ホモトピー圏
概要
ホモトピー圏（homotopy category）とは、加法圏における複体の圏 $\mathrm{Ch}(\mathcal A)$ を、鎖写像を鎖ホモトピーで割った同値類（ホモトピー類）を射とする圏 $K(\mathcal A)$ に置き換えたものをいう。ホモロジー関手はこの商圏上でも矛盾なく定義され、鎖ホモトピー同値な複体を同一視する枠組みとして、擬同型を局所化して構成する導来圏の中間段階をなす。
定義
複体 $C_\bullet,D_\bullet$ に対し、$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ch}(\mathcal A)}(C_\bullet,D_\bullet)$ 上の関係「$f\sim g$」（$f,g$ が複体とホモロジーの意味で鎖ホモトピックである）は同値関係であり、さらに合成と両立する：$f\sim g\colon C_\bullet\to D_\bullet$ ならば、任意の鎖写像 $h\colon D_\bullet\to E_\bullet$、$k\colon B_\bullet\to C_\bullet$ に対し $h\circ f\sim h\circ g$ かつ $f\circ k\sim g\circ k$ が成り立つ。
同値関係であること：$f=g$ のとき $s_n:=0$ とすれば $f\sim g$（反射律）。$f\sim g$ を鎖ホモトピー $(s_n)$（$f_n-g_n=d^D_{n+1}s_n+s_{n-1}d^C_n$）が実現するとき、$(-s_n)$ は $g_n-f_n=d^D_{n+1}(-s_n)+(-s_{n-1})d^C_n$ を満たすので $g\sim f$（対称律）。$f\sim g$ を $(s_n)$ が、$g\sim h$ を $(t_n)$ が実現するとき、
$$
f_n-h_n=(f_n-g_n)+(g_n-h_n)=\bigl(d^D_{n+1}s_n+s_{n-1}d^C_n\bigr)+\bigl(d^D_{n+1}t_n+t_{n-1}d^C_n\bigr)=d^D_{n+1}(s_n+t_n)+(s_{n-1}+t_{n-1})d^C_n
$$
であるから $(s_n+t_n)$ が $f\sim h$ を実現する（推移律、加法圏のHom群の加法構造による）。
合成との両立：$f\sim g\colon C_\bullet\to D_\bullet$ を $(s_n)$ が実現するとする。$h\colon D_\bullet\to E_\bullet$ を鎖写像とし、$t_n:=h_{n+1}\circ s_n\colon C_n\to E_{n+1}$ とおくと、$h$ が鎖写像であること（$h_n\circ d^D_{n+1}=d^E_{n+1}\circ h_{n+1}$）より
$$
(hf)_n-(hg)_n=h_n(f_n-g_n)=h_n\bigl(d^D_{n+1}s_n+s_{n-1}d^C_n\bigr)=(h_nd^D_{n+1})s_n+(h_ns_{n-1})d^C_n=d^E_{n+1}(h_{n+1}s_n)+(h_ns_{n-1})d^C_n=d^E_{n+1}t_n+t_{n-1}d^C_n
$$
となり、$(t_n)$ が $hf\sim hg$ を実現する。同様に $k\colon B_\bullet\to C_\bullet$ を鎖写像とし、$u_n:=s_n\circ k_n\colon B_n\to D_{n+1}$ とおくと、$k$ が鎖写像であること（$d^C_nk_n=k_{n-1}d^B_n$）より
$$
(fk)_n-(gk)_n=(f_n-g_n)k_n=\bigl(d^D_{n+1}s_n+s_{n-1}d^C_n\bigr)k_n=d^D_{n+1}(s_nk_n)+s_{n-1}(d^C_nk_n)=d^D_{n+1}u_n+(s_{n-1}k_{n-1})d^B_n=d^D_{n+1}u_n+u_{n-1}d^B_n
$$
となり、$(u_n)$ が $fk\sim gk$ を実現する。$\blacksquare$
prop-homotopy-congruenceにより、鎖ホモトピー関係 $\sim$ はdef-complex-categoryの合同関係を与えるので、これによる商圏
$$
K(\mathcal A):=\mathrm{Ch}(\mathcal A)/\!\sim
$$
が定義できる。すなわち $K(\mathcal A)$ の対象は複体であり、射は
$$
\mathrm{Hom}_{K(\mathcal A)}(C_\bullet,D_\bullet):=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ch}(\mathcal A)}(C_\bullet,D_\bullet)/\!\sim
$$
（鎖写像の鎖ホモトピー類）である。これを（複体の）ホモトピー圏（homotopy category）という。
直感
ホモトピー圏は、複体を「鎖ホモトピーの差を無視して」扱う圏である。複体とホモロジーで見たように、鎖ホモトピックな鎖写像はホモロジー上で等しい射を誘導するので、ホモロジー関手 $H_n\colon\mathrm{Ch}(\mathcal A)\to\mathcal A$（$\mathcal A$ がアーベル圏のとき）は $K(\mathcal A)$ 上の関手 $H_n\colon K(\mathcal A)\to\mathcal A$ へ矛盾なく分解する。したがって、ホモロジーだけに興味がある限り、複体を鎖ホモトピー類まで潰して扱っても情報は失われない。
しかし $K(\mathcal A)$ の射の同型（ホモトピー同値）は、ホモロジーの同型（擬同型）よりも真に強い条件である。ホモロジーが同型でも鎖ホモトピー同値とは限らない複体の組が存在するため、$K(\mathcal A)$ はまだ「ホモロジーだけを見る」枠組みとしては粗すぎる。擬同型を形式的に同型射に変える局所化という操作を $K(\mathcal A)$ にさらに施すことで、次に扱う導来圏 $D(\mathcal A)$ が得られる。この局所化の一般論は三角圏・Verdier局所化の枠組みで整備される。
性質
$\mathrm{Hom}_{K(\mathcal A)}(C_\bullet,D_\bullet)$ には、$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ch}(\mathcal A)}(C_\bullet,D_\bullet)$ の加法構造から自然にアーベル群の構造が誘導され、この構造のもとで $K(\mathcal A)$ は加法圏になる。
「$0$ に鎖ホモトピックな鎖写像全体」$\mathrm{Null}(C_\bullet,D_\bullet):=\{f\mid f\sim 0\}$ が $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ch}(\mathcal A)}(C_\bullet,D_\bullet)$ の部分群であることを示せば、prop-homotopy-congruenceの同値関係の議論（$f\sim g\iff f-g\sim0$）より $\mathrm{Hom}_{K(\mathcal A)}(C_\bullet,D_\bullet)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ch}(\mathcal A)}(C_\bullet,D_\bullet)/\mathrm{Null}(C_\bullet,D_\bullet)$ は商群として矛盾なくアーベル群の構造を持つ。$f\sim0$ を $(s_n)$ が、$f'\sim0$ を $(s'_n)$ が実現するとき、$(s_n+s'_n)$ は $(f+f')_n-0=d_{n+1}(s_n+s'_n)+(s_{n-1}+s'_{n-1})d_n$ を満たすので $f+f'\sim0$、また $(-s_n)$ により $-f\sim0$ となるので $\mathrm{Null}(C_\bullet,D_\bullet)$ は部分群である。合成の双線型性は $\mathrm{Ch}(\mathcal A)$ での双線型性から商について直ちに引き継がれる。零対象は零複体（各項が零対象であるもの）が与え、双積は各次数ごとの加法圏の双積により複体の双積として構成できる（差分は双積の普遍性により誘導される）。ゆえに $K(\mathcal A)$ は加法圏である。$\blacksquare$
例
環 $R$ に対し、複体 $C_\bullet$ を $C_0=C_1=R$、$d_1:=\operatorname{id}_R\colon C_1\to C_0$、他の項・差分は $0$ として定める。$s_0:=\operatorname{id}_R\colon C_0\to C_1$、他の $s_n:=0$ とおくと、
$$
(\operatorname{id}_{C_\bullet})_0-0=\operatorname{id}_R=d_1\circ s_0=d_1s_0+s_{-1}d_0,\qquad(\operatorname{id}_{C_\bullet})_1-0=\operatorname{id}_R=s_0\circ d_1=d_2s_1+s_0d_1
$$
（$s_{-1}=0$、$d_0=0$、$d_2=0$ より）となり、$(s_n)$ は $\operatorname{id}_{C_\bullet}$ と零射 $0\colon C_\bullet\to C_\bullet$ の間の鎖ホモトピーを与える。したがって $\mathrm{Ch}(R\text{-}\mathbf{Mod})$ では $C_\bullet\ne0$（$R\ne0$ のとき）だが、$K(R\text{-}\mathbf{Mod})$ では $\operatorname{id}_{C_\bullet}=0$、すなわち $C_\bullet$ は $K(R\text{-}\mathbf{Mod})$ の零対象に同型になる。このように、ホモトピー圏では複体の圏で区別されていた対象・射がしばしば同一視される。
