g,h\colon\mathbb{Q}\to B$ が $g\circ i=h\circ i$ を満たすとする。任意の $m/n\in\mathbb{Q}$（$m\in\mathbb{Z}$、$n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$）について、
$$ g(m/n)=g(i(m))g(i(n))^{-1},\qquad h(m/n)=h(i(m))h(i(n))^{-1} $$
である。仮定から右辺は等しいので $g(m/n)=h(m/n)$、したがって $g=h$ である。よって $i$ はエピ射である。
しかし $i$ は全射でない。たとえば $1/2\in\mathbb{Q}$ は整数の像に入らないので、$i$ は同型射でない。したがって $\mathbf{CRing}$ は平衡でない。

$f\colon X\to Y$ が射 $p,q\colon R\rightrightarrows X$ の余等化子であり、同時にモノ射であるとする。余等化子なので $f\circ p=f\circ q$ であり、$f$ のモノ性から $p=q$ である。したがって恒等射 $\mathrm{id}_X$ は $p,q$ を余等化する。余等化子の普遍性により、
$$ s\circ f=\mathrm{id}_X $$
を満たす射 $s\colon Y\to X$ がただ一つ存在する。
ここで余等化子 $f$ はエピ射でもある。実際、$a,b\colon Y\to Z$ が $a\circ f=b\circ f$ を満たすなら、$a\circ f$ と $b\circ f$ は同じ余等化射であり、余等化子からの因子分解の一意性により $a=b$ である。そこで
$$ (f\circ s)\circ f=f\circ(s\circ f)=f=\mathrm{id}_Y\circ f $$
に $f$ のエピ性を用いると $f\circ s=\mathrm{id}_Y$ を得る。よって $s$ は $f$ の両側逆射であり、$f$ は同型射である。