余接空間

前提知識: 接空間, 双対空間(線形代数), 局所環, Kähler微分

余接空間とは

点の近くで関数がどの方向に変化するかを測る $df$ は、接ベクトルを数に送る線形写像である。そのため、点 $p$ の余接空間（cotangent space）は接空間 $T_pM$ の双対 $(T_pM)^*$ として現れる。滑らかな多様体では $dx^1,\ldots,dx^n$ がその局所的な基底となる。一方、代数幾何では、点で零になる関数を二次以上の項で割った $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ が同じ役割を果たす。特異点やスキームにも使える点が重要である。
「余接空間」という言葉は分野によって定義の出発点が違う。滑らかな多様体では接空間の双対から、スキームでは局所環または Kähler 微分のファイバーから始める。滑らかな複素多様体の点では両者は同じ一次情報を記録する。本記事ではこの対応を明示し、方程式から余接空間を計算し、特異点で何が変わるかを見る（Lee12 Chapter 11、StacksCTS Tag 0B28）。

滑らかな多様体の余接空間

$M$ を実 $n$ 次元の滑らかな多様体、または複素 $n$ 次元の複素多様体とし、$p\in M$ とする。複素多様体では正則接空間と正則関数の微分を考える。$T_pM$ はそれぞれの意味での $p$ における接空間であり、係数体 $\mathbb F$ は実の場合 $\mathbb R$、複素の場合 $\mathbb C$ とする。

$p$ の近くの局所座標 $(x^1,\ldots,x^n)$ を選ぶと、座標方向のベクトル $\partial/\partial x^j|_p$ が接空間の基底になる。余接空間の双対基底 $dx^i|_p$ は
$$ dx^i|_p\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p\right)=\delta^i_j $$
を満たす。関数 $f$ の微分は $df_p(v)=v(f)$ によって定まり、$df_p=\sum_i(\partial f/\partial x^i)(p)\,dx^i|_p$ と表される。これは局所座標で習う偏微分の式を、座標に依存しない線形写像として読み直したものである。

この証明が使うのは、接ベクトルが関数への導分として作用することと、線形代数における双対基底の一意性である。座標を変えると $\partial/\partial x^j$ と $dx^i$ は逆向きの行列で変換される。これが接ベクトルの成分を反変、余接ベクトルの成分を共変と呼ぶ理由である。

点ごとの $T_p^*M$ を集めたものが余接束 $T^*M$ であり、その滑らかな切断が一次の微分形式である。余接空間は一点での線形代数、余接束は多様体全体にわたる幾何を表す。したがって「$df_p$」は一点の余接ベクトル、「$df$」は余接束の切断である。

局所環から作る余接空間

代数幾何では、多様体が滑らかとは限らない。$A$ を局所環、$\mathfrak m$ をその極大イデアル、$\kappa=A/\mathfrak m$ を剰余体とする。$\mathfrak m$ の元は点で値が零になる関数の芽と考えられ、$\mathfrak m^2$ の元はそのような関数の積、すなわち二次以上の部分とみなせる。

関数の芽 $f\in\mathfrak m$ の類は、その点での「一次部分」である。二つの芽の差が $\mathfrak m^2$ に入れば、余接空間では同じ一次部分を持つ。$f,g\in\mathfrak m$ なら $fg\in\mathfrak m^2$ なので、点でともに零になる二つの関数の積は一次部分を持たない。この構成には座標、埋め込み、滑らかさを選ぶ必要がない。
局所環の余接空間の次元は、極大イデアルの最小生成元数を測る。$A$ が Noether 局所環なら Nakayama の補題により、$\dim_\kappa\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $\mathfrak m$ の最小生成元数と等しく、埋め込み次元と呼ばれる。滑らかな点では期待される多様体の次元と一致し、特異点では大きくなり得る。この比較が特異点の検出に使われる。

多項式環の原点

$A=k[x_1,\ldots,x_n]_{(x_1,\ldots,x_n)}$ とし、$\mathfrak m=(x_1,\ldots,x_n)A$ とする。$\mathfrak m^2$ は二次以上の項を含む。したがって $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $x_1,\ldots,x_n$ の類を基底とする $n$ 次元 $k$ ベクトル空間である。$k=\mathbb C$ なら、これは複素アフィン空間の原点での $dx_1,\ldots,dx_n$ と対応する。関数 $f$ の一次成分が $\sum_i(\partial f/\partial x_i)(0)x_i$ となることが、この対応の具体的な形である。

この計算は原点に限らない。$a=(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$ なら極大イデアル $\mathfrak m_a=(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)$ を用い、$x_i-a_i$ の類が余接空間の基底になる。平行移動で原点の場合に帰着できるためである。複素数上では局所座標の微分 $dx_i|_a$ と直接対応する。

方程式からの計算

$X\subseteq\mathbb A^n_k$ が多項式 $F_1,\ldots,F_r$ の共通零点で与えられ、$a$ を $k$ 有理点とする。各 $F_j(a)=0$ であり、$F_j$ の $a$ のまわりでの一次部分は $\sum_i(\partial F_j/\partial x_i)(a)(x_i-a_i)$ である。よって余接空間は、座標微分の張る空間から、これら一次の関係式を割ったものになる。

この表示の双対を取ると、接空間は Jacobi 行列の核として現れる。余接空間では方程式の微分が関係式を作り、接空間では同じ微分が接ベクトルへの条件を作る。両者の違いを押さえると、商と核が逆向きに現れる理由が分かる。

Kähler 微分との関係

体 $k$ 上の有限型スキーム $X$ と $k$ 有理点 $x$ を考える。$X$ の Kähler 微分の層 $\Omega^1_{X/k}$ は、関数を形式的に微分した記号を Leibniz 則に従って集めたものである。その点 $x$ におけるファイバー $\Omega^1_{X/k,x}\otimes_{\mathcal O_{X,x}}k$ は、上の $\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2$ と自然に同型になる（StacksCTS Lemma 33.16.5）。この同型によって、滑らかな複素多様体で使った $df_x$ と、スキームの局所環で使う「関数の一次部分」が同じ対象になる。

この証明で重要なのは、剰余体が基礎体 $k$ と同じであり、各 $a\in A$ の定数部分を $k$ の元として取り出せることである。非有理点では $\kappa(x)$ が $k$ の拡大となり、この単純な定数分解は使えない。相対余接空間を一般に定めるときは、$\Omega^1_{X/k,x}\otimes_{\mathcal O_{X,x}}\kappa(x)$ を用いる。この空間と $\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2$ を、剰余体の拡大に関する仮定なしで同一視してはいけない。

$k$ 上の複素代数多様体を扱うとき、閉点が複素数値なら剰余体は $\mathbb C$ であり、この二つの定義は一致する。一般点や数論的なスキームに話を広げるときには、絶対的な局所環の余接空間 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ と、基礎に相対的な Kähler 微分のファイバーのどちらを使うか指定する。この区別は、微分の層を底変換したり、射 $X\to S$ に沿う相対接空間を考えたりするときに必要になる。

写像による余接ベクトルの引き戻し

滑らかな写像 $F:M\to N$ は各点 $p$ で微分 $dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N$ を定める。双対を取ると余接空間の向きは逆になり、$F^*:T_{F(p)}^*N\to T_p^*M$、$\alpha\mapsto\alpha\circ dF_p$ となる。関数 $g$ については、連鎖律 $d(g\circ F)_p=F^*(dg_{F(p)})$ を得る。
代数幾何でも同じ逆向きの現象が起こる。$k$ 上のスキームの射 $F:X\to Y$ と $k$ 有理点 $x\mapsto y$ は、局所環の準同型 $\mathcal O_{Y,y}\to\mathcal O_{X,x}$ を誘導する。この写像は $\mathfrak m_y$ を $\mathfrak m_x$ に送り、積も保つため、一次部分の写像 $\mathfrak m_y/\mathfrak m_y^2\to\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2$ を与える。双対を取ると接空間の写像 $T_xX\to T_yY$ になる。幾何的な写像と余接空間の写像の向きが反対になることは、滑らかな場合と代数的な場合に共通している。

反例：仮定を外すと崩れること

本記事の定理は「局所座標」「$k$ 有理点」「Noether」「滑らか」などの仮定を使っている。仮定を一つ外すと結論が崩れる反例を並べる。

各行の確認は次のとおりである。

• 局所座標を外す：$u=x^3$ は $\mathbb R\to\mathbb R$ の同相写像だが、逆写像 $u^{1/3}$ が $0$ で微分可能でないので滑らかな座標ではない。$du_0=3x^2|_{x=0}\,dx_0=0$ は零ベクトルで、一次元空間 $T_0^*\mathbb R$ の基底にならない。prf-cotangent-space-dual-basis で使った $v_j(x^i)=\delta^i_j$ は、座標関数が局所座標であることから来ていた。
• $k$ 有理点を外す（閉点の場合）：$k=\mathbb F_p(s)$ のとき $t^p-s$ は $k[t]$ で既約（$s$ は $k$ で $p$ 乗根をもたない）なので、$K=k[t]/(t^p-s)$ は体で、$X$ は一点、局所環は $K$ 自身、$\mathfrak m=0$ だから $\mathfrak m/\mathfrak m^2=0$ である。一方 $\Omega^1_{K/k}=K\,dt/(d(t^p-s))=K\,dt/(pt^{p-1}dt)=K\,dt$ は一次元である。剰余体 $K$ が $k$ と異なり、証明の「$a=c+u$ と定数部分を取り出す」段が使えない。一般点の場合は ex-cotangent-space-nonrational が同じ破れ方を示す。
• Noether を外す：$A$ を値群 $\mathbb Q$ の付値環、$v$ をその付値とする。$x\in\mathfrak m$、$v(x)=q>0$ に対して $v(y)=q/2$ の $y$ を取ると $x=y\cdot(x/y)$ で $y,\ x/y\in\mathfrak m$ なので、$\mathfrak m=\mathfrak m^2$、従って $\mathfrak m/\mathfrak m^2=0$ である。しかし $A$ は体でないので $\mathfrak m\ne0$ であり、最小生成元数は $0$ ではない（実際、$\mathfrak m$ は有限生成でない）。Nakayama の補題は $\mathfrak m$ が有限生成であることを使う。
• 滑らかさを外す：ex-cotangent-space-cusp のとおり、尖点の原点で $\dim T_0^*X=2$ だが $X$ は一次元の曲線である。余接空間の次元が次元を上回ることが特異点の印になる。
• 同型でない射：$F:t\mapsto(t^2,t^3)$ は $\mathbb A^1_k$ から尖点への全単射（$t\ne0$ では $t=y/x$ で逆が決まり、原点の逆像は $t=0$ だけ）だが、ex-cotangent-space-cusp-param のとおり原点での引き戻しは零写像で、$1$ 次元と $2$ 次元の間の同型ではない。点の対応が全単射でも、局所環の準同型 $\mathcal O_{X,0}\to k[t]_{(t)}$ は同型でない（$t$ が像に入らない）。
• 被約を外す：ex-cotangent-space-dual-number のとおり、台は一点だが余接空間は $k\varepsilon$ で一次元である。被約な一点 $\operatorname{Spec}k$ では零になるので、余接空間は台だけからは決まらない。

関連項目

• 前提: 接空間, 双対空間(線形代数), 局所環, Kähler微分
• 接続: Zariski接空間, 微分形式, 複素多様体
• 発展: 特異点, 解析化, 双対数