Green関数

$\operatorname{supp}\varphi\subset B(0,\rho)$ となる $\rho>0$ をとり、$0<\varepsilon<\rho$ について閉じた円環 $A_\varepsilon:=\{y\mid\varepsilon\le|y|\le\rho\}$ を考える。$A_\varepsilon$ は滑らかな境界をもつコンパクトな領域で（境界は 2 つの球面）、$\Gamma$ は $A_\varepsilon$ を含む開集合 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上で $C^2$ 級かつ調和である。Gaussの発散定理 の記事の系「部分積分と Green の恒等式」の第 2 恒等式を $u=\Gamma$、$v=\varphi$ に使うと
$$ \int_{A_\varepsilon}\Gamma\,\Delta\varphi\,dy=\int_{\partial A_\varepsilon}\Bigl(\Gamma\,\frac{\partial\varphi}{\partial\nu}-\varphi\,\frac{\partial\Gamma}{\partial\nu}\Bigr)dS $$
である（左辺の $\varphi\,\Delta\Gamma$ の項は $0$）。外側の球面 $|y|=\rho$ の近くでは $\varphi=0$ なので、その上の積分は $0$ である。内側の球面 $|y|=\varepsilon$ では、$A_\varepsilon$ の外向きの法線は原点に向かう $-y/\varepsilon$ である。(2) により $\int\Gamma\,\partial_\nu\varphi\,dS\to0$（$|\partial_\nu\varphi|\le\sup|\nabla\varphi|$）、(1) により $\int\varphi\,\partial_\nu\Gamma\,dS\to\varphi(0)$ である。よって右辺は $-\varphi(0)$ に収束する。
左辺については、$\Gamma$ は局所可積分で $\Delta\varphi$ は有界だから、優収束定理により $\int_{A_\varepsilon}\Gamma\Delta\varphi\,dy\to\int_{\mathbb{R}^n}\Gamma\Delta\varphi\,dy$ である。以上で等式が示された。$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ について、これは超関数 $\Gamma$ の超関数微分が $\langle\Delta\Gamma,\varphi\rangle=\langle\Gamma,\Delta\varphi\rangle=-\varphi(0)$ を満たすことにほかならない（超関数 の記事の定義「超関数微分」）。$\square$

2 つの積分が等しいことは変数変換 $y\mapsto x-y$ による。$x$ を有界な集合 $\{|x|< M\}$ に制限すると、$f(x-y)$ とその 2 階までの偏導関数は $y\in B(0,M+\rho)$（$\operatorname{supp}f\subset B(0,\rho)$）の外で $0$ で、一様に有界かつ連続である。$\Gamma$ は $B(0,M+\rho)$ 上で可積分なので、優収束定理により積分記号の下で 2 回まで微分でき、$\partial_i\partial_ju(x)=\int\Gamma(y)(\partial_i\partial_jf)(x-y)\,dy$ は $x$ について連続である。特に
$$ \Delta u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\Gamma(y)\,(\Delta f)(x-y)\,dy=\int_{\mathbb{R}^n}\Gamma(y)\,\Delta_y\bigl[f(x-y)\bigr]\,dy $$
であり、$y\mapsto f(x-y)$ はコンパクトな台をもつ $C^2$ 級関数だから、thm-green-fundamental により右辺は $-f(x-0)=-f(x)$ である。$\square$

$\overline B(x,\varepsilon)\subset D$ となる $\varepsilon>0$ をとり、$\Omega_\varepsilon:=\overline D\setminus B(x,\varepsilon)$ とおく。$v(y):=\Gamma(y-x)$ は $\Omega_\varepsilon$ を含む開集合 $\mathbb{R}^n\setminus\{x\}$ 上で $C^2$ 級かつ調和である。Gaussの発散定理 の記事の系「部分積分と Green の恒等式」の第 2 恒等式を $u$ と $v$ に使うと、$\Delta v=0$ から
$$ -\int_{\Omega_\varepsilon}v\,\Delta u\,dy=\int_{\partial D}\bigl(u\,\partial_\nu v-v\,\partial_\nu u\bigr)dS+\int_{\partial B(x,\varepsilon)}\bigl(u\,\partial_\nu v-v\,\partial_\nu u\bigr)dS $$
となる。球面の上の法線は中心に向かうので、(1) により $\int_{\partial B(x,\varepsilon)}u\,\partial_\nu v\,dS\to u(x)$、(2) により $\int_{\partial B(x,\varepsilon)}v\,\partial_\nu u\,dS\to0$ である。左辺は、$v$ が局所可積分で $\Delta u$ が $\overline D$ 上で有界なので、優収束定理により $-\int_Dv\,\Delta u\,dy$ に収束する。$\varepsilon\to0$ として
$$ -\int_D\Gamma(y-x)\,\Delta u(y)\,dy=\int_{\partial D}\bigl(u\,\partial_\nu v-v\,\partial_\nu u\bigr)dS+u(x) $$
を得る。これを $u(x)$ について解けば主張の式である。$\square$

$G$ と $G'$ を Green 関数とし、補正関数をそれぞれ $h_x$、$h'_x$ とする。$h_x-h'_x=G'(x,\cdot)-G(x,\cdot)$ は $\overline D$ 上で連続、$D$ 上で調和で、$\partial D$ の上で $0$ である。調和関数 の記事の系「境界値による一意性」により $D$ 上で $h_x=h'_x$ であり、$G=G'$ である。$\square$

$x\in D$ を固定し、補正関数 $h_x$ を $\overline D$ を含む開集合上の $C^2$ 級関数に延長しておく。Gaussの発散定理 の記事の第 2 恒等式を $u$ と $h_x$ に使うと、$D$ の上で $\Delta h_x=0$ だから
$$ 0=\int_{\partial D}\bigl(u\,\partial_\nu h_x-h_x\,\partial_\nu u\bigr)dS+\int_Dh_x\,\Delta u\,dy $$
である。この右辺を thm-green-representation の右辺に加える。$\partial D$ の上では $h_x(y)=\Gamma(y-x)$ なので $\Gamma(y-x)\,\partial_\nu u-h_x\,\partial_\nu u=0$ となり、$\partial_\nu u$ の項が消える。残りは
$$ u(x)=-\int_{\partial D}u\,\partial_{\nu_y}\bigl(\Gamma(y-x)-h_x(y)\bigr)dS(y)-\int_D\bigl(\Gamma(y-x)-h_x(y)\bigr)\Delta u(y)\,dy $$
であり、$\Gamma(y-x)-h_x(y)=G(x,y)$ だから主張の式になる。$\square$

1 と 2 は thm-green-main の式で $\Delta u=0$、または $u|_{\partial D}=0$ と $\Delta u=-f$ とおいたものである。3 は $u=\varphi$（$D$ の外へ $0$ で延長すると $\mathbb{R}^n$ 上の $C^\infty$ 級関数）とおくと、$\partial D$ の上で $\varphi=0$ なので境界の項が消えることによる。$\square$

$\varepsilon>0$ を、$\overline B(x,\varepsilon)$ と $\overline B(y,\varepsilon)$ が $D$ に含まれ互いに交わらないようにとる。$\Omega_\varepsilon:=\overline D\setminus\bigl(B(x,\varepsilon)\cup B(y,\varepsilon)\bigr)$ は滑らかな境界をもつコンパクトな領域である。$v(z):=G(x,z)$、$w(z):=G(y,z)$ とおくと、$v=\Gamma(\cdot-x)-h_x$ は $\Omega_\varepsilon$ を含む開集合（$\overline D$ を含む開集合から点 $x$ を除いたもの）の上で $C^2$ 級で、$\Omega_\varepsilon$ の内部で調和である。$w$ も同様である。第 2 恒等式を $v,w$ に使うと、左辺は $0$ であり、$\partial D$ の上では $v=w=0$ なので
$$ 0=\int_{\partial B(x,\varepsilon)}\bigl(v\,\partial_\nu w-w\,\partial_\nu v\bigr)dS+\int_{\partial B(y,\varepsilon)}\bigl(v\,\partial_\nu w-w\,\partial_\nu v\bigr)dS $$
である（どちらの球面でも法線は中心に向かう）。$\varepsilon\to0$ のとき、(1) と (2) により、$\partial B(x,\varepsilon)$ の上の積分は $-w(x)=-G(y,x)$ に、$\partial B(y,\varepsilon)$ の上の積分は $v(y)=G(x,y)$ に収束する。よって $0=G(x,y)-G(y,x)$ である。$\square$

1. $h_x$ は $\overline D$ 上で連続なので $x$ の近くで有界であり、$y\to x$ のとき $\Gamma(y-x)\to+\infty$ だから $G(x,y)\to+\infty$ である。よって $\varepsilon>0$ を、$\overline B(x,\varepsilon)\subset D$ かつ $0<|y-x|\le\varepsilon$ で $G(x,y)>0$ となるようにとれる。$U:=D\setminus\overline B(x,\varepsilon)$ は有界な開集合で、$-G(x,\cdot)$ は $\overline U$ 上で連続、$U$ 上で調和であり、$U$ の境界（$\partial D$ と球面 $\partial B(x,\varepsilon)$ に含まれる）の上で $-G(x,\cdot)\le0$ である。調和関数 の記事の定理「弱最大値原理」により $U$ の上で $-G(x,\cdot)\le0$ であり、$G(x,\cdot)$ は $D\setminus\{x\}$ の上で負にならない。
   $D\setminus\{x\}$ は連結である。
   詳細

   $D\setminus\{x\}$ が交わらない 2 つの空でない開集合 $U_1,U_2$ の和だとする。$B(x,r)\subset D$ となる $r$ をとると、$B(x,r)\setminus\{x\}$ は $n\ge2$ なので弧状連結（2 点を、必要なら $x$ を通らない別の点を経由して、折れ線で結べる）で、したがって連結であり、$U_1$ か $U_2$ の一方、たとえば $U_1$ に含まれる。すると $U_1\cup\{x\}=U_1\cup B(x,r)$ と $U_2$ は交わらない空でない開集合で、和は $D$ となり、$D$ の連結性に反する。

   
   $G(x,\cdot)$ は連結な開集合 $D\setminus\{x\}$ 上の負にならない調和関数で、恒等的に $0$ ではない（$x$ の近くで正）。Harnackの不等式 の記事の系「負にならない調和関数の零点」により、$D\setminus\{x\}$ の上で $G(x,\cdot)>0$ である。
2. $n\ge3$ なら $\Gamma>0$ である。$h_x$ は $\overline D$ 上で連続、$D$ 上で調和で、$\partial D$ の上で $h_x(y)=\Gamma(y-x)\ge m:=\min_{y\in\partial D}\Gamma(y-x)>0$ である（$\partial D$ はコンパクトで $x\notin\partial D$）。弱最大値原理を $m-h_x$ に使うと $D$ の上で $h_x\ge m>0$ であり、$G(x,y)=\Gamma(y-x)-h_x(y)<\Gamma(y-x)$ である。$\square$

平行移動 $u(\cdot+a)$ を考えれば $a=0$ としてよい。cor-green-consequences の 1 により、$y\in\partial B(0,R)$ で $K(x,y):=-\partial_{\nu_y}G(x,y)=(R^2-|x|^2)/(nV(B)R|x-y|^n)$ となることを示せばよい。外向きの法線は $\nu=y/R$ である。