有理ホモトピー論

$n\ge3$ を奇数とし、$\pi_n$ の生成元を $\iota\in\pi_n(K(\mathbb Q,n))\cong\mathbb Q$ の $1$ に写す写像 $g\colon S^n\to K(\mathbb Q,n)$ をとる（Eilenberg–MacLane空間）。$H^*(K(\mathbb Q,n);\mathbb Q)$ は次数 $n$ の生成元 $1$ つの外積代数 $\Lambda_{\mathbb Q}[x]$ である（Hat04 Proposition 1.20, p. 31 と、有理化 $K(\mathbb Z,n)\to K(\mathbb Q,n)$ が rht-prop-criterion により有理コホモロジーの同型を誘導すること）。$g^*x$ は $H^n(S^n;\mathbb Q)$ の $0$ でない元である（Hurewicz 準同型で $g_*$ が $\pi_n$ の同型 $\mathbb Z\otimes\mathbb Q\cong\mathbb Q$ を誘導するため）。よって $g^*\colon H^*(K(\mathbb Q,n);\mathbb Q)\to H^*(S^n;\mathbb Q)=\mathbb Q\oplus\mathbb Q\,u$ は同型であり、rht-prop-criterion により $g$ は有理ホモトピー同値、すなわち $S^n$ の有理化である。$i\neq n$ で $\pi_i(S^n)\otimes\mathbb Q\cong\pi_i(K(\mathbb Q,n))=0$ が従い、これは Serre の定理（rht-thm-serre）の奇数の場合の別証明になる。$n$ が偶数なら $H^*(K(\mathbb Q,n);\mathbb Q)$ は多項式代数 $\mathbb Q[x]$ で $x^2\neq0$ なので、$S^n\to K(\mathbb Q,n)$ は有理化にならない。

$N\ge1$ とする。$A=A_{\mathrm{PL}}(\mathbb{CP}^N)$ のコホモロジーは $\mathbb Q[u]/(u^{N+1})$（$|u|=2$）である。$u$ を代表する余輪体 $\omega$ をとると、$\omega^{N+1}$ は次数 $2N+2$ の余輪体で $H^{2N+2}(A)=0$ なので $\omega^{N+1}=d\eta$ と書ける。$x\mapsto\omega$、$y\mapsto\eta$ は $(\Lambda(x,y),dy=x^{N+1})\to A$（$|x|=2$、$|y|=2N+1$）を定め、可換微分次数付き代数 の例「球面と複素射影空間の模型」の 3 により擬同型である。よって $\pi_i(\mathbb{CP}^N)\otimes\mathbb Q$ は $i=2$ と $i=2N+1$ で $\mathbb Q$、それ以外で $0$ である。これは、ファイバー束 $S^1\to S^{2N+1}\to\mathbb{CP}^N$ のホモトピー完全列から得られる $\pi_2(\mathbb{CP}^N)\cong\mathbb Z$、$\pi_i(\mathbb{CP}^N)\cong\pi_i(S^{2N+1})$（$i\ge3$）と、rht-thm-serre の 1 とに一致する（Hopf写像 の節「ホモトピー群と一般化」）。

$X=S^2\vee S^2$ とする。$H^*(X;\mathbb Q)$ は次数 $0$ の $1$ と次数 $2$ の $u_1,u_2$ で張られ、正の次数の元どうしの積は $0$ である。極小模型を次数 $3$ まで、可換微分次数付き代数 の定理「極小模型の存在」の証明の構成に沿って作る。$u_1,u_2$ の代表元 $\omega_1,\omega_2\in A_{\mathrm{PL}}(X)^2$ をとり、次数 $2$ の生成元 $x_1,x_2$（$dx_i=0$）を $\omega_i$ に写す。$\Lambda(x_1,x_2)$ の次数 $4$ のコホモロジーは $x_1^2,x_1x_2,x_2^2$ で張られる $3$ 次元の空間で、$H^4(X;\mathbb Q)=0$ なのでこれらはすべて核に入る。よって次数 $3$ の生成元 $y_{11},y_{12},y_{22}$ を
$$ dy_{11}=x_1^2,\qquad dy_{12}=x_1x_2,\qquad dy_{22}=x_2^2 $$
で加える（$H^3(X;\mathbb Q)=0$ なので、コホモロジー類を加える生成元は要らない）。以後の段で加わる生成元は次数 $4$ 以上なので、極小模型の $V^2$ は $2$ 次元、$V^3$ は $3$ 次元である。rht-thm-sullivan により
$$ \pi_2(S^2\vee S^2)\otimes\mathbb Q\cong\mathbb Q^2,\qquad\pi_3(S^2\vee S^2)\otimes\mathbb Q\cong\mathbb Q^3 $$
である。$\pi_3(S^2\vee S^2)$ は 2 つの Hopf 写像と Whitehead 積 $[i_1,i_2]$ を基底とする階数 $3$ の自由アーベル群であり（Hat02 Example 4.52, pp. 380–381、Whitehead積 の例「2 つの 2 次元球面の一点和」）、計算と合っている。Sullivan の対応（Sul77 p. 281）では、2 次の微分の項 $x_1x_2$ が Whitehead 積 $[i_1,i_2]$ に、$x_i^2$ が各成分の $[\iota_2,\iota_2]$ に対応する。

$H^*(U(n);\mathbb Z)$ は次数 $1,3,\dots,2n-1$ の生成元の外積代数である（古典群のコホモロジー環 の定理「$U(n)$・$SU(n)$・$Sp(n)$ のコホモロジー環」）。$U(n)$ は単連結でないが、位相群なので $\pi_1(U(n))\cong\mathbb Z$ は可換で、高次のホモトピー群に自明に作用する（Hat02 Example 4A.3, p. 422）。この場合にも Hat04 Theorem 1.24 が使え、$\pi_i(U(n))\otimes\mathbb Q$ は $i=1,3,\dots,2n-1$ で $\mathbb Q$、それ以外で $0$ である（Hat04 Example 1.25, p. 39）。有理ホモトピー群は積 $S^1\times S^3\times\cdots\times S^{2n-1}$ のものと同じである。