ウェッジ和
概要
ウェッジ和（wedge sum）とは、点付き空間の族 $\{(X_i,x_i)\}$ の直和において基点全体を一点に潰して得られる点付き空間 $\bigvee_i(X_i,x_i)$ のことであり、一点和・楔和ともいう。各成分は像への同相写像でウェッジ和に埋め込まれ、相異なる成分の像は基点だけで交わる。ウェッジ和は点付き空間の圏における余積であり、この普遍性から、基点を保つ同相を除いて結合的・可換であって一点空間を単位に持つ。各成分が $T_1$ 空間で基点以外の点を持つとき可算無限ウェッジ和はコンパクトでなく、コンパクトな Hawaiianイヤリングとは同相でない。
定義
点付き空間とは、位相空間 $X$ とその点 $x\in X$ の対 $(X,x)$ のことをいい、$x$ を基点という。点付き空間の間の点付き写像 $f\colon(X,x)\to(Y,y)$ とは、連続写像 $f\colon X\to Y$ で $f(x)=y$ を満たすもののことである。
$(X_1,x_1)$、$(X_2,x_2)$ を点付き空間とし、直和 $X_1\sqcup X_2$（各 $X_i$ を開かつ閉な部分空間とする位相を入れる）の上で、$x_1$ と $x_2$ だけを同一視する最小の同値関係 $\sim$ を考える。商写像を $q$ とし、商空間に基点 $[x_1]=[x_2]$ を与えた点付き空間
$$(X_1,x_1)\vee(X_2,x_2):=\bigl((X_1\sqcup X_2)/{\sim},\ [x_1]\bigr)$$
を $(X_1,x_1)$ と $(X_2,x_2)$ のウェッジ和（wedge sum、一点和、楔和）という。基点を省いて位相空間 $X_1\vee X_2$ とも書く。
より一般に、点付き空間の族 $\{(X_i,x_i)\}_{i\in I}$ に対し、直和 $\bigsqcup_{i\in I}X_i$ の上で基点全体を一点に潰す同値関係（すべての $i,j\in I$ について $x_i\sim x_j$ とし、他の点は自分自身とのみ同値とする）による商空間を $\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)$ と書き、族のウェッジ和という。この構成は $I\neq\emptyset$ に対するものである。$I=\emptyset$ のときは、上の商が空集合になって基点がとれないので、空族のウェッジ和を一点空間 $(\ast,\ast)$ と約束する。一点空間から任意の点付き空間 $(Z,z)$ への点付き写像は $\ast\mapsto z$ ただ一つなので、一点空間は点付き空間の圏の始対象であり、これは空族についての余積の普遍性そのものである。$I$ が一元集合 $\{1\}$ のときは、同一視すべき別の基点がないので $(X_1,x_1)$ 自身である。
記号 $\vee$ は TeX の命令 vee によるものであり、wedge（$\wedge$）ではない。$\wedge$ はスマッシュ積に用いられることが多い。点付き空間 $(X,x)$、$(Y,y)$ のスマッシュ積とは、積空間 $X\times Y$ の部分空間 $(X\times\{y\})\cup(\{x\}\times Y)$ を一点に潰した商空間のことであり、この部分空間は $X\vee Y$ と点付き同相であり（thm-wedge-sum-coproduct から定まる連続全単射が開写像であることを、次のように確かめる。$V$ を $X\vee Y$ の開集合とし、$U_1=\iota_X^{-1}(V)\subset X$、$U_2=\iota_Y^{-1}(V)\subset Y$ とおく。$V$ が基点を含む場合は $U_1\times U_2$、含まない場合は $(U_1\times Y)\cup(X\times U_2)$ を取ると、この $X\times Y$ の開集合と上の部分空間との交わりが $V$ の像に一致する）、この同一視のもとで $X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)$ と書かれる。スマッシュ積そのものの性質は スマッシュ積 に委ね、本記事では扱わない。ウェッジ和を「ウェッジ積」と呼ぶ流儀もあるが、外積代数における同名の演算（$\wedge$）とは別の概念である。
直感
ウェッジ和は、複数の空間を基点だけで貼り合わせて作る空間である。貼り合わせる点が一点だけなので、各空間は互いに交わらずに埋め込まれ（prop-wedge-sum-embedding）、それぞれの空間から出る点付き写像は、基点での値が一致していれば貼り合わせて一つの写像にできる（thm-wedge-sum-coproduct）。この「貼り合わせる」性質が、ウェッジ和が点付き空間の圏の余積であるということの内容である。無限個の空間を貼り合わせるときは、商位相が平面内で描いた図形の位相と一致するとは限らないことに注意がいる（rem-wedge-sum-counterexample）。
例と反例
円周 $S^1=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=1\}$ に基点 $1$ を与えた点付き空間を $n$ 個ウェッジ和した空間 $\bigvee_{k=1}^{n}(S^1,1)$ を $n$-ブーケという。$n=1$ のときは $S^1$ 自身である。$n=2$ のとき、平面内で原点だけを共有する二つの円周（たとえば中心 $(\pm1,0)$、半径 $1$ の円周の合併）と同相であり、この図形は 8 の字とも呼ばれる。実際、thm-wedge-sum-coproduct を、各円周を平面内の二円の合併へ写す点付き写像（各成分ではその円周への同相写像）の対に適用して連続な点付き写像を得ると、それは全単射である（相異なる成分の像は原点でのみ交わり、合併が図形全体だから）。定義域は有限個のコンパクト空間の直和の連続像なのでコンパクト、終域は $\mathbb{R}^2$ の部分空間なので Hausdorff だから、この写像は同相写像である（コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射は同相写像である。Mun00 §26 を引用する）。同じ構成は無限個の円周に対しても行えるが、そのときは平面内の図形と同相にならない（rem-wedge-sum-counterexample）。
一点空間 $(\ast,\ast)$ に対し、$(X,x)\vee(\ast,\ast)$ は $(X,x)$ と点付き同相である（prop-wedge-sum-unit）。この意味で一点空間はウェッジ和の単位である。
次の例は「可算個の点付き空間のウェッジ和は、それらを平面内で一点だけを共有するように並べた合併と同相である」が成り立たないことを示す。$C_n\subset\mathbb{R}^2$ を中心 $(1/n,0)$、半径 $1/n$ の円周（$n\ge1$）とし、Hawaiianイヤリング $H:=\bigcup_{n\ge1}C_n$ に $\mathbb{R}^2$ からの相対位相を入れる。各 $C_n$ は原点 $O$ を通り、$n\neq m$ のとき $C_n\cap C_m=\{O\}$ である。各 $C_n$ は $(S^1,1)$ と点付き同相だが、$H$ は可算無限ウェッジ和 $W:=\bigvee_{n\ge1}(C_n,O)$ と同相ではない。実際、$H$ はコンパクトだが $W$ はコンパクトでない（prop-wedge-sum-hawaiian-compact）。包含写像の族から thm-wedge-sum-coproduct により定まる連続全単射 $W\to H$ は存在するが、同相写像ではない。
性質
$I\neq\emptyset$ とし、$\{(X_i,x_i)\}_{i\in I}$ を点付き空間の族、$q\colon\bigsqcup_iX_i\to W:=\bigvee_i(X_i,x_i)$ を商写像とし、$\iota_i\colon X_i\to W$ を包含 $X_i\hookrightarrow\bigsqcup_jX_j$ と $q$ の合成とする。このとき各 $\iota_i$ は単射連続であり、像への位相同型（埋め込み）である。また $i\neq j$ のとき $\iota_i(X_i)\cap\iota_j(X_j)=\{\ast\}$（$\ast$ は基点）であり、$\bigcup_i\iota_i(X_i)=W$ である。
同値類は、基点全体からなる類 $\{x_j\mid j\in I\}$ と、それ以外の各点の一点集合である。よって $\iota_i$ は単射であり、像の交わりと合併についての主張も従う。連続性は $q$ と包含写像の連続性による。
埋め込みであることを示す。$U\subset X_i$ を開集合とし、$\iota_i(U)$ が部分空間 $\iota_i(X_i)$ の開集合であることを示せばよい。$x_i\notin U$ のときは、$U$ が基点を含まないので $q^{-1}(q(U))=U$ であり、これは $\bigsqcup_jX_j$ の開集合なので $\iota_i(U)=q(U)$ は $W$ の開集合である。特に $\iota_i(X_i)$ の開集合である。
$x_i\in U$ のときは $V:=U\sqcup\bigsqcup_{j\neq i}X_j\subset\bigsqcup_jX_j$ とおく。$V$ は開集合であり、すべての基点を含むので $q^{-1}(q(V))=V$ である。よって $q(V)$ は $W$ の開集合である。さらに $j\neq i$ について $\iota_j(X_j)\cap\iota_i(X_i)=\{\ast\}$ であり、$x_i\in U$ より $\ast=\iota_i(x_i)\in\iota_i(U)$ なので
$$q(V)\cap\iota_i(X_i)=\iota_i(U)\cup\{\ast\}=\iota_i(U)$$
である。よって $\iota_i(U)$ は $\iota_i(X_i)$ の開集合であり、$\iota_i$ は像への同相写像である。$\square$
$I\neq\emptyset$ とし（空族については def-wedge-sum の規約による）、$\{(X_i,x_i)\}_{i\in I}$ を点付き空間の族、$W=\bigvee_i(X_i,x_i)$、$\iota_i\colon(X_i,x_i)\to(W,\ast)$ を prop-wedge-sum-embedding の写像とする。任意の点付き空間 $(Z,z)$ と点付き写像の族 $f_i\colon(X_i,x_i)\to(Z,z)$ に対し、点付き写像 $f\colon(W,\ast)\to(Z,z)$ で、すべての $i$ について $f\circ\iota_i=f_i$ となるものがただ一つ存在する。すなわち $W$ は点付き空間の圏における族 $\{(X_i,x_i)\}$ の余積である。
直和の普遍性により、$g\colon\bigsqcup_iX_i\to Z$ を各 $X_i$ 上で $f_i$ と定めると $g$ は連続である。$g$ は同値関係と両立する：基点の類の各元 $x_i$ について $g(x_i)=f_i(x_i)=z$ であり、他の類は一点なので条件はない。よって商位相の普遍性により、連続写像 $f\colon W\to Z$ で $f\circ q=g$ となるものがただ一つ存在する。$f(\ast)=g(x_i)=z$ なので $f$ は点付き写像であり、$f\circ\iota_i=g|_{X_i}=f_i$ である。
一意性：$f'$ も条件を満たすとすると、$f'\circ q$ は各 $X_i$ 上で $f_i$ に一致するので $f'\circ q=g=f\circ q$ であり、$q$ が全射なので $f'=f$ である。$\square$
ウェッジ和は、基点を保つ同相を除いて結合的かつ可換である。すなわち
$$(X\vee Y)\vee Z\cong X\vee(Y\vee Z)\cong X\vee Y\vee Z,\qquad X\vee Y\cong Y\vee X$$
であり、これらの同相写像は基点を基点に写す。
まず $(X\vee Y)\vee Z$ が族 $\{X,Y,Z\}$ の余積の普遍性を満たすことを示す。点付き空間 $(P,p)$ と点付き写像 $f_X,f_Y,f_Z$ が与えられたとき、thm-wedge-sum-coproduct を $\{X,Y\}$ に適用して $h\colon X\vee Y\to P$（$h\circ\iota_X=f_X$、$h\circ\iota_Y=f_Y$ を満たす唯一の点付き写像）を得、さらに $\{X\vee Y,Z\}$ に適用して $f\colon(X\vee Y)\vee Z\to P$（$f$ の $X\vee Y$ への制限が $h$、$Z$ への制限が $f_Z$ となる唯一の点付き写像）を得る。逆に三つの包含との合成が $f_X,f_Y,f_Z$ になる点付き写像 $f'$ があれば、$f'$ の $X\vee Y$ への制限は $\{X,Y\}$ の普遍性の一意性から $h$ に一致し、続いて $\{X\vee Y,Z\}$ の一意性から $f'=f$ となる。よって対応は一対一であり、$(X\vee Y)\vee Z$ は $\{X,Y,Z\}$ の余積である。同様に $X\vee(Y\vee Z)$ と $X\vee Y\vee Z$ も同じ族の余積である。
同じ族の余積は普遍性から一意に定まる：$W_1$、$W_2$ がともに余積なら、互いの包含から点付き写像 $u\colon W_1\to W_2$、$v\colon W_2\to W_1$ が定まり、$v\circ u$ と恒等写像はともに $W_1$ の包含と可換なので、一意性から $v\circ u=\mathrm{id}$、同様に $u\circ v=\mathrm{id}$ である。よって $u$ は基点を保つ同相写像である。可換律も、族 $\{X,Y\}$ の余積が添字の順序によらないことから同様に従う。$\square$
$(X,x)$ を点付き空間、$(\ast,\ast)$ を一点空間とすると、$\iota_X\colon(X,x)\to(X,x)\vee(\ast,\ast)$ は点付き同相写像である。
商空間では $x$ と $\ast$ が同一視され、他の点は一点の類なので $\iota_X$ は全単射である。prop-wedge-sum-embedding により $\iota_X$ は像への同相写像であり、像は全体である。よって $\iota_X$ は同相写像であり、基点を基点に写す。$\square$
$I\neq\emptyset$ とし、$\{(X_i,x_i)\}_{i\in I}$ を点付き空間の族とし、各 $i$ について一点集合 $\{x_i\}$ が $X_i$ の閉集合であるとする。このとき各 $\iota_i(X_i)$ は $W=\bigvee_i(X_i,x_i)$ の閉集合である。
$q^{-1}(\iota_i(X_i))$ は、第 $i$ 成分が $X_i$、$j\neq i$ の成分が $\{x_j\}$ である集合である（$\iota_i(X_i)$ は $\iota_i$ の像と基点からなり、基点の逆像は基点全体だから）。各成分との交わりが閉集合なので、これは $\bigsqcup_jX_j$ の閉集合である。よって商位相の定義により $\iota_i(X_i)$ は $W$ の閉集合である。$\square$
$\{(X_n,x_n)\}_{n\ge1}$ を点付き空間の可算無限族とし、各 $X_n$ は $T_1$ 空間（一点集合が閉集合）であって $x_n$ 以外の点を持つとする。このとき $W=\bigvee_{n\ge1}(X_n,x_n)$ はコンパクトでない。
可算選択公理により、各 $n$ について $p_n\in X_n\setminus\{x_n\}$ を選び、$A:=\{\iota_n(p_n)\mid n\ge1\}$、$V_n:=\iota_n(X_n\setminus\{x_n\})$ とおく。
$V_n$ は開集合である：$q^{-1}(V_n)$ は第 $n$ 成分が $X_n\setminus\{x_n\}$、他の成分が空集合であり、$T_1$ 性により $\{x_n\}$ は閉集合なので、これは $\bigsqcup_mX_m$ の開集合である。$A$ は閉集合である：$q^{-1}(A)$ は各成分 $X_n$ で一点集合 $\{p_n\}$ であり、$T_1$ 性により閉集合なので、$\bigsqcup_mX_m$ の閉集合である。よって $W\setminus A$ は開集合である。
$\{V_n\}_{n\ge1}\cup\{W\setminus A\}$ は $W$ の開被覆である。実際、$W$ の各点は、基点 $\ast$（$A$ に属さないので $W\setminus A$ に入る）か、ある $n$ と $y\neq x_n$ による $\iota_n(y)$（$V_n$ に入る）のいずれかである。この被覆の有限部分族は、有限個の $V_{n_1},\dots,V_{n_k}$ と（含まれていれば）$W\setminus A$ からなる。$n\notin\{n_1,\dots,n_k\}$ なる $n$（無限個ある）について、$\iota_n(p_n)$ はどの $V_{n_j}$ にも属さず（相異なる成分の像は基点でしか交わらず、$\iota_n(p_n)\neq\ast$）、$A$ に属するので $W\setminus A$ にも属さない。よって有限部分族は $W$ を覆わず、$W$ はコンパクトでない。$\square$
rem-wedge-sum-counterexample の $H=\bigcup_{n\ge1}C_n\subset\mathbb{R}^2$ はコンパクトである。各 $C_n$ は距離空間の部分空間なので $T_1$ 空間であり、原点 $O$ 以外の点を持つので、prop-wedge-sum-noncompact により $\bigvee_{n\ge1}(C_n,O)$ はコンパクトでない。よって両者は同相でない。
$H$ は原点を中心とする半径 $2$ の閉円板に含まれるので有界である。閉であることを示す。$p\in\mathbb{R}^2\setminus H$ とする。$O\in H$ なので $p\neq O$ であり、$r:=|p|>0$ である。$2/n< r/2$ を満たす $n$ をとると、$m\ge n$ なる各 $C_m$ は原点中心・半径 $2/m\le2/n< r/2$ の閉円板に含まれるので、$|y|\ge r/2$ なる点 $y$ を含まない。したがって開球 $B(p,r/2)$ は $\bigcup_{m\ge n}C_m$ と交わらない（$|y-p|< r/2$ ならば $|y|>r/2$）。一方 $C_1\cup\dots\cup C_{n-1}$ は有限個の閉集合の合併なので閉集合であり（$n=1$ のときは空集合）、$p$ を含まないので、ある $\varepsilon>0$ について開球 $B(p,\varepsilon)$ と交わらない。よって $B(p,\min\{r/2,\varepsilon\})$ は $H$ と交わらず、$\mathbb{R}^2\setminus H$ は開集合、すなわち $H$ は閉集合である。
有界閉集合がコンパクトであること（Heine–Borel の定理）は Mun00 §27 を引用し、本記事では証明しない。$H$ はコンパクト、$\bigvee_{n\ge1}(C_n,O)$ は prop-wedge-sum-noncompact によりコンパクトでないので、両者は同相でない。$\square$
補足：単体的集合における対応
位相空間と単体的集合は同等のホモトピー論を持つので（幾何学的実現と特異単体集合が Quillen 同値を与える。GJ99 I.11 を引用し、本記事では扱わない）、ウェッジ和にも単体的集合版がある。点付き単体的集合とは、単体的集合 $X$ と $0$ 単体 $x\in X_0$ の対 $(X,x)$ のことである（各次数に基点から定まる単体が退化写像により決まる）。族 $\{(X_i,x_i)\}$ のウェッジ和 $\bigvee_i(X_i,x_i)$ は、各次数 $n$ で直和 $\bigsqcup_i(X_i)_n$ の基点から定まる単体をすべて一点に同一視して得られる単体的集合であり、面写像・退化写像は成分ごとに定める。これらは同一視と両立する（基点から定まる単体は面写像・退化写像で基点から定まる単体に写るため）。単体的集合の圏は前層の圏なので余極限は各次数で計算され、位相空間の場合と同じ議論で、これが点付き単体的集合の圏の余積になることが示される。
幾何学的実現 $|{-}|$ は特異単体集合をとる関手の左随伴なので余極限を保ち、点付きの実現について $\bigl|\bigvee_i(X_i,x_i)\bigr|$ は $\bigvee_i\bigl(|X_i|,|x_i|\bigr)$ と点付き同相である（実現が余極限を保つことは GJ99 I.2 を引用し、本記事では証明しない）。詳細は ウェッジ和(単体的集合) を参照。
余積であるという性質は、点付き空間のホモトピー圏（射を点付きホモトピー類とする圏）へは仮定なしに持ち上がる。実際、点付きホモトピー $H_i\colon X_i\times[0,1]\to Z$ の族は、直和の上で一つの写像を定め、基点の切片ではすべて値 $z$ をとるので、集合としてはウェッジ和からの写像を誘導する。$[0,1]$ は局所コンパクト Hausdorff 空間なので $q\times\mathrm{id}_{[0,1]}$ も商写像であり（Mun00 §29 を引用し、本記事では証明しない）、誘導された写像は連続である。したがって点付きホモトピー類の間でも thm-wedge-sum-coproduct と同じ一対一対応が成り立つ。点付き空間の $\infty$ 圏については、各成分の基点が良い基点である（下の補足を参照）ときに thm-wedge-sum-coproduct の一対一対応が写像空間の同値に強まる（Lur09 を引用し、本記事では扱わない）。点付き単体的集合の圏ではすべての対象がこの意味でコファイブラントなので、この仮定は自動的に満たされる。
補足：ホモトピー論での役割
各 $(X_i,x_i)$ の基点が良い基点である（包含 $\{x_i\}\hookrightarrow X_i$ がコファイブレーション。CW 複体の $0$ セルはこれを満たす）とき、次が成り立つ。いずれも Hat02 からの引用であり、本記事では証明しない。
- 基本群は自由積になる：$\pi_1\bigl(\bigvee_{i}(X_i,x_i)\bigr)\cong\ast_{i}\pi_1(X_i,x_i)$（van Kampen の定理の帰結。Hat02 §1.2 例 1.21）。特に $n$-ブーケ（ex-wedge-sum-bouquet）の基本群は階数 $n$ の自由群である。
- 被約ホモロジーは直和に分解する：$\tilde H_k\bigl(\bigvee_iX_i\bigr)\cong\bigoplus_i\tilde H_k(X_i)$（Hat02 系 2.25）。
また、被約懸垂はウェッジ和と交換する：$\Sigma(X\vee Y)\cong\Sigma X\vee\Sigma Y$（Hat02 第 4 章の懸垂の計算）。こちらは商空間としての計算なので良い基点を仮定しない。
良い基点の仮定は、上の二つの主張（基本群の自由積分解と被約ホモロジーの直和分解）の証明で使われる（Hat02）。仮定を外したときにこれらが破れるかどうかは本記事では扱わない。
なお、Hawaiianイヤリング $H$ は上の主張の反例ではない。$H$ は各円周が原点を通る平面内の図形であって、rem-wedge-sum-counterexample のとおりウェッジ和 $\bigvee_{n}(C_n,O)$ とは同相でないからである。$H$ の基本群は可算階数の自由群ではなく非可算濃度を持つ（Hat02 例 1.25 を引用。本記事では扱わない）。同じ円周の族から作った二つの空間が、位相の違いだけで基本群を大きく変えるという事実である。
