Hausdorff空間

$(X,d)$ を距離空間とし、点 $x\in X$ と実数 $r>0$ に対して $B(x,r):=\{z\in X\mid d(x,z)< r\}$ を開球とする。距離空間は開球の全体が生成する位相（距離位相）によって位相空間とみなし、各開球は開集合である（開集合 の記事の命題「距離空間の開集合系は位相をなす」）。このとき $X$ は Hausdorff 空間である。
実際、$x\neq y$ とすると、距離の公理から $d(x,y)>0$ なので、$r:=d(x,y)/2>0$ とおける。$U:=B(x,r)$、$V:=B(y,r)$ は $x$、$y$ をそれぞれ含む開集合である。もし $z\in U\cap V$ が存在すれば、三角不等式により
$$ d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)< r+r=d(x,y) $$
となって矛盾する。よって $U\cap V=\emptyset$ であり、$x$ と $y$ は開集合で分離される。
特に、通常の距離をもつ実数直線 $\mathbb{R}$、Euclid空間 $\mathbb{R}^n$、複素数平面 $\mathbb{C}$、およびそれらの任意の部分集合（部分空間）はすべて Hausdorff 空間である。

集合 $X$ のすべての部分集合を開集合とする位相を離散位相といい、これを入れた空間を離散空間という。離散空間は Hausdorff 空間である。実際、$x\neq y$ に対して $U:=\{x\}$、$V:=\{y\}$ はともに開集合で、$x\in U$、$y\in V$、$U\cap V=\emptyset$ である。

位相多様体（多様体）とは、各点が $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相な開近傍をもつ（局所 Euclid 的である）位相空間であって、Hausdorff 性と第2可算公理をあわせて満たすものをいう（Lee11 Chapter 2）。したがって多様体は定義によって Hausdorff 空間である。球面 $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ や $\mathbb{R}^n$ の開集合のように $\mathbb{R}^N$ の部分空間として得られる多様体では、Hausdorff 性は ex-hausdorff-space-metric からも従うが、貼り合わせで作られる空間では Hausdorff 性は自動ではない。局所 Euclid 的で第 2 可算だが Hausdorff でない空間の例を ex-hausdorff-space-two-origins で与える。多様体の定義に Hausdorff 性が独立な公理として置かれているのはこのためである。

$X$ を無限集合とし、$\emptyset$ と、補集合が有限集合であるような部分集合をすべて開集合とする。これが位相であることは、閉集合の側で見れば「$X$ 自身と有限部分集合の全体」であり、有限個の有限集合の和集合と任意個の有限集合の共通部分が有限集合であることから従う。この位相を $X$ の余有限位相（有限補集合位相）という。
この空間は次の性質をもつ。

1. 任意の一点集合 $\{x\}$ は有限集合なので閉集合である。したがって相異なる二点 $x,y$ に対して、$U:=X\setminus\{y\}$ は $x$ を含み $y$ を含まない開集合であり、$V:=X\setminus\{x\}$ は $y$ を含み $x$ を含まない開集合である。すなわち $X$ は $T_1$ 空間（分離公理）である。
2. $X$ は Hausdorff 空間でない。実際、$U,V$ を空でない開集合とすると、$X\setminus U$ と $X\setminus V$ は有限集合なので、$X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$ も有限集合である。$X$ は無限集合なので $U\cap V\neq\emptyset$ である。つまり、空でない二つの開集合は必ず交わり、どの二点も開集合で分離できない。
   この空間は「一点集合が閉である」という性質 $T_1$ を満たすが Hausdorff 性 $T_2$ を満たさず、含意「$T_1\Rightarrow T_2$」を破る。また、$X$ の相異なる点からなる点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$（$m\neq n$ なら $x_m\neq x_n$）は、$X$ のすべての点に収束する。実際、任意の点 $x$ と $x$ の開近傍 $U$ に対して $X\setminus U$ は有限集合なので、$x_n\in X\setminus U$ となる $n$ は高々 $|X\setminus U|$ 個しかなく、それより大きい $n$ では $x_n\in U$ である。すなわち極限の一意性（prop-hausdorff-space-unique-limit）も成り立たない。

体 $k$ 上の一変数多項式環 $k[t]$ を考え、$k$ の部分集合 $F$ が閉集合であるとは、ある多項式の集合 $S\subset k[t]$ が存在して $F=V(S):=\{a\in k\mid f(a)=0\ (\forall f\in S)\}$ と書けることとする。これが $k$ 上の位相（アフィン直線の Zariski位相）を定めることは Har77 Chapter I, §1 による。
$k$ が無限体（たとえば $\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$）のとき、この位相は ex-hausdorff-space-cofinite の余有限位相に一致する。実際、$S$ が零多項式以外の元 $f$ を含めば、$V(S)\subset V(\{f\})$ であり、次数 $d\ge0$ の零でない多項式の根は高々 $d$ 個なので $V(S)$ は有限集合である。$S\subset\{0\}$ ならば $V(S)=k$ である。逆に、有限集合 $\{a_1,\dots,a_n\}$ は $V(\{(t-a_1)\cdots(t-a_n)\})$ として閉集合であり、$\emptyset=V(\{1\})$ である。したがって閉集合の全体は「$k$ と有限部分集合」であり、これは余有限位相の閉集合の全体と同じである。$k$ は無限集合なので、ex-hausdorff-space-cofinite によりアフィン直線 $k$ は $T_1$ だが Hausdorff でない。
可換環 $A$ の素イデアル全体 $\operatorname{Spec}A$ に、イデアル $I$ に対する $V(I):=\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid I\subset\mathfrak{p}\}$ を閉集合とする Zariski 位相を入れる（これが位相であることは AM69 Chapter 1, Exercise 15）。$A$ が体でない整域（たとえば $A=\mathbb{Z}$）のとき、$\operatorname{Spec}A$ は $T_1$ ですらない。実際、零イデアル $(0)$ は素イデアルであり、$(0)\in V(I)$ は $I\subset(0)$ すなわち $I=(0)$ と同値である。空でない開集合 $U=\operatorname{Spec}A\setminus V(I)$ をとると、$V(I)\neq\operatorname{Spec}A=V((0))$ なので $I\neq(0)$、したがって $(0)\notin V(I)$、すなわち $(0)\in U$ である。つまり $(0)$ は空でないすべての開集合に属する。$A$ が体でなければ零でない素イデアル $\mathfrak{p}$ が存在し（$\mathbb{Z}$ なら $(2)$）、$\mathfrak{p}$ のどの開近傍も $(0)$ を含むので、$\mathfrak{p}$ と $(0)$ を開集合で分離することはできず、$\mathfrak{p}$ を含み $(0)$ を含まない開集合すら存在しない。
これらの空間は代数幾何学の基本的な対象であるが、Hausdorff 性を満たさない。「幾何学的に自然な位相は Hausdorff である」という含意は成り立たない。

実数直線から原点を除いた集合に、新しい二つの点 $0_1,0_2$ を付け加えた集合
$$ X:=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\cup\{0_1,0_2\} $$
を考える。$V\subset X$ が開集合であることを、次の二条件で定める。

1. $V\cap(\mathbb{R}\setminus\{0\})$ は $\mathbb{R}$ の開集合である。
2. $i=1,2$ について、$0_i\in V$ ならば、ある $\varepsilon>0$ が存在して $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus\{0\}\subset V$ である。
   これが位相であることを確かめる。$\emptyset$ は両条件を空虚に満たし、$X$ は 1 を満たし、2 については $\varepsilon=1$ がとれる。開集合の族 $(V_j)_{j\in J}$ の和集合について、1 は開集合の和が開であることから従い、2 は $0_i\in\bigcup_jV_j$ ならある $j$ で $0_i\in V_j$ なので $V_j$ に対する $\varepsilon$ がそのまま使えることから従う。二つの開集合 $V,W$ の共通部分について、1 は開集合の有限交叉が開であることから従い、2 は $0_i\in V\cap W$ のとき $V$ に対する $\varepsilon$ と $W$ に対する $\varepsilon'$ の小さい方をとればよい。
   この空間 $X$ を原点を 2 つもつ直線という。$X$ は次の性質をもつ。

• $X$ は Hausdorff 空間でない。$0_1$ の開近傍 $V$ と $0_2$ の開近傍 $W$ を任意にとると、条件 2 により $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus\{0\}\subset V$、$(-\varepsilon',\varepsilon')\setminus\{0\}\subset W$ となる $\varepsilon,\varepsilon'>0$ があり、$\delta:=\min\{\varepsilon,\varepsilon'\}/2$ は $0$ でない実数として $V\cap W$ に属する。よって $0_1$ と $0_2$ は開集合で分離できない。
• $X$ は $T_1$ 空間である。$x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ に対して $X\setminus\{x\}$ は、条件 1（$\mathbb{R}\setminus\{0,x\}$ は $\mathbb{R}$ の開集合）と条件 2（$\varepsilon:=|x|$ がとれる）を満たすので開集合である。$X\setminus\{0_1\}$ は条件 1 と条件 2（$0_2$ について $\varepsilon=1$）を満たすので開集合であり、$X\setminus\{0_2\}$ も同様である。よってすべての一点集合が閉集合である。
• $X$ は局所 Euclid 的である。$i=1,2$ に対して $X_i:=X\setminus\{0_{3-i}\}$ とおき、写像 $\varphi_i\colon\mathbb{R}\to X_i$ を $\varphi_i(t):=t$（$t\neq0$）、$\varphi_i(0):=0_i$ で定める。$\varphi_i$ は全単射である。$\mathbb{R}$ の開集合 $W$ に対して $\varphi_i(W)=(W\setminus\{0\})\cup(\{0_i\}\ (0\in W\text{ のとき}))$ は、条件 1 を満たし、$0\in W$ なら $(-\varepsilon,\varepsilon)\subset W$ となる $\varepsilon$ について条件 2 を満たすので、$X$ の開集合である。逆に $X_i$ の開集合 $V$（$0_{3-i}\notin V$）に対して $\varphi_i^{-1}(V)=(V\cap(\mathbb{R}\setminus\{0\}))\cup(\{0\}\ (0_i\in V\text{ のとき}))$ は、条件 1 により $0$ 以外の各点で開であり、$0_i\in V$ なら条件 2 の $\varepsilon$ について $(-\varepsilon,\varepsilon)\subset\varphi_i^{-1}(V)$ なので $\mathbb{R}$ の開集合である。よって $\varphi_i$ は $\mathbb{R}$ から $X$ の開集合 $X_i$ への同相写像であり、$X=X_1\cup X_2$ なので $X$ の各点は $\mathbb{R}$ と同相な開近傍をもつ。
• $X$ は第 2 可算である。$X_1$、$X_2$ はそれぞれ $\mathbb{R}$ と同相なので可算な開基をもち、二つを合わせた可算個の開集合が $X$ の開基になる。
• 点列 $(1/n)_{n\ge1}$ は $0_1$ にも $0_2$ にも収束する。$0_i$ の任意の開近傍は $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus\{0\}$ を含み、$1/n<\varepsilon$ となる $n$ 以降で $1/n$ はそこに属するからである。
  したがって $X$ は「$T_1$ かつ局所 Euclid 的かつ第 2 可算」という性質をすべて満たすが Hausdorff 性を満たさず、含意「局所 Euclid 的かつ第 2 可算かつ $T_1$ $\Rightarrow$ Hausdorff」を破る。多様体の定義（ex-hausdorff-space-manifold）で Hausdorff 性を外すことはできない。

二点以上をもつ集合 $X$ に、開集合が $\emptyset$ と $X$ だけであるような密着位相を入れる。相異なる二点 $x,y$ に対して $x$ を含む開集合は $X$ しかなく、それは $y$ も含むので、$x$ と $y$ は開集合で分離できない。この空間は Hausdorff でないばかりでなく、$x$ を含み $y$ を含まない開集合が存在しないので $T_1$ でも $T_0$ でもない（分離公理）。また、$X$ のどの点列もすべての点に収束する。密着位相は「位相の公理を満たす」という性質を満たすが「相異なる二点を開集合で区別できる」という性質を満たさず、Hausdorff 性の最も弱い部分である $T_0$ さえ位相の公理からは従わないことを示す。

$Y:=\mathbb{R}\times\{1,2\}$ に、通常の位相をもつ $\mathbb{R}$ と離散空間 $\{1,2\}$ の直積位相を入れる。$\mathbb{R}$（ex-hausdorff-space-metric）と $\{1,2\}$（ex-hausdorff-space-discrete）は Hausdorff なので、prop-hausdorff-space-subspace-product により $Y$ は Hausdorff 空間である。$Y$ 上の同値関係 $\sim$ を、$t\neq0$ について $(t,1)\sim(t,2)$ とし、それ以外では各点が自分自身とだけ同値であるものとして定める。商位相を入れた商空間 $Y/{\sim}$ と商写像 $q\colon Y\to Y/{\sim}$ を考える。すなわち $W\subset Y/{\sim}$ が開集合であるのは、$q^{-1}(W)$ が $Y$ の開集合であるときである。
$Y/{\sim}$ は ex-hausdorff-space-two-origins の原点を 2 つもつ直線 $X$ と同相である。写像 $p\colon Y\to X$ を $p(t,i):=t$（$t\neq0$）、$p(0,i):=0_i$ で定めると、$p(a)=p(b)$ と $a\sim b$ は同値なので、$p=h\circ q$ を満たす全単射 $h\colon Y/{\sim}\to X$ が定まる。$V\subset X$ に対して $q^{-1}(h^{-1}(V))=p^{-1}(V)$ であるから、$h$ が同相写像であることを示すには、「$V\subset X$ が開集合であることと、$p^{-1}(V)$ が $Y$ の開集合であることが同値」を示せばよい。$\mathbb{R}\times\{1\}$ と $\mathbb{R}\times\{2\}$ は $Y$ の開集合で $Y$ を覆い、それぞれ $t\mapsto(t,i)$ により $\mathbb{R}$ と同相である。この同一視のもとで、$p$ の $\mathbb{R}\times\{i\}$ への制限は ex-hausdorff-space-two-origins の $\varphi_i$ である。したがって $p^{-1}(V)$ が開集合であることは、$i=1,2$ の両方について $\varphi_i^{-1}(V)$ が $\mathbb{R}$ の開集合であることと同値である。

• $V$ が開集合なら、$V\cap X_i$ は $X_i$ の開集合であり、$\varphi_i$ は $\mathbb{R}$ から $X_i$ への同相写像だから、$\varphi_i^{-1}(V)=\varphi_i^{-1}(V\cap X_i)$ は $\mathbb{R}$ の開集合である。
• 逆に $\varphi_1^{-1}(V)$ と $\varphi_2^{-1}(V)$ が $\mathbb{R}$ の開集合であるとする。$t\neq0$ では $\varphi_1(t)=t$ なので、$V\cap(\mathbb{R}\setminus\{0\})=\varphi_1^{-1}(V)\setminus\{0\}$ は $\mathbb{R}$ の開集合であり、条件 1 が成り立つ。$0_i\in V$ なら $0\in\varphi_i^{-1}(V)$ なので、ある $\varepsilon>0$ について $(-\varepsilon,\varepsilon)\subset\varphi_i^{-1}(V)$ となり、$t\neq0$ では $\varphi_i(t)=t$ だから $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus\{0\}\subset V$ である。よって条件 2 も成り立ち、$V$ は開集合である。
  以上により $Y/{\sim}$ は $X$ と同相であり、Hausdorff でない。この例で $Y$ は Hausdorff 空間であり $q$ は連続な全射である（満たす性質）が、商空間 $Y/{\sim}$ は Hausdorff 性を満たさず（満たさない性質）、含意「Hausdorff 空間の商空間は Hausdorff」を破る。$Y$ の点 $(0,1)$ と $(0,2)$ は $Y$ では開集合で分離されるが、どの開近傍も $0$ に近い $t\neq0$ について $(t,1)$ と $(t,2)$ をそれぞれ含み、これらが商で同じ点になるので、商空間では分離が失われる。

$X$ を二点以上をもつ集合とし、離散位相を入れた $X$ を $X_{\mathrm{d}}$、密着位相を入れた $X$ を $X_{\mathrm{i}}$ と書く。恒等写像 $\mathrm{id}\colon X_{\mathrm{d}}\to X_{\mathrm{i}}$ は連続である。$X_{\mathrm{i}}$ の開集合は $\emptyset$ と $X$ だけで、それらの逆像 $\emptyset$、$X$ は $X_{\mathrm{d}}$ の開集合だからである。また $\mathrm{id}$ は全射である。$X_{\mathrm{d}}$ は Hausdorff 空間である（ex-hausdorff-space-discrete）が、その連続像 $\mathrm{id}(X_{\mathrm{d}})=X_{\mathrm{i}}$ は Hausdorff でない（ex-hausdorff-space-indiscrete）。すなわち、定義域が Hausdorff で写像が連続な全射である（満たす性質）が、像は Hausdorff 性を満たさず（満たさない性質）、含意「Hausdorff 空間の連続像は Hausdorff」を破る。連続性は像の側の開集合を引き戻す条件にすぎず、像の側に点を分離する開集合があることは何も保証しない。