Albanese多様体

$V$ は単連結なので、$\psi\circ\pi$ を被覆 $\pi'$ に沿って持ち上げた連続写像 $\Psi\colon V\to V'$ で $\Psi(0)=0$ となるものがある（被覆空間）。$\pi'$ は局所双正則なので $\Psi$ は正則である。$\lambda\in\Lambda$ について $\pi'(\Psi(z+\lambda))=\psi(\pi(z))=\pi'(\Psi(z))$ なので $z\mapsto\Psi(z+\lambda)-\Psi(z)$ は離散集合 $\Lambda'$ に値をとる連続写像で、$V$ は連結なので定数である。よって $\Psi$ の各成分の偏導関数は $\Lambda$ で周期的な正則関数であり、基本平行体（コンパクト）の上の値で抑えられるので有界である。有界な整関数は定数なので（Liouvilleの定理 を各複素直線に使う）、$\Psi$ は 1 次式で、$\Psi(0)=0$ から $\mathbb C$ 線形写像 $L$ である。$\pi'(L(\lambda))=\psi(\pi(\lambda))=\psi(0)=0$ なので $L(\Lambda)\subset\Lambda'$ である。$L_1,L_2$ がともに条件をみたせば、$L_1-L_2$ は $\Lambda'$ に値をとる連続写像で $0$ で $0$ なので $L_1=L_2$ である。$\square$

存在．$V'$ 上の線形形式 $\ell\in V'^\vee$ の微分 $d\ell$ は平行移動で不変な正則 1 形式なので $T'$ に降り、$\varphi^*d\ell\in\Omega$ である。線形写像 $L\colon\Omega^\vee\to V'$ を
$$ \ell\bigl(L(\xi)\bigr)=\xi(\varphi^*d\ell)\qquad(\xi\in\Omega^\vee,\ \ell\in V'^\vee) $$
で定める（$V'=(V'^\vee)^\vee$ による）。$x_0$ から $x$ への道 $\gamma$ をとり、$\varphi\circ\gamma$ を $\pi'\colon V'\to T'$ に沿って $0$ から始まる道 $\tilde\gamma$ に持ち上げる（$\varphi(x_0)=0$）。$\pi'$ は局所的に $d\ell$ を $d\ell$ に引き戻すので
$$ \ell\bigl(L(a_\gamma)\bigr)=\int_\gamma\varphi^*d\ell=\int_{\tilde\gamma}d\ell=\ell(\tilde\gamma(1)) $$
であり、$L(a_\gamma)=\tilde\gamma(1)$、したがって $\pi'(L(a_\gamma))=\varphi(x)$ である。$\gamma$ が閉曲線なら $\tilde\gamma(1)\in\pi'^{-1}(\varphi(x_0))=\Lambda'$ なので $L(\Lambda_X)\subset\Lambda'$ である。よって $L$ は正則な準同型 $\psi\colon\operatorname{Alb}(X)\to T'$ を誘導し、$\psi(\mathrm{alb}(x))=\pi'(L(a_\gamma))=\varphi(x)$ である。
一意性．$\psi_1,\psi_2$ がともに条件をみたすとする。lem-alb-torus-maps により、それぞれ線形写像 $L_1,L_2\colon\Omega^\vee\to V'$ で誘導され、$M:=L_1-L_2$ は $x_0$ から出るすべての道 $\gamma$ について $M(a_\gamma)\in\Lambda'$ をみたす。$x_0$ の座標球 $U$ をとり、$x\in U$ に $U$ の中の線分 $\gamma_x$ を対応させると、$x\mapsto M(a_{\gamma_x})$ は $U$ 上の連続写像で値は離散集合 $\Lambda'$ にあり、$x=x_0$ で $0$ なので恒等的に $0$ である。$\omega\in\Omega$ について $x\mapsto a_{\gamma_x}(\omega)=\int_{x_0}^x\omega$ は $U$ 上の正則関数で、その微分は $\omega$ である。したがって $U$ の点 $x$ と接ベクトル $v$ について、$e_{x,v}\colon\omega\mapsto\omega_x(v)$ とおくと、$M(a_{\gamma_x})=0$ を $v$ の方向に微分して $M(e_{x,v})=0$ を得る。$e_{x,v}$ の全体が $\Omega^\vee$ を張らなければ、$0$ でない $\omega\in\Omega$ ですべての $e_{x,v}$ に消されるもの、すなわち $U$ 上で $\omega=0$ となるものがあり、一致の定理（$X$ は連結）により $\omega=0$ となって矛盾する。よって $M=0$、$\psi_1=\psi_2$ である。$\square$

$0$ サイクルの有理同値は、$X$ の既約曲線 $C$ の正規化 $\nu\colon\widetilde C\to C\subset X$ と $\widetilde C$ 上の 0 でない有理関数 $f$ について $\nu_*(\operatorname{div}f)$ の形のサイクルで生成される（Har77 Appendix A §1、p. 426 の定義）。そこで $\mathrm{alb}(\nu_*(\operatorname{div}f))=0$ を示せばよい。$\widetilde C$ はコンパクトな Riemann 面である。点 $p_0\in\widetilde C$ をとり、$\varphi:=\mathrm{alb}\circ\nu-\mathrm{alb}(\nu(p_0))\colon\widetilde C\to\operatorname{Alb}(X)$ とおくと、$\varphi$ は正則で $\varphi(p_0)=0$ である。thm-alb-universal を $(\widetilde C,p_0)$ に使うと、正則な準同型 $\psi\colon\operatorname{Alb}(\widetilde C)\to\operatorname{Alb}(X)$ で $\varphi=\psi\circ u$ となるものがある。ここで $\operatorname{Alb}(\widetilde C)=\operatorname{Jac}(\widetilde C)$、$u$ は Abel–Jacobi 写像である。$\operatorname{div}f=\sum_jm_jp_j$ は次数 $0$ なので、
$$ \mathrm{alb}\bigl(\nu_*(\operatorname{div}f)\bigr)=\sum_jm_j\,\mathrm{alb}(\nu(p_j))=\sum_jm_j\varphi(p_j)=\psi\Bigl(\sum_jm_ju(p_j)\Bigr) $$
である。$\widetilde C$ の種数が $0$ なら $\operatorname{Jac}(\widetilde C)=0$ で右辺は $0$ である。種数が $1$ 以上なら、主因子は Abel–Jacobi 写像で $0$ に写るので（Jacobi多様体 の定理「Abel–Jacobiの定理」）、右辺は $0$ である。$\square$

アーベル多様体 $B$ と $h(x_0,y_0)=0$ をみたす射 $h\colon X\times Y\to B$ をとる。$B$ の群演算を使って射 $\theta(x,y):=h(x,y)-h(x,y_0)-h(x_0,y)$ を作ると、$\theta(x,y_0)=-h(x_0,y_0)=0$ なので $\theta$ は $X\times\{y_0\}$ を 1 点に写す。アーベル多様体 の補題「剛性補題」により $\theta=g\circ p_2$ となる射 $g\colon Y\to B$ があり、$g(y)=\theta(x_0,y)=-h(x_0,y_0)=0$ なので $\theta=0$ である。よって $f_1:=h(\,\cdot\,,y_0)$、$f_2:=h(x_0,\,\cdot\,)$ について $h=f_1\circ p_1+f_2\circ p_2$ である。$f_1(x_0)=0$、$f_2(y_0)=0$ なので、準同型 $\psi_1,\psi_2$ で $f_1=\psi_1\circ a_X$、$f_2=\psi_2\circ a_Y$ となるものがあり、$\psi(u,v):=\psi_1(u)+\psi_2(v)$ は（$B$ は可換なので）準同型で $h=\psi\circ(a_X\times a_Y)$ をみたす。
一意性：準同型 $\chi\colon\operatorname{Alb}(X)\times\operatorname{Alb}(Y)\to B$ が $\chi\circ(a_X\times a_Y)=0$ をみたすとする。$a_Y(y_0)=0$ なので $X\times\{y_0\}$ に制限すると $\chi(\,\cdot\,,0)\circ a_X=0$ で、$a_X$ の普遍性の一意性から $\chi(\,\cdot\,,0)=0$ である。同様に $\chi(0,\,\cdot\,)=0$ であり、$\chi(u,v)=\chi(u,0)+\chi(0,v)=0$ となる。$\square$