Hom対象
概要
Hom対象（hom-object）とは、豊穣圏において二対象の間の射を、集合ではなく基礎圏の対象として集めたものである。射の加法や高次の構造を保持し、単位対象からの射を取ることで台圏のHom集合を回収する。内部Hom対象は、テンソル積との随伴によって特徴付けられる特別な構成である。
定義
$\mathcal V$ を局所小なモノイダル圏とし、テンソル積を $\otimes$、単位対象を $I$ と書く。結合・単位の自然同型は、標準の整合条件を満たすものとし、式では省略する。
$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal A$ では、二対象 $x,y$ の間の射を集めるものは、集合とは限らず、$\mathcal V$ の対象
$$\mathcal A(x,y)$$
である。これを Hom対象（hom-object）という。豊穣圏は、対象の集まりと各Hom対象、合成と単位
$$
m:\mathcal A(y,z)\otimes\mathcal A(x,y)\longrightarrow\mathcal A(x,z),
\qquad j_x:I\longrightarrow\mathcal A(x,x)
$$
を備え、合成の結合律と左右の単位律を満たす。
通常の射 $f:x\to y$ は、基礎圏の射 $f:I\to\mathcal A(x,y)$ として取り出す。したがって台となる通常の圏 $\mathcal A_0$ の射集合は
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal A_0}(x,y)
=\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,\mathcal A(x,y))
$$
である。右辺の集合と、$\mathcal V$ の対象 $\mathcal A(x,y)$ を区別する。Kel82 §§1.1–1.3。
直感と例
Hom対象は「射の集まりが持っている構造」を残す装置である。射同士の加法や、射の間を動くホモトピーを、射集合への忘却で捨てずに扱える。
$\mathcal V=\mathbf{Set}$、$\otimes=\times$、$I=\{*\}$ とすると、Hom対象は通常のHom集合である。一点集合から集合への写像はその元なので、$\mathcal A_0$ への移行で情報は失われず、豊穣圏の公理は通常の圏の公理になる。
可換環 $R$ 上の加群 $M,N$ に対して、$R$-線形写像全体 $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ は点ごとの加法とスカラー倍で $R$-加群になる。合成は $R$-双線形なので
$$
\operatorname{Hom}_R(N,P)\otimes_R\operatorname{Hom}_R(M,N)
\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(M,P)
$$
を与える。これは $R$-加群の圏のHom対象であり、台圏の射は $R\to\operatorname{Hom}_R(M,N)$ の $1$ における値から回収できる。
$\mathbf{Cat}$ で、二対象だけを持つ離散圏 $D$ から、非恒等射 $0\to1$ を持つ圏 $[1]$ への恒等対象対応を考える。この関手は
$$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Cat}}(1,D)\longrightarrow
\operatorname{Hom}_{\mathbf{Cat}}(1,[1])$$
に全単射を与えるが、圏の同型ではない。$D$ には非恒等射が存在しないためである。Hom対象間の射を $I$ からの元で検査しただけでは、豊穣構造の回復を証明したことにならない。
台圏と内部Hom
上の射集合と単位は、同じ対象を持つ通常の圏 $\mathcal A_0$ を定める。
この構成が実際に圏の公理を満たすことの証明は、豊穣圏の記事の命題（台の圏）を参照。
$\mathcal V$ が閉であるとは、随伴関手の言葉で、各 $U$ に対して $-\otimes U$ が右随伴 $[U,-]$ を持つことである。対象 $[U,V]$ を 内部Hom対象（internal hom object）といい、任意の $T$ に自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[U,V])
\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes U,V)
$$
によって特徴付ける。$T=[U,V]$ の恒等射に対応する射を評価
$\mathrm{ev}:[U,V]\otimes U\to V$ という。
一般の豊穣圏のHom対象 $\mathcal A(x,y)$ と、基礎圏自身の内部Hom $[U,V]$ は異なる役割を持つ。閉構造があると $\mathcal V$ 自身を内部Homで豊穣化できるが、任意のHom対象が、あらかじめ指定された二つの基礎圏の対象の内部Homであるとは限らない。Kel82 §§1.5–1.6。
同じ $U,V$ について、評価を備えた二対象 $H,H'$ が上の普遍性を満たすなら、評価と可換する一意の同型 $H\cong H'$ が存在する。
$H$ の評価 $H\otimes U\to V$ を $H'$ の普遍性へ入れると、一意の $a:H\to H'$ を得る。逆に $H'$ の評価を用いて $b:H'\to H$ を得る。合成 $ba$ と $1_H$ は同じ評価 $H\otimes U\to V$ を誘導するので、パラメータ $T=H$ における一意性から $ba=1_H$。同様に $ab=1_{H'}$ である。任意の $T$ の普遍性を備えていることが、$T=H,H'$ を代入する根拠になる。
$\mathbf{Set}$ では $[U,V]=V^U$、$R$-加群では $[M,N]=\operatorname{Hom}_R(M,N)$ である。単位を代入した
$\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,[U,V])\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(U,V)$
は便利だが、内部Homを定める全パラメータの普遍性の一部分にすぎない。
∞圏への接続
$\mathcal V=\mathrm{sSet}$ の場合の豊穣圏を単体的圏という。単体的圏 $\mathcal C$ の各Hom対象がKan複体であるとき、$\mathcal C$ を局所Kanという。この条件の下でホモトピー整合的神経 $N_{\mathrm{hc}}(\mathcal C)$ は準圏となり、Hom対象は対応する写像空間(∞圏)と弱ホモトピー同値になる。ここで準圏とは、すべての内角 $\Lambda_i^n\subset\Delta^n$（$0< i< n$）を埋められる単体的集合である。HTT09 Proposition 1.1.5.10、§2.2。
一般の単体的豊穣圏では必要なfibrant置換を行い、モデル圏から導来写像空間を取る場合はcofibrant・fibrant置換などを含む比較を行う。各Homを無関係に置換するだけでは、合成の整合性が失われ得る。ここで述べたモデル比較の一般定理は引用にとどめ、すべての豊穣圏を無条件に∞圏と同一視しない。
関連項目
参考文献
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