凸包

$\Delta:=\{\lambda\in\mathbb{R}^{n+1}\mid\lambda_i\ge0,\ \sum_i\lambda_i=1\}$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の有界閉集合なのでコンパクトである（コンパクト空間 の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）。写像
$$ \Phi\colon S^{n+1}\times\Delta\to\mathbb{R}^n,\qquad\bigl((x_1,\dots,x_{n+1}),\lambda\bigr)\mapsto\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i $$
は連続であり、定義域はコンパクト集合の有限個の直積なのでコンパクトである。凸集合 の記事の定理「Carathéodoryの定理」により、$\operatorname{conv}S$ の点は $S$ の高々 $n+1$ 個の点の凸結合で書け、点を重複させて（または係数 $0$ の項を加えて）ちょうど $n+1$ 個の項の凸結合と思ってよいので、$\operatorname{conv}S=\Phi(S^{n+1}\times\Delta)$ である。コンパクト集合の連続写像による像はコンパクトなので、$\operatorname{conv}S$ はコンパクトであり、とくに閉集合である。閉凸集合 $\operatorname{conv}S$ は $S$ を含むので $\overline{\operatorname{conv}}\,S\subset\operatorname{conv}S$ で、逆の包含は定義から明らかである。$\square$

1. 段 1（最も近い点）。$C$ の点 $c_0$ を 1 つとり、$r:=\|x_0-c_0\|$ とする。$C\cap\{x\mid\|x-x_0\|\le r\}$ は空でない有界閉集合なのでコンパクトであり、連続関数 $x\mapsto\|x-x_0\|$ はその上で最小値をとる。最小値をとる点を $p$ とすると、$p$ は $C$ 全体の中で $x_0$ に最も近い点である。$x_0\notin C$ なので $a:=x_0-p\ne0$ である。
   段 2（角が鈍角になる）。$x\in C$ と $0< t\le1$ について、$C$ が凸なので $p+t(x-p)\in C$ であり、$p$ の最小性から
   $$ \|a\|^2=\|x_0-p\|^2\le\|x_0-p-t(x-p)\|^2=\|a\|^2-2t\,a\cdot(x-p)+t^2\|x-p\|^2 $$
   である。整理して $t$ で割ると $2\,a\cdot(x-p)\le t\|x-p\|^2$ で、$t\to0$ として $a\cdot(x-p)\le0$ を得る。
   段 3（分離）。$b:=a\cdot p$ とおくと、段 2 からすべての $x\in C$ で $a\cdot x\le b$ であり、$a\cdot x_0=a\cdot p+\|a\|^2>b$ である。
2. 閉半空間は閉凸集合なので、$S$ を含む閉半空間はすべて $\overline{\operatorname{conv}}\,S$ を含み、共通部分も $\overline{\operatorname{conv}}\,S$ を含む。逆に $x_0\notin\overline{\operatorname{conv}}\,S$ とする。$S=\emptyset$ なら $\{x\mid a\cdot x\le b\}$ で $b< a\cdot x_0$ となるものをとればよい。$S\ne\emptyset$ なら、閉凸集合 $\overline{\operatorname{conv}}\,S$ と $x_0$ に 1 を使うと、$S$ を含み $x_0$ を含まない閉半空間 $\{x\mid a\cdot x\le b\}$ が得られる。よって $x_0$ は共通部分に属さない。$\square$

$C$ の外の点の列 $y_k\to x_0$ をとる。thm-ch-separation の 1 により $a_k\ne0$ で、すべての $x\in C$ について $a_k\cdot x< a_k\cdot y_k$ となるものがある。$a_k$ を $\|a_k\|$ で割って $\|a_k\|=1$ としてよい。単位球面はコンパクトなので、部分列をとって $a_k\to a$、$\|a\|=1$ としてよい。$x\in C$ を固定して $k\to\infty$ とすると $a\cdot x\le a\cdot x_0$ である。$\square$

$\operatorname{conv}(\operatorname{ext}K)\subset K$ は $K$ が凸であることから明らかなので、$K\subset\operatorname{conv}(\operatorname{ext}K)$ を $n$ についての帰納法で示す。$K=\emptyset$ なら明らかなので $K\ne\emptyset$ とする。$n=0$ なら $K$ は 1 点で、その点は端点である。
$n\ge1$ とし、$n-1$ 以下では正しいとする。$K$ が 1 点なら明らかなので、$K$ は 2 点以上を含むとする。$x\in K$ をとり、$x$ と $K$ の別の点を通る直線 $\ell$ を考える。$K\cap\ell$ は $\ell$ の上のコンパクトな凸集合で 2 点以上を含むので、端点 $y\ne z$ をもつ線分 $[y,z]$ であり、$x\in[y,z]$ である。$y\in\operatorname{conv}(\operatorname{ext}K)$ を示す（$z$ も同様）。そうすれば $x\in\operatorname{conv}(\operatorname{ext}K)$ である。
段 1（支持超平面）。$\ell$ の上で $y$ を越えた点 $y+s(y-z)$（$s>0$）は $K$ に属さず、$s\to0$ で $y$ に近づくので、$y$ は $K$ の境界の点である。lem-ch-support により $a\ne0$ で、すべての $w\in K$ について $a\cdot w\le a\cdot y$ となるものがある。$H:=\{w\mid a\cdot w=a\cdot y\}$、$F:=K\cap H$ とおく。
段 2（面の端点は $K$ の端点）。$e\in\operatorname{ext}F$ が $e=(1-t)u+tv$（$u,v\in K$、$0< t< 1$）と書けたとする。$a\cdot u\le a\cdot y$、$a\cdot v\le a\cdot y$ で、$(1-t)a\cdot u+t\,a\cdot v=a\cdot e=a\cdot y$ なので、どちらも等号であり $u,v\in F$ である。$e$ は $F$ の端点なので $u=v=e$ である。よって $\operatorname{ext}F\subset\operatorname{ext}K$ である。
段 3（帰納法）。$H$ は方向が $(n-1)$ 次元の部分空間 $\{h\mid a\cdot h=0\}$ のアフィン部分空間である。その基底 $h_1,\dots,h_{n-1}$ をとり、$\phi(t):=y+\sum_it_ih_i$ とおくと、$\phi\colon\mathbb{R}^{n-1}\to H$ はアフィン写像で全単射であり、逆写像もアフィン写像である。$\phi$ と $\phi^{-1}$ は凸結合を保つので、$\phi^{-1}(F)$ は $\mathbb{R}^{n-1}$ のコンパクトな凸集合で、その端点は $\phi$ によって $\operatorname{ext}F$ の点にちょうど対応する。帰納法の仮定により $\phi^{-1}(F)=\operatorname{conv}\operatorname{ext}\phi^{-1}(F)$ であり、$\phi$ で移して $F=\operatorname{conv}(\operatorname{ext}F)$ を得る。$y\in F$ なので、段 2 により $y\in\operatorname{conv}(\operatorname{ext}F)\subset\operatorname{conv}(\operatorname{ext}K)$ である。$\square$

1. コンパクト性は thm-ch-compact による。$e$ を頂点とし、$e=\sum_{i=1}^m\lambda_is_i$（$s_i\in S$ は相異なり、$\lambda_i>0$）と書く。$m\ge2$ なら $y:=\sum_{i\ge2}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}s_i\in\operatorname{conv}S$ について $e=\lambda_1s_1+(1-\lambda_1)y$、$0< \lambda_1< 1$ なので、$e$ が端点であることから $s_1=y=e$ となる。いずれにしても $e\in S$ である。thm-ch-minkowski により $\operatorname{conv}S$ は頂点全体の凸包である。
   $s\in S$ が頂点でないなら、頂点はすべて $S\setminus\{s\}$ に属するので $s\in\operatorname{conv}S=\operatorname{conv}(\operatorname{ext}\operatorname{conv}S)\subset\operatorname{conv}(S\setminus\{s\})$ である。逆に $s\in\operatorname{conv}(S\setminus\{s\})$ なら、$s$ は $s$ と異なる点の凸結合なので、前段の議論により $s$ は頂点でない（頂点なら、凸結合に現れる点の 1 つに一致しなければならない）。
2. $R:=\|v-c\|$ とおくと、$s\in S$ について $\|s-c\|\le R$ であり、Cauchy–Schwarzの不等式 により
   $$ a\cdot(s-c)\le\|a\|\,\|s-c\|\le R^2=a\cdot(v-c) $$
   である。等号が成り立つのは $s-c$ が $a$ の正の定数倍で $\|s-c\|=R$ のとき、すなわち $s=v$ のときに限る。よって $s\ne v$ なら $a\cdot s< a\cdot v$ である。すると $\operatorname{conv}S$ の点 $\sum_i\lambda_is_i$ について $a\cdot\sum_i\lambda_is_i\le a\cdot v$ で、等号は $v$ 以外の係数がすべて $0$ のときに限る。$v=(1-t)u+tw$（$u,w\in\operatorname{conv}S$、$0< t< 1$）なら $a\cdot u=a\cdot w=a\cdot v$ となるので $u=w=v$ であり、$v$ は頂点である。$\square$

代数学の基本定理 により $p(z)=c\prod_{i=1}^d(z-a_i)$（$c\ne0$、$a_i$ は重複を込めた根）と書ける。$p'(w)=0$ とする。$p(w)=0$ なら $w$ は $p$ の根なので凸包に属する。$p(w)\ne0$ なら、積の微分により
$$ 0=\frac{p'(w)}{p(w)}=\sum_{i=1}^d\frac1{w-a_i}=\sum_{i=1}^d\frac{\overline{w}-\overline{a_i}}{|w-a_i|^2} $$
である。複素共役をとり、$m_i:=|w-a_i|^{-2}>0$ とおくと $\sum_im_i(w-a_i)=0$、すなわち
$$ w=\sum_{i=1}^d\frac{m_i}{m_1+\cdots+m_d}\,a_i $$
であり、係数は正で和が $1$ なので、$w$ は $p$ の根の凸結合である。$\square$