写像錐(複体)

要点：差分と鎖写像の条件を成分ごとに比べる計算である。

prop-mcc-basic の 1 により $0\to Y\xrightarrow{i_u}\operatorname{Cone}(u)\xrightarrow{p_u}\Sigma X\to0$ は複体の短完全列であり、長完全列 の定理「複体の短完全列の長完全列」（コチェイン複体で書かれているので $C^n:=C_{-n}$ と読み替える）により、接続射 $\partial\colon H_n(\Sigma X)\to H_{n-1}(Y)$ を入れた長完全列がある。$H_n(\Sigma X)=H_{n-1}(X)$ は、差分の符号を変えてもサイクルと境界が変わらないことによる（複体 の命題「シフトのホモロジー」）。残るのは $\partial=H_{n-1}(u)$ である。$\mathcal A$ が加群の圏のとき、サイクル $x\in X_{n-1}$ を $(\Sigma X)_n$ の元とみて $(x,0)\in\operatorname{Cone}(u)_n$ に持ち上げると $d(x,0)=(-dx,\,ux)=(0,ux)=i_u(ux)$ なので、接続射の構成により $\partial[x]=[ux]$ である。一般のアーベル圏では、長完全列の存在も含めて、関係する対象と射を含む小さなアーベル部分圏を Freyd–Mitchellの埋め込み定理 で加群の圏へ完全かつ充満忠実に埋め込めば、錐・ホモロジー・接続射は埋め込みと両立するので、加群の場合に帰着する。$\blacksquare$

要点：長完全列の各位置で、隣の射が同型か零かを読む。

要点：1 は恒等射の符号を変えた三角形の射で、2 は $\Sigma\operatorname{Cone}(u)$ と $\operatorname{Cone}(\Sigma u)$ の成分の符号を変える同型で示す。

要点：ホモトピー同値 $\theta\colon\Sigma X\to\operatorname{Cone}(i_u)$ を書き下し、三角形の射であることを確かめる。

TR1．(a) は完全三角形の定義から従う。(c) は、$K(\mathcal A)$ の射を鎖写像 $u$ で代表させ、その錐三角をとればよい。(b) について、$\operatorname{Cone}(\operatorname{id}_X)_n=X_{n-1}\oplus X_n$、$d(x,y)=(-dx,\,x+dy)$ であり、$s(x,y):=(y,0)$ とおくと $ds(x,y)+sd(x,y)=(-dy,y)+(x+dy,0)=(x,y)$ なので $\operatorname{Cone}(\operatorname{id}_X)$ は可縮、すなわち $K(\mathcal A)$ の零対象である。よって $\operatorname{Cone}(\operatorname{id}_X)$ からの射はすべて零で、$(\operatorname{id},\operatorname{id},\operatorname{Cone}(\operatorname{id}_X)\to0)$ は $\operatorname{id}_X$ の錐三角から $X\xrightarrow{\operatorname{id}}X\to0\to\Sigma X$ への同型である。
TR2．$T=(u,v,w)$ が錐三角 $T_0=(u_0,i_{u_0},p_{u_0})$ と同型 $(a,b,c)$ で結ばれるなら、$(b,c,\Sigma a)$ は回転 $R(T):=(v,w,-\Sigma u)$ から $R(T_0)$ への同型である（第 3 の四角は $bu=u_0a$ に $\Sigma$ を当てたもの）。lem-mcc-rotation により $R(T_0)$ は完全三角形なので、$R(T)$ も完全三角形である。逆に $R(T)$ が完全三角形なら、いま示したことを 2 回使って $R^3(T)=(-\Sigma u,-\Sigma v,-\Sigma w)$ は完全三角形であり、lem-mcc-sign-shift の 1 によりこれと同型な $(\Sigma u,\Sigma v,-\Sigma w)=T^\Sigma$ も完全三角形である。同じ補題の 2 により $T$ は完全三角形である。
TR3．同型で移せば、上下の三角形が錐三角 $(u,i_u,p_u)$、$(u',i_{u'},p_{u'})$ で、$f,g$ が鎖写像で代表され $gu\simeq u'f$ の場合に帰着する（同型 $(a,b,c)$、$(a',b',c')$ で $f,g$ を $a'fa^{-1}$、$b'gb^{-1}$ に取り替え、得られた $h$ を $c'^{-1}hc$ に戻す）。$gu-u'f=dk+kd$ となる $k$ をとれば、prop-mcc-basic の 2 の $h:=C(f,g,k)$ が求める射である。
TR4．まず TR1〜TR3 が示されたので、三角圏 の系「第 3 頂点は同型を除いて一意である」が $K(\mathcal A)$ で使える。$u,v$ を鎖写像で代表させると、与えられた 3 つの完全三角形は、$u$、$v$、合成の鎖写像 $vu$ の錐三角と、最初の 2 項で恒等射となる同型 $h_1\colon Z'\to\operatorname{Cone}(u)$、$h_2\colon X'\to\operatorname{Cone}(v)$、$h_3\colon Y'\to\operatorname{Cone}(vu)$ で結ばれる。錐三角の場合に $f_0,g_0$ が得られれば、$f:=h_3^{-1}f_0h_1$、$g:=h_2^{-1}g_0h_3$ が求めるものである。実際、たとえば $fj=h_3^{-1}f_0i_u=h_3^{-1}i_{vu}v=mv$ であり、残りの 3 つの等式も同様に移り、$(h_1,h_3,h_2)$ は $(f,g,(\Sigma j)\partial')$ から $(f_0,g_0,(\Sigma i_u)p_v)$ への三角形の同型になる（第 3 の四角は $\Sigma h_1\circ\Sigma j\circ\partial'=\Sigma i_u\circ p_v\circ h_2$）。
錐三角の場合、$\operatorname{Cone}(u)_n=X_{n-1}\oplus Y_n$、$\operatorname{Cone}(vu)_n=X_{n-1}\oplus Z_n$、$\operatorname{Cone}(v)_n=Y_{n-1}\oplus Z_n$ であり、
$$ f_0(x,y):=(x,\,vy),\qquad g_0(x,z):=(ux,\,z) $$
とおく。これらは鎖写像で（$f_0=C(\operatorname{id}_X,v,0)$、$g_0=C(u,\operatorname{id}_Z,0)$）、4 つの等式 $f_0i_u=i_{vu}v$、$p_{vu}f_0=p_u$、$g_0i_{vu}=i_v$、$p_vg_0=(\Sigma u)p_{vu}$ は文字どおり成り立つ。残るのは、$\operatorname{Cone}(u)\xrightarrow{f_0}\operatorname{Cone}(vu)\xrightarrow{g_0}\operatorname{Cone}(v)\xrightarrow{(\Sigma i_u)p_v}\Sigma\operatorname{Cone}(u)$ が完全三角形であることで、これを $f_0$ の錐三角と比べる。$\operatorname{Cone}(f_0)_n=X_{n-2}\oplus Y_{n-1}\oplus X_{n-1}\oplus Z_n$ の元を $(x',y,x,z)$ と書き、
$$ \gamma\colon\operatorname{Cone}(v)\to\operatorname{Cone}(f_0),\quad\gamma(y,z):=(0,y,0,z),\qquad\varphi\colon\operatorname{Cone}(f_0)\to\operatorname{Cone}(v),\quad\varphi(x',y,x,z):=(y+ux,\,z) $$
とおく。下の計算により $\gamma,\varphi$ は鎖写像で、$\varphi\gamma=\operatorname{id}$、$\gamma\varphi\simeq\operatorname{id}$ であり、さらに $\varphi\circ i_{f_0}=g_0$、$p_{f_0}\circ\gamma=(\Sigma i_u)p_v$ が成り立つ。よって $K(\mathcal A)$ で $\gamma g_0=\gamma\varphi i_{f_0}=i_{f_0}$ となり、$(\operatorname{id},\operatorname{id},\gamma)$ は上の三角形から $f_0$ の錐三角への同型である。

$u$ が $K(\mathcal A)$ の同型なら、TR3 を $X\xrightarrow{\operatorname{id}}X\to0\to\Sigma X$ と $u$ の錐三角、$f=\operatorname{id}_X$、$g=u$ に当てて三角形の射 $(\operatorname{id},u,h)$ を得る。三角圏 の命題「三角形の射についての五項補題」により $h\colon0\to\operatorname{Cone}(u)$ は同型である。逆に $\operatorname{Cone}(u)\cong0$ なら、三角圏 の命題「$\operatorname{Hom}$ のコホモロジー的関手性」の完全列で $\operatorname{Hom}(W,\Sigma^{-1}\operatorname{Cone}(u))=0=\operatorname{Hom}(W,\operatorname{Cone}(u))$ なので、$u_*\colon\operatorname{Hom}(W,X)\to\operatorname{Hom}(W,Y)$ はすべての $W$ で全単射である。$W=Y$ から $us=\operatorname{id}_Y$ となる $s$ があり、$u(su)=u$ と $W=X$ での単射性から $su=\operatorname{id}_X$ である。$\blacksquare$