Darbouxの定理(導関数の中間値)

1：$x\to a+0$ で $\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\to g'(a)< 0$ なので、$a$ に十分近い $x\in(a,b)$ で差分商は負である。$x-a>0$ なので $g(x)-g(a)< 0$ である。
2：$x\to b-0$ で $\frac{g(x)-g(b)}{x-b}\to g'(b)>0$ なので、$b$ に十分近い $x\in(a,b)$ で差分商は正である。$x-b< 0$ なので $g(x)-g(b)< 0$ である。$\square$

$f'(a)>\lambda>f'(b)$ の場合は、$-f$ と $-\lambda$ に当てれば $f'(a)<\lambda< f'(b)$ の場合に帰着する。そこで $f'(a)<\lambda< f'(b)$ とする。
$g(x):=f(x)-\lambda x$（$x\in[a,b]$）とおく。$g$ は $[a,b]$ 上で微分可能、したがって連続であり、$g'(x)=f'(x)-\lambda$ である。$[a,b]$ はコンパクトなので、$g$ はある点 $c\in[a,b]$ で最小値をとる（コンパクト空間 の定理「最大値・最小値の存在」）。
$g'(a)=f'(a)-\lambda< 0$ なので、lem-dvt-endpoint の 1 により $g(x)< g(a)$ となる $x$ があり、$c\ne a$ である。$g'(b)=f'(b)-\lambda>0$ なので、lem-dvt-endpoint の 2 により $c\ne b$ である。よって $c\in(a,b)$ であり、$g$ は開区間 $(a,b)$ の点 $c$ で最小値をとる。平均値の定理 の補題「内部の極値での微分係数」により $g'(c)=0$、すなわち $f'(c)=\lambda$ である。$\square$

$a< b$ を固定し、$T:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid a\le x< y\le b\}$ の上で
$$ \sigma(x,y):=\frac{f(y)-f(x)}{y-x} $$
とおく。$S:=\sigma(T)$ を割線の傾きの集合とする。
1．$S$ は区間である。 $T$ は凸集合なので、どの 2 点も $T$ の中の線分で結べ、弧状連結であり、したがって連結である（連結空間 の命題「弧状連結ならば連結」）。$f$ は連続なので $\sigma$ は $T$ 上で連続であり、連結空間 の定理「連続像は連結」と定理「実数直線の連結部分集合」から $S$ は区間である。
2．$S\subset f'((a,b))$。 $(x,y)\in T$ なら、平均値の定理 の定理「平均値の定理」を $[x,y]$ に当てて、$\sigma(x,y)=f'(c)$ となる $c\in(x,y)\subset(a,b)$ がある。
3．$f'(a),f'(b)$ は $S$ の閉包 $\overline S$ に属する。 $y\to a+0$ で $\sigma(a,y)\to f'(a)$、$x\to b-0$ で $\sigma(x,b)\to f'(b)$ だからである。
4．結論。 $f'(a)<\lambda< f'(b)$ とする（逆向きも同じ）。3 により $|s_1-f'(a)|<\lambda-f'(a)$ となる $s_1\in S$ と、$|s_2-f'(b)|< f'(b)-\lambda$ となる $s_2\in S$ がある。$s_1<\lambda< s_2$ であり、1 から $\lambda\in S$、2 から $\lambda=f'(c)$ となる $c\in(a,b)$ がある。$\square$

1：$g'(p)< 0< g'(q)$ となる $p,q\in I$ があれば、thm-dvt-main を $p,q$ を端点とする閉区間に当てて $g'(c)=0$ となる $c$ が得られ、仮定に反する。よって $g'>0$ が $I$ 全体で成り立つか、$g'< 0$ が $I$ 全体で成り立つ。前者なら $g$ は狭義単調増加、後者なら狭義単調減少である（平均値の定理 の系「導関数の符号と増減」）。
2：$a< b$、$a,b\in I$ とし、$\lambda$ を $\frac{f'(a)}{g'(a)}$ と $\frac{f'(b)}{g'(b)}$ の真に間の数とする。$h:=f-\lambda g$ とおくと $h$ は $I$ 上で微分可能で、
$$ h'(x)=g'(x)\Bigl(\frac{f'(x)}{g'(x)}-\lambda\Bigr) $$
である。右辺の括弧の中は $x=a$ と $x=b$ で符号が逆（どちらも $0$ でない）であり、1 により $g'(a)$ と $g'(b)$ は同じ符号である。よって $h'(a)$ と $h'(b)$ は符号が逆で、$0$ はその真に間にある。thm-dvt-main を $h$ に当てると $h'(c)=0$ となる $c\in(a,b)$ があり、$g'(c)\ne0$ で割って $\frac{f'(c)}{g'(c)}=\lambda$ を得る。$\square$

$L:=\limsup_{x\to c+0}f'(x)$ とし、$f'(c)>L$ と仮定する。$L< y< f'(c)$ となる実数 $y$ をとる。上極限の定義から、ある $\delta>0$ について、$c< x< c+\delta$ を満たすすべての $x\in I$ で $f'(x)< y$ である。そのような $b\in I$ を 1 つとると $f'(b)< y< f'(c)$ なので、thm-dvt-main を $[c,b]$ に当てて $f'(x_0)=y$ となる $x_0\in(c,b)$ が得られる。ところが $x_0$ も $c< x_0< c+\delta$ を満たすので $f'(x_0)< y$ であり、矛盾する。よって $f'(c)\le L$ である。下極限の不等式は $-f$ に同じ議論を当てれば得られる。左側も同様である。片側極限が実数として存在すれば上極限と下極限はそれに一致するので、最後の主張の前半が出る。$+\infty$ に発散すれば下極限が $+\infty$ になり、$-\infty$ なら上極限が $-\infty$ になって、どちらも不等式に反する。$\square$

thm-dvt-main と「記号と言葉」の節の言い換えにより、$f'(I)$ は区間である。単調関数で値の集合が区間であるものは連続である（単調関数 の定理「値の集合が区間であることと連続性」の 1）。$\square$

$f'(I)$ は区間なので、相異なる 2 つの値 $p< q$ を含めば $[p,q]$ を含んでしまう。よって $f'(I)$ は 1 点 $\{m\}$ である。値がすべて有理数の場合は、$p< q$ が有理数なら $p+\frac{q-p}{\sqrt2}$ が $[p,q]$ に属する無理数なので、仮定にあてはまる。$f(x)-mx$ の導関数は $0$ なので、平均値の定理 の系「導関数が0なら定数」から $f(x)-mx$ は定数である。$\square$

要点：$f'$ は連続関数 $f_n(x):=n\bigl(f(x+\frac1n)-f(x)\bigr)$ の各点収束の極限である。Baireのカテゴリー定理 により、どの閉区間の中にも $f'$ の値の動きが小さい小区間があり、それを入れ子にして連続点を得る。