Schur–Zassenhausの定理

要点：$\gcd(a,m)=1$ なので $b\mapsto b^m$ は $A$ の全単射であり、$bT\approx S$ は $b^m=\delta(S,T)$ と同値になる。

1：lem-sz-regular により $A$ は $\Omega$ に推移的に作用するので、$g\in G$ について $g\,\omega=b\,\omega$ となる $b\in A$ がある。$b^{-1}g\in G_\omega$ なので $g\in A\,G_\omega$ であり、$G=A\,G_\omega$ である（Frattiniの論法 の命題「推移的な部分群による分解」と同じ議論）。$b\in A\cap G_\omega$ なら $b\,\omega=\omega=e\,\omega$ なので、一意性から $b=e$ である。よって $G_\omega$ は補群である。
2：$K$ を $A$ の補群とする。$k,k'\in K$ が同じ剰余類に入るなら $k^{-1}k'\in A\cap K=\{e\}$ なので、$K$ の元は相異なる剰余類に入る。$\lvert K\rvert=[G:A]$（lem-sz-order）なので、$K$ は代表系である。$k\in K$ について $kK=K$ なので $k[K]=[K]$ であり、$K\subset G_{[K]}$ である。一方、1 により $G_{[K]}$ も補群なので $\lvert G_{[K]}\rvert=[G:A]=\lvert K\rvert$ であり、$K=G_{[K]}$ である。
3：$K$、$L$ を補群とする。2 により $K=G_{[K]}$、$L=G_{[L]}$ である。lem-sz-regular により $[L]=b\,[K]$ となる $b\in A$ があり、安定化群は $G_{b\omega}=bG_\omega b^{-1}$ を満たすので、$L=bKb^{-1}$ である。$\square$

$\lvert G\rvert$ についての帰納法で示す。$N=\{e\}$ なら $G$ 自身が補群である。$N\neq\{e\}$ とし、$\lvert N\rvert$ を割る素数 $p$ と、$N$ の Sylow $p$ 部分群 $P$ をとる。Frattiniの論法 の定理「Frattiniの論法」により、$L:=N_G(P)$ について $G=NL$ である。
$L\neq G$ の場合． $N_0:=N\cap L$ は $L$ の正規部分群である。準同型定理 の定理「第2同型定理」により $L/N_0\cong NL/N=G/N$ なので $[L:N_0]=[G:N]$ であり、$\lvert N_0\rvert$ は $\lvert N\rvert$ を割るので、$\lvert N_0\rvert$ と $[L:N_0]$ は互いに素である。$\lvert L\rvert<\lvert G\rvert$ なので、帰納法の仮定により $N_0$ は $L$ において補群 $K$ をもつ。$\lvert K\rvert=[L:N_0]=[G:N]$ なので、lem-sz-order により $K$ は $N$ の $G$ における補群である。
$L=G$ の場合． $P$ は $G$ の正規部分群である。$Z:=Z(P)$ を $P$ の中心とすると、$P\neq\{e\}$ は $p$ 群なので $Z\neq\{e\}$ である（群の中心 の定理「有限 $p$-群の中心は自明でない」）。$Z$ は $P$ の特性部分群で（特性部分群 の命題「中心は特性部分群」）、$P$ は $G$ の正規部分群なので、$Z$ は $G$ の正規部分群である（同じ記事の命題「特性性の推移性」の 2）。
$Z=N$ なら $N$ は可換であり、thm-sz-abelian の 1 により補群がある。$Z\neq N$ とする。$\bar G:=G/Z$、$\bar N:=N/Z$ とおくと、$\bar N$ は $\bar G$ の正規部分群で、$[\bar G:\bar N]=[G:N]$、$\lvert\bar N\rvert$ は $\lvert N\rvert$ を割る。$\lvert\bar G\rvert<\lvert G\rvert$ なので、帰納法の仮定により $\bar N$ は補群をもつ。準同型定理 の定理「対応定理」により、それは $Z$ を含む部分群 $K$ によって $K/Z$ と書ける。$\lvert K\rvert=[G:N]\,\lvert Z\rvert$ であり、$\lvert Z\rvert<\lvert N\rvert$ なので $\lvert K\rvert<\lvert G\rvert$ である。$Z$ は $K$ の正規部分群で、$\lvert Z\rvert$ は $\lvert N\rvert$ を割るので $[K:Z]=[G:N]$ と互いに素である。帰納法の仮定により $Z$ は $K$ において補群 $H$ をもち、$\lvert H\rvert=[K:Z]=[G:N]$ である。lem-sz-order により $H$ は $N$ の $G$ における補群である。$\square$

$\lvert G\rvert$ についての帰納法で示す。$H$、$K$ を $N$ の補群とする。$N$ が可換なら thm-sz-abelian の 3 による。$N$ が可換でないとし、$N':=[N,N]$ を $N$ の交換子部分群とする（交換子部分群）。$N$ は可換でないので $N'\neq\{e\}$ であり、$N$ は可解なので $N'\neq N$ である（可解群 の定義「交換子部分群と導来列」）。$N'$ は $N$ の特性部分群なので（特性部分群 の命題「交換子部分群は特性部分群」）、同じ記事の命題「特性性の推移性」の 2 により $G$ の正規部分群である。
$\bar G:=G/N'$ で考える。$\bar N:=N/N'$ は可換な正規部分群で、$\lvert\bar N\rvert$ は $\lvert N\rvert$ を割り、$[\bar G:\bar N]=[G:N]$ である。$HN'/N'$ は位数 $\lvert H\rvert/\lvert H\cap N'\rvert=\lvert H\rvert=[\bar G:\bar N]$ の部分群なので、lem-sz-order により $\bar N$ の補群である。$KN'/N'$ も同じである。thm-sz-abelian の 3 により $\bar g\,(KN'/N')\,\bar g^{-1}=HN'/N'$ となる $\bar g=gN'$ があり、対応定理により $(gKg^{-1})N'=HN'$ である。
$M:=HN'$ とおく。$N'$ は $M$ の正規部分群で、$H$ と $gKg^{-1}$ はどちらも $M$ に含まれる位数 $\lvert H\rvert=[M:N']$ の部分群である。$\lvert N'\rvert$ は $\lvert N\rvert$ を割るので $[M:N']=[G:N]$ と互いに素であり、lem-sz-order により $H$ と $gKg^{-1}$ は $N'$ の $M$ における補群である。$N'$ は可解群の部分群なので可解であり（可解群 の命題「部分群と剰余群への遺伝」）、$\lvert M\rvert=\lvert H\rvert\lvert N'\rvert<\lvert H\rvert\lvert N\rvert=\lvert G\rvert$ である。帰納法の仮定により、$H$ と $gKg^{-1}$ は $M$ の中で共役であり、したがって $H$ と $K$ は $G$ の中で共役である。$\square$

$\lvert G\rvert$ についての帰納法で示す。$H$、$K$ を $N$ の補群とする。$G=N$ なら $H=K=\{e\}$ である。$G\neq N$ とする。
素数冪位数の正規部分群をとる． $G/N$ は可解で $\{e\}$ でないので、その導来列の最後の $\{e\}$ でない項 $D$ は可換で、$G/N$ の特性部分群である（特性部分群 の命題「交換子部分群は特性部分群」と「特性性の推移性」の 1）。$\lvert D\rvert$ を割る素数 $q$ をとり、$D_q$ を可換群 $D$ の位数が $q$ の冪である元の全体とする。$D_q$ は $D$ の唯一の Sylow $q$ 部分群であり（Sylowの定理 の例「アーベル群の場合」）、位数が同じ部分群がほかにないので $D$ の特性部分群である（特性部分群 の補題「位数が同じ部分群がほかにない部分群」）。「特性性の推移性」の 1 により $D_q$ は $G/N$ の特性部分群であり、とくに正規部分群である（同じ記事の命題「特性部分群は正規部分群」）。対応定理により $D_q=M/N$ となる $G$ の正規部分群 $M\supset N$ があり、$[M:N]=q^k$（$k\ge1$）である。$q$ は $[G:N]$ を割るので、$\lvert N\rvert$ を割らない。
$M$ の Sylow 部分群に合わせる． lem-sz-dedekind により $M=M\cap NH=N(M\cap H)$ であり、$N\cap(M\cap H)=\{e\}$ なので $\lvert M\cap H\rvert=[M:N]=q^k$ である。$\lvert M\rvert=\lvert N\rvert q^k$ で $q\nmid\lvert N\rvert$ なので、$M\cap H$ は $M$ の Sylow $q$ 部分群である。$M\cap K$ も同じである。Sylowの定理 の定理「Sylowの定理の主張」の 3 により $x(M\cap K)x^{-1}=M\cap H$ となる $x\in M$ がある。$K_1:=xKx^{-1}$ とおくと、$K_1$ は補群で、$M$ は正規なので $M\cap K_1=x(M\cap K)x^{-1}=M\cap H$ である。この群を $R$ とおく。$M$ は正規なので、$R$ は $H$ と $K_1$ の正規部分群であり、$H,K_1\subset L:=N_G(R)$ である。
$L\neq G$ の場合． $N\cap L$ は $L$ の正規部分群で、lem-sz-dedekind により $L=L\cap NH=(L\cap N)H$ である。$[L:N\cap L]=\lvert H\rvert=[G:N]$、$\lvert N\cap L\rvert$ は $\lvert N\rvert$ を割り、$L/(N\cap L)\cong H\cong G/N$ は可解である。$H$ と $K_1$ はどちらも位数 $[L:N\cap L]$ の部分群なので、lem-sz-order により $N\cap L$ の $L$ における補群である。帰納法の仮定により $H$ と $K_1$ は $L$ の中で共役であり、$H$ と $K$ は $G$ の中で共役である。
$L=G$ の場合． $R$ は $G$ の正規部分群で、$\lvert R\rvert=q^k>1$ である。$\bar G:=G/R$ で考える。$N\cap R\subset N\cap H=\{e\}$ なので $\bar N:=NR/R\cong N$ であり、$[\bar G:\bar N]=[G:NR]$ は $[G:N]$ を割るので $\lvert\bar N\rvert$ と互いに素である。$\bar G/\bar N\cong G/NR$ は $G/N$ の剰余群なので可解である。$H/R$ と $K_1/R$ は位数 $\lvert H\rvert/q^k=[G:N]/q^k=[\bar G:\bar N]$ の部分群なので、lem-sz-order により $\bar N$ の補群である。$\lvert\bar G\rvert<\lvert G\rvert$ なので、帰納法の仮定により $\bar g\,(K_1/R)\,\bar g^{-1}=H/R$ となる $\bar g=gR$ があり、$H$ と $K_1$ はどちらも $R$ を含むので、対応定理により $gK_1g^{-1}=H$ である。よって $H$ と $K$ は共役である。$\square$