正規作用素

1 ⇔ 2：$D=T^*T-TT^*$ は自己共役で、
$$ \|Tx\|^2-\|T^*x\|^2=\langle T^*Tx,x\rangle-\langle TT^*x,x\rangle=\langle Dx,x\rangle $$
である。1 なら右辺は $0$ である。2 ならすべての $x$ で $\langle Dx,x\rangle=0$ であり、自己共役作用素 の命題「2 次形式によるノルムとスペクトルの端」の 1 により $\|D\|=\sup_{\|x\|=1}\lvert\langle Dx,x\rangle\rvert=0$、すなわち $D=0$ である。
1 ⇔ 3：$T^*=A-iB$ なので、
$$ T^*T=A^2+B^2+i(AB-BA),\qquad TT^*=A^2+B^2-i(AB-BA) $$
であり、$T^*T-TT^*=2i(AB-BA)$ である。$\square$

1：前半は prop-no-char の 2 から従う。後半は 随伴作用素 の命題「核と像の直交補」の $\overline{\operatorname{ran}T}=(\ker T^*)^\perp$ に前半を使う。2：$T-\lambda$ は正規で $(T-\lambda)^*=T^*-\overline\lambda$ なので、1 を $T-\lambda$ に使う。3：$Tx=\lambda x$、$Ty=\mu y$、$\lambda\ne\mu$ とすると、2 から $T^*y=\overline\mu y$ なので
$$ \lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle=\langle x,\overline\mu y\rangle=\mu\langle x,y\rangle $$
であり、$\langle x,y\rangle=0$ である。$\square$

1：そのような列があれば $T-\lambda$ は有界な逆をもたない（逆 $R$ があれば $1=\|x_k\|\le\|R\|\,\|(T-\lambda)x_k\|\to0$ となる）ので、$\lambda\in\sigma(T)$ である。逆に、そのような列がないとすると、ある $c>0$ ですべての $x$ について $\|(T-\lambda)x\|\ge c\|x\|$ となる。$N=T-\lambda$ とおく。$N$ は正規なので、prop-no-char から $\|N^*x\|=\|Nx\|\ge c\|x\|$ であり、$\ker N^*=\{0\}$ である。随伴作用素 の命題「核と像の直交補」により $\overline{\operatorname{ran}N}=(\ker N^*)^\perp=H$ である。さらに $\operatorname{ran}N$ は閉じている：$Nx_k\to y$ なら $\|x_k-x_l\|\le c^{-1}\|Nx_k-Nx_l\|$ から $(x_k)$ は Cauchy 列で、極限 $x$ について $Nx=y$ である。よって $N$ は全射であり、下に有界なので単射でもある。したがって $\lambda\notin\sigma(T)$ である。
2：まず一般の $T\in B(H)$ について $\|T^*T\|=\|T\|^2$ である。実際 $\|Tx\|^2=\langle T^*Tx,x\rangle\le\|T^*T\|\,\|x\|^2$ であり、逆に 随伴作用素 の命題「ノルムと二重随伴」の $\|T^*\|=\|T\|$ から $\|T^*T\|\le\|T\|^2$ である。$T$ が正規なら、prop-no-char を $Tx$ に使って $\|T^2x\|=\|T(Tx)\|=\|T^*(Tx)\|$ なので
$$ \|T^2\|=\|T^*T\|=\|T\|^2 $$
である。$T^{2^{j}}$ も正規なので、これを繰り返して $\|T^{2^k}\|=\|T\|^{2^k}$ を得る。スペクトル半径 の定理「Gelfand のスペクトル半径公式」を部分列 $n=2^k$ で使うと $r(T)=\lim_k\|T^{2^k}\|^{2^{-k}}=\|T\|$ である。一般の $n$ では、$\|T^n\|\le\|T\|^n$ と、スペクトル半径 の命題「スペクトル半径の基本性質」の 1 による $\|T\|^n=r(T)^n=r(T^n)\le\|T^n\|$ から等号が成り立つ。
3：右辺を $w(T)$ とおくと、Cauchy–Schwarz の不等式から $w(T)\le\|T\|$ である。$\lambda\in\sigma(T)$ とし、1 の列 $(x_k)$ をとると
$$ \lvert\langle Tx_k,x_k\rangle-\lambda\rvert=\lvert\langle(T-\lambda)x_k,x_k\rangle\rvert\le\|(T-\lambda)x_k\|\to0 $$
なので $\lvert\lambda\rvert\le w(T)$ である。$\lambda$ を $\sigma(T)$ で動かして $r(T)\le w(T)$ を得るので、2 と合わせて $\|T\|=r(T)\le w(T)\le\|T\|$ である。$\square$

3 では次の事実を使う。$T$ が可逆なら、$\mu\ne0$ について $T^{-1}-\mu=-\mu T^{-1}(T-\mu^{-1})$ なので、$\sigma(T^{-1})=\{\lambda^{-1}:\lambda\in\sigma(T)\}$ である。また $(T^{-1})^*=(T^*)^{-1}$ なので、正規作用素の逆は正規である。
1：$\sigma(T)=\{0\}$ なら thm-no-spectrum の 2 から $\|T\|=r(T)=0$ である。逆は明らかである。
2：自己共役なら $\sigma(T)\subset\mathbb R$ であることは 自己共役作用素 の定理「自己共役作用素のスペクトル」にある。逆に $\sigma(T)\subset\mathbb R$ とし、実数 $b\ne0$ をとる。$ib\notin\sigma(T)$ なので $R=(T-ib)^{-1}$ は存在して正規であり、$\sigma(R)=\{(\lambda-ib)^{-1}:\lambda\in\sigma(T)\}$ の点の絶対値は $\lvert b\rvert^{-1}$ 以下である。thm-no-spectrum の 2 を $R$ に使うと $\|R\|=r(R)\le\lvert b\rvert^{-1}$、すなわち $\|(T-ib)x\|\ge\lvert b\rvert\,\|x\|$ である。左辺の 2 乗を展開すると
$$ \|Tx\|^2-2b\operatorname{Im}\langle Tx,x\rangle+b^2\|x\|^2\ge b^2\|x\|^2 $$
なので、すべての実数 $b\ne0$ について $2b\operatorname{Im}\langle Tx,x\rangle\le\|Tx\|^2$ である。$b\to\pm\infty$ として $\operatorname{Im}\langle Tx,x\rangle=0$ を得る。すべての $x$ で $\langle Tx,x\rangle$ が実数なので、随伴作用素 の節「自己随伴・正規・ユニタリ」のとおり、偏極恒等式により $T=T^*$ である。
3：$T$ がユニタリなら $\|T\|=\|T^{-1}\|=1$ なので、$\sigma(T)$ は $\lvert\lambda\rvert\le1$ と（逆のスペクトルの式から）$\lvert\lambda\rvert\ge1$ の両方に含まれる。逆に $\sigma(T)$ が単位円に含まれるとすると、$0\notin\sigma(T)$ なので $T$ は可逆で、$T$ と $T^{-1}$ はどちらも正規でスペクトルが単位円に含まれる。thm-no-spectrum の 2 から $\|T\|=\|T^{-1}\|=1$ であり、$\|x\|=\|T^{-1}Tx\|\le\|Tx\|\le\|x\|$ となる。よって $\langle T^*Tx,x\rangle=\|x\|^2$ がすべての $x$ で成り立ち、prop-no-char の証明と同じく自己共役な $T^*T-I$ は $0$ である。$T^*T=I$ と $T$ の可逆性から $T^*=T^{-1}$、したがって $TT^*=I$ である。$\square$

1：$\lambda\notin R(\varphi)$ なら、ある $\varepsilon>0$ で $\mu(\{\lvert\varphi-\lambda\rvert<\varepsilon\})=0$ なので、$\psi=1/(\varphi-\lambda)$ は（零集合を除いて）$\lvert\psi\rvert\le\varepsilon^{-1}$ を満たし、$M_\psi$ が $M_\varphi-\lambda=M_{\varphi-\lambda}$ の有界な逆である。$\lambda\in R(\varphi)$ なら、各 $k$ について $E_k=\{\lvert\varphi-\lambda\rvert<1/k\}$ は正の測度をもち、σ-有限性から $0<\mu(F_k)<\infty$ の可測集合 $F_k\subset E_k$ がとれる。$x_k=\mu(F_k)^{-1/2}\mathbf 1_{F_k}$ とおくと $\|x_k\|=1$、$\|(M_\varphi-\lambda)x_k\|\le1/k$ なので、thm-no-spectrum の 1 により $\lambda\in\sigma(M_\varphi)$ である。ノルムは thm-no-spectrum の 2 と 本質的上限 の命題「本質的値域と本質的上限」の 3 から $\|M_\varphi\|=r(M_\varphi)=\max\{\lvert\lambda\rvert:\lambda\in R(\varphi)\}=\|\varphi\|_\infty$ である。
2：$M_\varphi f=\lambda f$ は、ほとんどいたるところ $(\varphi-\lambda)f=0$、すなわち $f$ が $\{\varphi=\lambda\}$ の外でほとんどいたるところ $0$ であることと同値である。$\mu(\{\varphi=\lambda\})>0$ なら、その部分集合で測度が正かつ有限なものの指示関数が固有ベクトルになる。測度が $0$ なら $f=0$ しかない。$\square$