三角関数はどう定義するか

前提知識: 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 平均値の定理, 中間値の定理, 微分積分学の基本定理, 上限と下限

高校での出発点：単位円と弧度法

高校では、原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円（単位円）の上を、点 $A=(1,0)$ から反時計回りに長さ $\theta$ だけ進んだ点 $P$ の座標を $(\cos\theta,\sin\theta)$ と定める（時計回りなら $\theta<0$）。角を弧の長さで測るのが弧度法で、半周の長さを $\pi$ と書く。
導関数は次のように求める。$0< h<\frac\pi2$ のとき、三角形 $OAP$ の面積 $\frac12\sin h$、扇形 $OAP$ の面積 $\frac h2$、$A$ での接線と直線 $OP$ の交点を $T$ とした三角形 $OAT$ の面積 $\frac12\tan h$ を比べて
$$ \sin h< h<\tan h\qquad\Bigl(0< h<\frac\pi2\Bigr) $$
を得る。これを変形した $\cos h<\frac{\sin h}h<1$ とはさみうちから $\lim_{h\to0}\frac{\sin h}h=1$ を得る（たとえば $\frac{\sin0.1}{0.1}=0.99833\ldots$、$\frac{\tan0.1}{0.1}=1.00334\ldots$）。最後に加法定理で $\frac{\sin(x+h)-\sin x}h=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}h+\cos x\cdot\frac{\sin h}h\to\cos x$ として $(\sin x)'=\cos x$ を得る。
計算としては正しいが、定義として見ると、次の 3 点が未解決である。

1. 弧の長さとは何か。 曲線の長さは、折れ線の長さの上限や積分 $\int\sqrt{1+y'(x)^2}\,dx$ で初めて定義できる量で、極限と積分の理論を前提にする。長さ $\theta$ の弧の終点が 1 つに決まることも示す必要がある。
2. 扇形の面積 $\frac h2$ はどこから来たか。 円の面積 $\int_{-1}^1 2\sqrt{1-x^2}\,dx=\pi$ を計算するには置換 $x=\sin\theta$、$dx=\cos\theta\,d\theta$ を使う。これは $(\sin\theta)'=\cos\theta$ そのもので、これから証明する式を先に使っている。面積を別に基礎づけない限り、議論は循環する。
3. 加法定理は一般の角で成り立つか。 図による証明は特定の範囲の角について描かれ、残りは場合分けや回転で補う。回転を座標で書くには三角関数が要る。
   これは高校数学の誤りではなく、長さ・面積・角という幾何の量を、実数と極限の言葉でまだ定義していないことから来ている。
   この記事では、三角関数がもつべき性質を条件 (T) として取り出し、(T) だけから加法定理・$\pi$・周期 $2\pi$・単位円との関係を導く。そのうえで (T) を満たす関数の作り方として、級数、微分方程式 $y''=-y$、$\arcsin$ の積分と逆関数の 3 つを示し、すべて同じ関数と同じ $\pi$ を与えることを証明する。弧の長さは最後に定理として回収される。
   前提として、実数の連続性（上限の存在）と、そこから導かれる微分積分の基本事項（平均値の定理、「導関数が区間で $0$ なら定数」「導関数が正なら狭義単調増加」、中間値の定理、微分積分学の基本定理、逆関数の微分公式、級数の比較判定と「絶対収束する級数は収束する」）を証明なしに使う（Leb26a Theorem 3.3.8、4.2.4、4.4.2、5.3.3、Proposition 4.2.6・4.2.8、§2.5）。三角関数の性質は一切前提にしない。

取り出すべき構造：条件 (T)

高校の $\sin,\cos$ は、$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$、$\sin0=0$、$\cos0=1$ を満たす。この 4 つの式には角も長さも面積も現れない。これを定義の出発点にする。

(T) を満たす組では、$S''=(S')'=C'=-S$、同様に $C''=-C$ であり、$S,C$ は何回でも微分できる。すなわち $S$ は微分方程式 $y''=-y$ の解で、$S(0)=0$、$S'(0)=1$ を満たす。
(T) から何でも導けるのは、次の補題のおかげである。

加法定理の証明に、図も角の場合分けも要らなかったことに注意する。代わりに使ったのは「$y''=-y$ の解は $x=0$ での値と微分係数で決まる」という一意性だけである。

主定理：π・周期・単位円

この節では、(T) だけから $\pi$ を定義して周期 $2\pi$ を導き、単位円と弧の長さを回収する。
$\sin x< x<\tan x$ を使って正多角形で $\pi$ を挟む方法は 正多角形で円周率を挟む で扱う。

π の定義と周期

1 では $\inf Z$ の存在、すなわち実数の連続性を使った。$\pi$ という実数を取り出すには下限の存在が欠かせない。また 2〜4 から、$S(x)=0\iff x\in\pi\mathbb{Z}$、$C(x)=0\iff x\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}$ も分かる。

単位円と弧の長さの回収

ここで初めて幾何に戻る。$C^1$ 級の曲線 $\gamma(t)=(x(t),y(t))$（$a\le t\le b$）の長さを、高校でも習う積分
$$ L=\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt $$
で定義する。折れ線の長さの上限による定義とこの積分が一致することは、ここでは証明しない（Leb26b §11.4.3 はこの積分を弧長の定義として採用している）。

曲線の長さの定義と公式は 媒介変数表示と曲線の長さ で扱う。
こうして「単位円上を $(1,0)$ から長さ $\theta$ だけ進んだ点が $(\cos\theta,\sin\theta)$」という高校の定義は、(T) から導かれる定理になった。$\pi$ も単位円の半周の長さ（円周と直径の比）に一致する。

3 つの構成

ここまでは「(T) を満たす組が存在すれば」の話である。3 つの定義は、存在の確保の仕方と $\pi$ の現れ方が違う。
級数による定義と一致する正弦・余弦の Taylor 展開は 関数の近似とテイラー展開 で扱う。

級数による定義

どちらも $\sum_na_nx^n$ の形で、係数は $|a_n|\le\frac1{n!}$ を満たす。まず収束を確かめる。$R>0$ を固定し、整数 $N\ge2R$ をとると、$n\ge N$ では $\frac{R^{n+1}/(n+1)!}{R^n/n!}=\frac R{n+1}\le\frac12$ なので $\frac{R^n}{n!}\le\frac{R^N}{N!}\bigl(\frac12\bigr)^{n-N}$。等比級数との比較により $\sum_n\frac{R^n}{n!}$ は収束する。したがって $|x|\le R$ で $\sum_n|a_nx^n|$ は収束し、絶対収束する級数は収束するので $S(x),C(x)$ は定まる。この「収束する」の部分で実数の連続性を使っている。

級数では存在は一目で分かるが、周期や $\pi$ は式から見えない。それを取り出すのが thm-deftrig-pi-period である。

微分方程式 y''=-y による定義

この定義が意味をもつには、そのような関数がちょうど 1 つあることが要る。一意性は lem-deftrig-uniqueness から分かる（2 つの解の差に使う）。存在は、級数の $S$ が $S''=-S$、$S(0)=0$、$S'(0)=1$ を満たすことから従う。逐次近似（Picard の方法。1 階の単独の方程式の局所的な存在定理が Leb26a Theorem 6.3.2）を連立方程式 $y'=z$、$z'=-y$ に使って存在を示すこともできるが、この記事では扱わない。$(\sin,\cos)=(y,y')$ が (T) を満たすのは $\cos'=y''=-y$ から明らかである。初期条件を $y(0)=0$ だけにすると、$y=B\sin x$（$B$ は任意）がすべて解になり（thm-deftrig-consequences の 2）、関数は決まらない。この定義は、ばねの単振動の運動方程式 $y''=-\omega^2y$ との関係をそのまま見せるが、存在は別の構成に頼る。

arcsin を積分で定義する方法

高校で習う $(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ を逆にたどり、まず $\arcsin$ を積分で定義する。

微分積分学の基本定理により $A'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}>0$ で、$A$ は狭義増加である。$0\le t<1$ で $1-t^2\ge1-t$ だから、$0\le x<1$ で
$$ A(x)\le\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t}}=2-2\sqrt{1-x}<2. $$
上に有界な増加関数なので極限 $q\le2$ が存在する（実数の連続性）。$A$ は奇関数なので、中間値の定理と合わせて $A$ は $(-1,1)$ から $(-q,q)$ への狭義増加の全単射である。

積分 $A(y)$ には幾何の意味がある。単位円の右半分を $x=\sqrt{1-y^2}$（$-1< y<1$）と $y$ の関数として表すと、点 $(1,0)$ から点 $\bigl(\sqrt{1-y^2},y\bigr)$ までの弧の長さは
$$ \int_0^y\sqrt{1+\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2}\,dt=\int_0^y\sqrt{1+\frac{t^2}{1-t^2}}\,dt=\int_0^y\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=A(y) $$
である（$y\ge0$ の場合。$y<0$ では符号つきの長さ）。つまり $A(y)$ は「高さ $y$ の点までの弧の長さ」であり、その逆関数が $\sin$ だというのは、高校の定義「長さ $\theta$ だけ進んだ点の高さが $\sin\theta$」を、弧長を積分で定義したうえでそのまま書いたものである。

3 つの定義の同値性

高校の計算がその特別な場合であること

以下、(T) を満たすただ 1 つの組を改めて $\sin=S$、$\cos=C$ と書く。高校で習う計算が、ここまでの定理からどう出てくるかを確かめる。
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$。 これは $\sin'(0)=\cos0=1$ を導関数の定義で書いたものにすぎない。高校では導関数を求めるための材料だったこの極限が、ここでは定義から直接出る。
不等式 $\sin x< x<\tan x$（$0< x<\frac\pi2$）。 面積なしで示せる。$(x-\sin x)'=1-\cos x>0$、$(\tan x-x)'=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}>0$（$0< x<\frac\pi2$）で、どちらも $x=0$ で $0$ だからである。
円と扇形の面積。 円の面積 $\int_{-1}^12\sqrt{1-x^2}\,dx$ は、置換 $x=\sin\theta$ により $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos^2\theta\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\cos2\theta)\,d\theta=\pi$ となる。ここで使った $(\sin\theta)'=\cos\theta$ と倍角の公式は、面積と無関係にすでに証明してあるので、導入で指摘した循環は断ち切られる。$0<\theta<\frac\pi2$ のとき中心角 $\theta$ の扇形は、直角三角形（頂点 $O$、$(\cos\theta,0)$、$(\cos\theta,\sin\theta)$）と、円の下で $\cos\theta\le x\le1$ の部分に分かれるので、置換 $x=\cos\varphi$ により面積は
$$ \frac12\cos\theta\sin\theta+\int_{\cos\theta}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac12\cos\theta\sin\theta+\int_0^\theta\sin^2\varphi\,d\varphi=\frac12\cos\theta\sin\theta+\frac\theta2-\frac{\sin2\theta}4=\frac\theta2 $$
となる。高校の証明で使った「扇形の面積 $\frac h2$」は、この意味で正しかった。
その他の公式。 倍角・半角・和積の公式や $\sin(\pi-x)=\sin x$ などは、加法定理と thm-deftrig-pi-period の 2 から計算で出る。度数法の $\sin(x^\circ)=\sin\frac{\pi x}{180}$ では $\frac d{dx}\sin(x^\circ)=\frac\pi{180}\cos(x^\circ)=0.01745\ldots\times\cos(x^\circ)$ となり、$\sin'=\cos$ は弧度法でしか成り立たない。(T) の $S'=C$ は、弧度法を選ぶという宣言でもある。

例と反例

数学オリンピックの問題から

加法定理から出る和積の公式 $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$、$\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ を関数方程式として読むと、次の問題になる。

高校数学で解く

ある $y_0$ で $|g(y_0)|=k>1$ だったと仮定する。$f(x_0)\ne0$ となる $x_0$ をとる。式に $x=x_0$、$y=y_0$ を代入すると
$$ |f(x_0+y_0)|+|f(x_0-y_0)|\ge|f(x_0+y_0)+f(x_0-y_0)|=2k|f(x_0)| $$
なので、$x_0\pm y_0$ の少なくとも一方 $x_1$ で $|f(x_1)|\ge k|f(x_0)|$ である。$f(x_1)\ne0$ なので $x_1$ から同じことを繰り返せば、$|f(x_n)|\ge k^n|f(x_0)|$ となる $x_n$ が得られる。$k>1$ なので $k^n\ge1+n(k-1)$（二項定理）は $n$ を大きくするといくらでも大きくなり、やがて $k^n|f(x_0)|>1$ となって $|f|\le1$ に反する。よって $|g(y)|\le1$ である。$\square$

大学数学で見ると見通しがよくなる

上限を使うと 1 行になる。 $M:=\sup_x|f(x)|$ とおくと $0< M\le1$ で、すべての $x,y$ について $2|f(x)||g(y)|\le|f(x+y)|+|f(x-y)|\le2M$。$x$ について上限をとると $M|g(y)|\le M$、すなわち $|g(y)|\le1$。高校数学の解の「繰り返し」は、上限の存在（実数の連続性）を使わずに済ませるための工夫だった。
どんな $f,g$ がこの式を満たすか。 和積の公式により、$f(x)=a\cos kx+b\sin kx$、$g(y)=\cos ky$ は式を満たす。$f(x)=\cosh kx$、$g(y)=\cosh ky$ も満たすが、$f$ は有界でない。問題の主張は、「$f$ が有界なら、$g$ は $\cosh$ 型ではありえない」ということである。微分できる場合には、これを次のように完全に言える。

$f=g$ とした式 $g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)$ は d'Alembert の関数方程式と呼ばれる。この命題は、「和積の公式と有界性で余弦が特徴づけられる。ただし尺度 $k$ は決まらない」ことを示しており、ex-deftrig-addition-not-enough と同じ構図である。尺度を決めるのが弧度法の条件 $S'(0)=1$ だった。微分可能性を仮定しない場合の扱いは関数方程式論の話題であり、ここでは扱わない。

さらに先へ

• 複素数と Euler の公式：級数による定義は複素数にもそのまま使え、$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ が得られる。加法定理は指数法則 $e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}$ の実部と虚部になる（Leb26b Proposition 11.4.2 はこの道筋で、$\pi$ を余弦の最小の正の零点の 2 倍として定義している）。
• 群としての見方：加法定理は、$\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ が足し算の群 $\mathbb{R}$ から単位円（回転の群 $SO(2)$）への準同型であることを言い、prop-deftrig-unit-circle はその核が $2\pi\mathbb{Z}$ であることを言っている。
• 楕円関数へ：def-deftrig-arcsin の $\sqrt{1-t^2}$ を $\sqrt{1-t^4}$ に替えた積分（レムニスケートの弧長）の逆関数も、加法定理をもつ周期関数になる。この考え方は楕円関数の理論へ発展した（本記事では扱わない）。

関連項目

• 前提: 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 平均値の定理, 中間値の定理, 微分積分学の基本定理, 上限と下限
• 前に読む: 加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く
• 次に読む: 微分方程式としての指数関数・三角関数, 関数の近似とテイラー展開
• 関連（高校数学）: 指数関数と対数関数はどう定義するか, 正多角形で円周率を挟む, 媒介変数表示と曲線の長さ
• 対象: 三角関数, 円周率, 逆三角関数
• 構成の道具: 冪級数, 常微分方程式, 曲線の長さ
• 発展: 楕円関数, Fourier級数, 円周群
• 比較: 指数関数, 双曲線関数, Eulerの公式