最高位の数字とBenfordの法則

$y=\log_{10}x$、$k=\lfloor y\rfloor$、$m=10^{\{y\}}$ とおく。$y=k+\{y\}$ なので $x=10^y=m\times10^k$ である。$0\le\{y\}<1$ と $10^u$ が増加関数であることから $1\le m<10$ なので、これは def-bfl-mantissa の書き方であり、$S(x)=m$ である（$m\times10^k=m'\times10^{k'}$、$1\le m,m'<10$ なら、桁を比べて $k=k'$、$m=m'$ となる）。後半は、$s\le10^{\{y\}}< t$ の各辺の常用対数をとればよい（$\log_{10}$ は増加関数である）。$\square$

方針：段 1 で、$q\alpha$ が整数にとても近くなる $q$ を鳩の巣原理で見つける。段 2 で、歩幅 $\delta$ で進む $L$ 個の数のうち区間に入るものの個数を上下から評価する。段 3 で、$1,\dots,N$ を $q$ で割った余りごとに分けて段 2 を使い、段 4 で極限をとる。$\lambda=\eta-\xi$ とおく。
段 1（$q\alpha$ が整数に近い $q$）。$M\ge4$ を整数とする。$M+1$ 個の数 $\{0\alpha\},\{1\alpha\},\dots,\{M\alpha\}$ は $[0,1)$ に入る。$[0,1)$ を長さ $\frac1M$ の $M$ 個の区間 $\bigl[\frac hM,\frac{h+1}M\bigr)$（$h=0,1,\dots,M-1$）に分けると、鳩の巣原理 により、ある 2 つ $\{i_1\alpha\}$、$\{i_2\alpha\}$（$i_1< i_2$）が同じ区間に入る。$q=i_2-i_1$（$1\le q\le M$）とおくと $q\alpha=(\lfloor i_2\alpha\rfloor-\lfloor i_1\alpha\rfloor)+(\{i_2\alpha\}-\{i_1\alpha\})$ で、後ろのかっこの絶対値は $\frac1M$ より小さい。よって整数 $p$ と符号 $\sigma\in\{1,-1\}$ と $0\le\delta<\frac1M$ を使って $q\alpha=p+\sigma\delta$ と書ける。$\alpha$ は無理数なので $q\alpha$ は整数でなく、$\delta>0$ である。$L=\bigl\lfloor\frac1\delta\bigr\rfloor$ とおくと、$\frac1\delta-1< L\le\frac1\delta$、つまり $1-\delta< L\delta\le1$ である。
段 2（歩幅 $\delta$ の $L$ 個の数）。実数 $w$ と $0<\mu\le1$ に対し、$U(w,\mu)$ を区間 $[w+m,\ w+m+\mu)$（$m$ はすべての整数）を全部合わせた集合とする。$\{y\}\in[\xi,\eta)$ は $y\in U(\xi,\lambda)$ と同値で、$\{y\}\notin[\xi,\eta)$ は $y\in U(\eta,1-\lambda)$ と同値である（$[\eta,1)$ と $[1,1+\xi)$ をつなげた区間を $1$ ずつずらしたもの）。実数 $x$ に対して $y_j=x+j\sigma\delta$（$j=0,1,\dots,L-1$）とおく。このとき
（＊）$y_j\in U(w,\mu)$ となる $j$ の個数は $\dfrac\mu\delta+2$ 以下
が成り立つ。$y_0,\dots,y_{L-1}$ は間隔 $\delta$ で並ぶ長さ $1$ 未満の範囲にあり、$U(w,\mu)$ のうちその範囲にかかる部分は長さの和が $\mu$ 以下の高々 2 つの区間になるからである。

方針：十分性（無理数 ⇒ 従う）は lem-bfl-mantissa で区間の条件に直して thm-bfl-weyl を使う。必要性（従う ⇒ 無理数）は、$\log_{10}a$ が有理数なら仮数がくり返すので、最高位が $1$ になる割合が有理数になり、$\log_{10}2$ が無理数であることに反することを示す。
段 1（十分性）。$\alpha=\log_{10}a$ が無理数とする。$1\le s< t\le10$ をとり、$\xi=\log_{10}s$、$\eta=\log_{10}t$ とおくと $0\le\xi<\eta\le1$ である。$\log_{10}a^n=n\alpha$ なので、lem-bfl-mantissa により $s\le S(a^n)< t$ は $\xi\le\{n\alpha\}<\eta$ と同値である。thm-bfl-weyl により、この条件を満たす $n\le N$ の割合は $\eta-\xi=\log_{10}t-\log_{10}s$ に近づく。これは def-bfl-benford の条件そのものである。
段 2（必要性）。$\log_{10}a=\frac pq$（$p,q$ は整数、$q\ge1$）と仮定する。$n$ を $q$ だけ増やすと $n\cdot\frac pq$ は整数 $p$ だけ増えるので、$\{n\cdot\frac pq\}$ は $n$ を $q$ で割った余りだけで決まる。したがって $1\le n\le q$ のうち最高位が $1$ になる（$0\le\{n\frac pq\}<\log_{10}2$ となる）ものの個数を $C$ とすると、$N=mq$（$m$ は正の整数）のとき、$n\le N$ のうち最高位が $1$ のものはちょうど $mC$ 個である。その割合は $\frac{mC}{mq}=\frac Cq$ で、$m$ によらない有理数である。もし数列が Benford の法則に従うなら、$N=mq$ で $m\to\infty$ としたときの割合は $\log_{10}2$ に近づくはずなので、$\frac Cq=\log_{10}2$ となる。ところが $\log_{10}2$ は無理数である（常用対数と桁数 の命題「$\log_{10}2$ は無理数」）。この矛盾から、$\log_{10}a$ は無理数である。$\square$

方針：lem-bfl-mantissa で常用対数の小数部分の言葉に直す。$c$ 倍は小数部分を一定の量だけずらす操作になり、区間はずらしても、高々 2 つの区間に分かれるだけで長さの和は変わらない。
段 1（言いかえ）。$u_n=\{\log_{10}x_n\}$ とおく。lem-bfl-mantissa で $s=10^{\xi }$、$t=10^{\eta }$ とすると、「$x_n$ が Benford の法則に従う」は「$0\le \xi <\eta \le1$ を満たすすべての $\xi ,\eta$ について、$\xi \le u_n<\eta$ となる $n\le N$ の割合が $\eta -\xi$ に近づく」と同値である。
段 2（ずれ）。$\gamma=\{\log_{10}c\}$ とおく。$\log_{10}(cx_n)=\log_{10}c+\log_{10}x_n$ と、整数を足しても小数部分は変わらないことから、$\{\log_{10}(cx_n)\}=\{\gamma+u_n\}$ である。$0\le\gamma+u_n<2$ なので、$\gamma+u_n<1$ なら $\{\gamma+u_n\}=\gamma+u_n$、$\gamma+u_n\ge1$ なら $\{\gamma+u_n\}=\gamma+u_n-1$ である。
段 3（区間の分かれ方）。$0\le \xi <\eta \le1$ とする。段 2 から、$\xi \le\{\gamma+u_n\}<\eta$ は「$\xi -\gamma\le u_n<\eta -\gamma$ または $\xi -\gamma+1\le u_n<\eta -\gamma+1$」と同値である（前者のとき $u_n<\eta -\gamma\le1-\gamma$ で $\gamma+u_n<1$、後者のとき $u_n\ge \xi -\gamma+1\ge1-\gamma$ で $\gamma+u_n\ge1$ になっている）。$u_n$ は $[0,1)$ に入るので、次の 3 通りになる。

• $\xi \ge\gamma$ のとき：条件は $\xi -\gamma\le u_n<\eta -\gamma$ だけで、区間の長さは $\eta -\xi$ である。
• $\eta \le\gamma$ のとき：条件は $\xi -\gamma+1\le u_n<\eta -\gamma+1$ だけで、区間の長さは $\eta -\xi$ である。
• $\xi <\gamma<\eta$ のとき：条件は $0\le u_n<\eta -\gamma$ または $\xi -\gamma+1\le u_n<1$ で、2 つの区間の長さの和は $(\eta -\gamma)+(\gamma-\xi )=\eta -\xi$ である。
  段 4（結論）。どの場合も、$u_n$ が $[0,1)$ の中の高々 2 つの区間（重ならない）のどちらかに入るという条件で、長さの和は $\eta -\xi$ である。段 1 により、$u_n$ がそれぞれの区間に入る割合はその長さに近づくので、割合の和は $\eta -\xi$ に近づく。段 1 の言いかえを $cx_n$ に使えば、$cx_n$ は Benford の法則に従う。$\square$