Sawayamaの補題

同義語：Sawayama's lemma

概要

前提知識: 混線内接円, Ptolemyの定理, 三角形の内心と傍心, 方べきの定理（高校数学）, 2円の位置関係と共通接線

高校での出発点：辺の上の点から引いた線分と外接円に接する円

混線内接円では、三角形の 2 辺 $AB$、$AC$ に接し、外接円に内側から接する円を考えた。その円と 2 辺の接点を結ぶ線分の中点は、内心だった。
今度は頂点 $A$ から辺 $BC$ の上の点 $D$ へ線分 $AD$ を引き、2 本の線分 $DA$、$DB$ と外接円に接する円を考える。線分 $AD$ は三角形を 2 つに分けるので、2 辺のなす角 $\angle A$ の代わりに、$D$ での角 $\angle ADB$ に円がはさまる。この円と 2 本の線分の接点を結ぶ直線は、どこを通るだろうか。

直角三角形と垂線の足で円を求める

$B(0,0)$、$C(5,0)$、$A\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$ とする。$AB=\sqrt{\dfrac{81}{25}+\dfrac{144}{25}}=3$、$AC=\sqrt{\dfrac{256}{25}+\dfrac{144}{25}}=4$、$BC=5$ で、$\angle A=90^\circ$ の直角三角形である。$D$ は $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足 $D\left(\dfrac95,0\right)$ とする。
(1) 外接円と内心。$\angle A=90^\circ$ なので、外接円は $BC$ を直径とする円で、中心 $O\left(\dfrac52,0\right)$、半径 $R=\dfrac52$ である。内心は、重み $a=BC=5$、$b=CA=4$、$c=AB=3$ の重み付きの平均（三角形の内心と傍心）
$$ I=\frac{5A+4B+3C}{12}=\frac{(9,12)+(0,0)+(15,0)}{12}=(2,1) $$
である。
(2) 円を求める。線分 $DA$ は直線 $x=\dfrac95$ の一部、線分 $DB$ は $x$ 軸の一部で、$\angle ADB=90^\circ$ である。この角の内側で 2 本に接する円は、中心 $\left(\dfrac95-t,\ t\right)$、半径 $t$ の円である（$t>0$）。外接円に内側から接する条件は、中心どうしの距離が半径の差に等しいこと
$$ \sqrt{\left(\frac95-t-\frac52\right)^2+t^2}=\frac52-t $$
である（2円の位置関係と共通接線）。左辺の中は $\left(t+\dfrac7{10}\right)^2+t^2$ なので、両辺を 2 乗して
$$ t^2+\frac75t+\frac{49}{100}+t^2=\frac{25}4-5t+t^2 $$
で、整理すると $t^2+\dfrac{32}5t-\dfrac{144}{25}=0$、つまり $25t^2+160t-144=0$ である。解の公式から
$$ t=\frac{-160\pm\sqrt{160^2+4\cdot25\cdot144}}{50}=\frac{-160\pm200}{50} $$
で、$t>0$ なので $t=\dfrac45$ である。
(3) 接点。円の中心は $P\left(1,\dfrac45\right)$、半径は $\rho=\dfrac45$ である。線分 $DA$ との接点は $E\left(\dfrac95,\dfrac45\right)$、線分 $DB$ との接点は $F(1,0)$ である。
(4) 直線 $EF$。傾きは $\dfrac{\frac45-0}{\frac95-1}=1$ なので、直線 $EF$ は $y=x-1$ である。内心 $I(2,1)$ を代入すると $1=2-1$ で成り立つ。直線 $EF$ は内心を通る。ただし $I$ は線分 $EF$ の上ではなく、$F$ から見て $E$ の先にある。

ex-saw-start の円は、辺 $BC$ に接していないので混線内接円ではない。それでも、接点を結ぶ直線は内心を通った。この記事で答える問いは次の 3 つである。

接点を結ぶ直線は、いつも内心を通るか。→ thm-saw-main
接点の位置 $DF$ を、三角形の辺の長さで書けるか。→ thm-saw-main の (1)

混線内接円の定理とどうつながるか。→ rem-saw-mix

高校の計算	この記事での使い方	ボックス
2 円が内側から接する：中心の距離 $=$ 半径の差	外接円の点から引いた接線の長さ	lem-saw-tangent
方べきの定理	同上	lem-saw-tangent
Ptolemy の定理	接点の位置 $DF$ を辺の長さで書く	thm-saw-main
内心の位置ベクトル $\dfrac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{a+b+c}$	内心が直線 $EF$ の上にある	thm-saw-main

直角三角形 ABC と垂線の足 D。線分 DA、DB と外接円に接する円の接点 E、F を結ぶ直線は、内心 I を通る

言葉の準備

以下、三角形 $ABC$ の辺の長さを $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$ とし、外接円を $\Gamma$、その中心を $O$、半径を $R$、内心を $I$ とする。

線分 $DA$、$DB$ と外接円に接する円

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の上に、$B$ と異なる点 $D$ をとる。線分 $DA$、$DB$ に接し、外接円 $\Gamma$ に内側から接する円を $\omega$ とし、中心を $P$、半径を $\rho$ とする。$\omega$ と線分 $DA$、$DB$ の接点を $E$、$F$、$\omega$ と $\Gamma$ の接点を $T$ とする。

「線分 $DA$ に接する」とは、直線 $DA$ に接し、接点が線分 $DA$ の上にあることをいう。「内側から接する」とは、$OP=R-\rho$（$\rho< R$）となることで、$\omega$ は $T$ 以外では $\Gamma$ の内部にある（2円の位置関係と共通接線の定理「2 円の位置関係」の 4）。
$D=C$ のときは、線分 $DA$、$DB$ は辺 $CA$、$CB$ で、$\omega$ は頂点 $C$ の混線内接円である（混線内接円）。
このような円 $\omega$ が、どの $D$ についてもただ 1 つあることは、主定理の後の prop-saw-exist で示す。$\omega$ は $\angle ADB$ の 2 辺に接するので、中心 $P$ は $\angle ADB$ の二等分線の上にあり、$DE=DF$ である（混線内接円の補題「中心は角の二等分線の上」と同じ理由。円の外の点 $D$ から引いた 2 本の接線の長さは等しい）。

道具：外接円の点から引いた接線の長さ

証明の鍵は、外接円 $\Gamma$ の上の点から $\omega$ に引いた接線の長さが、その点と接点 $T$ の距離に比例することである。

外接円の点からの接線の長さ

円 $\omega$（中心 $P$、半径 $\rho$）が円 $\Gamma$（中心 $O$、半径 $R$）に点 $T$ で内側から接しているとする。$\Gamma$ の上の $T$ 以外の点 $X$ について、$X$ での $\omega$ の方べきは
$$ PX^2-\rho^2=\left(1-\frac\rho R\right)XT^2 $$
である。とくに、$X$ を通る直線が $\omega$ に点 $Z$ で接するとき、$XZ=\sqrt{1-\dfrac\rho R}\;XT$ である。

$T$ を中心とする相似拡大をベクトルで書く

方針：$T$ を中心として $\Gamma$ を $\dfrac\rho R$ 倍に縮めると $\omega$ に重なる。$X$ が移る点 $Y$ は $\omega$ の上にあり、直線 $XT$ の上にある。そこで方べきの定理を使う。
段 1（接点と中心）。2 円は $T$ で内側から接しているので、$T$ は直線 $OP$ の上にあり（2円の位置関係と共通接線の系「接する 2 円の接点」）、$OT=R$、$PT=\rho$、$P$ は線分 $OT$ の上にある。よって
$$ \overrightarrow{TP}=\frac\rho R\,\overrightarrow{TO} $$
である。
段 2（$Y$ は $\omega$ の上）。$\overrightarrow{TY}=\dfrac\rho R\,\overrightarrow{TX}$ となる点 $Y$ をとる。段 1 と合わせて
$$ \overrightarrow{PY}=\overrightarrow{TY}-\overrightarrow{TP}=\frac\rho R\left(\overrightarrow{TX}-\overrightarrow{TO}\right)=\frac\rho R\,\overrightarrow{OX} $$
で、$OX=R$ なので $PY=\rho$ である。つまり $Y$ は $\omega$ の上にある。$X\ne T$ なので $Y\ne T$ で、直線 $XT$ は $\omega$ と 2 点 $T$、$Y$ で交わる。
段 3（方べき）。方べきの定理（高校数学）の定理「方べきの定理（符号つきの形）」により、$X$ での $\omega$ の方べきは $\overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{XT}$ に等しい。
$$ \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XT}+\overrightarrow{TY}=\overrightarrow{XT}-\frac\rho R\,\overrightarrow{XT}=\left(1-\frac\rho R\right)\overrightarrow{XT} $$
なので、
$$ PX^2-\rho^2=\overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{XT}=\left(1-\frac\rho R\right)XT^2 $$
である。
段 4（接線の長さ）。$X$ を通る直線が $\omega$ に $Z$ で接するとき、$PZ\perp XZ$ なので、三平方の定理から $XZ^2=PX^2-\rho^2$ である。段 3 と合わせて $XZ^2=\left(1-\dfrac\rho R\right)XT^2$ で、両辺の正の平方根をとればよい。$\square$

内側から接する 2 円。接点 T を中心に外側の円を縮めると内側の円に重なり、外側の円の点 X は直線 XT の上の点 Y に移る。X から内側の円に引いた接線の長さは XT に比例する

接線の長さの比を確かめる

ex-saw-start の円で確かめる。$\rho=\dfrac45$、$R=\dfrac52$ なので $1-\dfrac\rho R=1-\dfrac8{25}=\dfrac{17}{25}$ である。
(1) 接点 $T$。$\overrightarrow{OP}=\left(1-\dfrac52,\dfrac45\right)=\left(-\dfrac32,\dfrac45\right)$ で、$OP=\sqrt{\dfrac94+\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{289}{100}}=\dfrac{17}{10}$ である（$R-\rho=\dfrac52-\dfrac45=\dfrac{17}{10}$ と一致する）。$T$ は $O$ から $\overrightarrow{OP}$ の向きに $R$ 進んだ点で
$$ T=O+\frac{R}{OP}\overrightarrow{OP}=\left(\frac52,0\right)+\frac{25}{17}\left(-\frac32,\frac45\right)=\left(\frac5{17},\frac{20}{17}\right) $$
である。
(2) $X=A$。$\overrightarrow{TA}=\left(\dfrac95-\dfrac5{17},\dfrac{12}5-\dfrac{20}{17}\right)=\dfrac1{85}(128,104)$ なので
$$ AT^2=\frac{128^2+104^2}{85^2}=\frac{16384+10816}{7225}=\frac{27200}{7225}=\frac{64}{17} $$
である。$A$ から $\omega$ への接線は直線 $DA$ で、接点は $E$ なので、接線の長さは $AE=\dfrac{12}5-\dfrac45=\dfrac85$ である。lem-saw-tangent の式では
$$ AE^2=\frac{17}{25}\cdot\frac{64}{17}=\frac{64}{25},\qquad AE=\frac85 $$
で一致する。

道具：接点と $T$ の位置

主定理の証明では、接点 $E$、$F$、$T$ がどこにあるかを使う。図 1 で見たことを補題にしておく。

接点の位置

def-saw-circle の円 $\omega$ について、次が成り立つ。
(1) $E$ は線分 $DA$ の上の $A$ 以外の点、$F$ は線分 $DB$ の上の $B$ 以外の点である。
(2) $T$ は、$\Gamma$ の $C$ を含まない弧 $AB$ の上の、$A$、$B$ 以外の点である。したがって、$\Gamma$ の上に $A$、$T$、$B$、$C$ がこの順に並ぶ。

円のある場所から決める

要点：$\omega$ は $\Gamma$ の周と内部にあり、$\angle ADB$ の内側にある。直線 $DA$ のうち $\Gamma$ の周と内部にある部分は線分であり、$T$ は「$\angle ADB$ の内側にある $\Gamma$ の弧」、つまり $C$ を含まない弧 $AB$ の上にある。接点が $A$ や $B$ に重なると、直線 $DA$ や $BC$ が $\Gamma$ に接することになり、矛盾する。

詳しい証明を開く

段 1（$\omega$ のある場所）。$\omega$ の点 $X$ はどれも $OX\le OP+PX=(R-\rho)+\rho=R$ を満たすので、$\omega$ は $\Gamma$ の周と内部にある。また $\omega$ は直線 $DA$、$DB$ に接し、中心 $P$ は $\angle ADB$ の二等分線の上にあるので、$\omega$ は直線 $BC$ について $A$ と同じ側（直線の上を含む）、直線 $AD$ について $B$ と同じ側（直線の上を含む）にある。

段 2（$E$ と $F$）。$E$ は $P$ から直線 $DA$ に下ろした垂線の足で、$\angle PDE=\dfrac12\angle ADB<90^\circ$ なので半直線 $DA$ の上にある。$D$ は $\Gamma$ の周か内部にあり、半直線 $DA$ のうち $\Gamma$ の周と内部にある部分は線分 $DA$ である。段 1 より $E$ は $\Gamma$ の周か内部にあるので、$E$ は線分 $DA$ の上にある。もし $E=A$ なら、$A$ は $\omega$ と $\Gamma$ の共有点なので $A=T$ で、直線 $DA$ は $T$ での $\omega$ の接線、つまり $T$ での $\Gamma$ の接線になる（2円の位置関係と共通接線の系「接する 2 円の接点」）。ところが直線 $DA$ は $\Gamma$ と $A$ 以外の点でも交わる（$D$ が $\Gamma$ の内部にあればその先で、$D=C$ なら $C$ で）ので、接線ではない。よって $E\ne A$ である。$F$ についても同じで、$F$ は線分 $DB$ の上の $B$ 以外の点である。

段 3（$T\ne A,B,C$）。$T=A$ なら、$A$ は $\omega$ の上にあり、直線 $DA$ は $\omega$ に接するので、$A$ は接点 $E$ に等しく、段 2 に反する。$T=B$ も同じく $B=F$ となり段 2 に反する。$T=C$ なら、直線 $BC$ は $F$ で $\omega$ に接するので $C=F$ となるが、$F$ は線分 $DB$ の上にあるので $D=C=F$ となり、角の頂点 $D$ が円の上にあることになる（$DP$ は直角三角形 $DEP$ の斜辺で $DP>\rho$ なので、$D$ は $\omega$ の外部にある）。これは矛盾である。

段 4（$T$ の弧）。段 1 より $T$ は直線 $BC$ について $A$ と同じ側にあるので、$A$ を含む弧 $BC$ の上にある。この弧は、$A$ で「$C$ を含まない弧 $AB$」と「$B$ を含まない弧 $AC$」に分かれる。$D\ne C$ のとき、$B$ と $C$ は直線 $AD$ について反対側にあり、弧 $AC$ の $A$ 以外の点は直線 $AD$ について $C$ と同じ側にある（弧 $AC$ は直線 $AD$ と $A$ でしか交わらない）。段 1 より $T$ は直線 $AD$ について $B$ と同じ側（直線の上を含む）にあり、段 3 より $T\ne A,C$ なので、$T$ は弧 $AC$ の上にない。$D=C$ のときは直線 $AD$ は直線 $AC$ で、弧 $AC$ の $A$、$C$ 以外の点は直線 $AC$ について $B$ と反対側にあるので、同じく $T$ は弧 $AC$ の上にない。よって $T$ は $C$ を含まない弧 $AB$ の上の、$A$、$B$ 以外の点である。$\square$

主定理：接点を結ぶ直線は内心を通る

Sawayama の補題

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の上の点 $D$（$D\ne B$）について、線分 $DA$、$DB$ に接し外接円に内側から接する円 $\omega$ と、線分 $DA$、$DB$ の接点を $E$、$F$ とする。
(1) $DE=DF=\dfrac{a\cdot AD+b\cdot DB-c\cdot DC}{a+b+c}$ である。
(2) 直線 $EF$ は内心 $I$ を通る。

証明を読む前に、ex-saw-start の数で (1) を確かめる。$a=5$、$b=4$、$c=3$、$AD=\dfrac{12}5$、$DB=\dfrac95$、$DC=\dfrac{16}5$ なので
$$ \frac{5\cdot\frac{12}5+4\cdot\frac95-3\cdot\frac{16}5}{12}=\frac{12+\frac{36}5-\frac{48}5}{12}=\frac{\frac{48}5}{12}=\frac45 $$
で、ex-saw-start の $DF=\dfrac95-1=\dfrac45$ と一致する。

接線の長さと Ptolemy の定理

方針：lem-saw-tangent で $A$、$B$、$C$ から $\omega$ への接線の長さを $AT$、$BT$、$CT$ で書き、Ptolemyの定理を 4 点 $A$、$T$、$B$、$C$ に使って (1) を出す。次に内心の位置ベクトルを $D$ から見た 2 つの向きで書き、(1) を使って (2) を示す。$t=DE=DF$、$k=\sqrt{1-\dfrac\rho R}$ とおく（$\rho< R$ なので $k>0$）。
段 1（3 本の接線の長さ）。直線 $DA$ は $\omega$ に $E$ で接し、$A$ はその上にあるので、$A$ から $\omega$ への接線の長さは $AE$ である。lem-saw-tangent を $X=A$ に使うと（lem-saw-position の (2) より $A\ne T$）、$AE=k\cdot AT$ である。同じく、直線 $BC$ は $\omega$ に $F$ で接し、$B$、$C$ はその上にあるので、$BF=k\cdot BT$、$CF=k\cdot CT$ である。
段 2（Ptolemy の定理）。lem-saw-position の (2) より、$\Gamma$ の上に $A$、$T$、$B$、$C$ がこの順に並ぶ。四角形 $ATBC$ は $\Gamma$ に内接するので、Ptolemyの定理により、対角線の積は向かい合う辺の積の和に等しく
$$ AB\cdot TC=AT\cdot BC+TB\cdot CA $$
である。両辺に $k$ を掛けて段 1 を使うと、$AB=c$、$BC=a$、$CA=b$ から
$$ c\cdot CF=a\cdot AE+b\cdot BF $$
となる。
段 3（長さを $t$ で書く）。lem-saw-position の (1) より、$E$ は線分 $DA$ の上にあるので $AE=AD-t$、$F$ は線分 $DB$ の上にあるので $BF=DB-t$ である。$C$ は $D$ から見て $F$ と反対の向きにある（または $D=C$）ので $CF=DC+t$ である。段 2 の式に入れると
$$ c\,(DC+t)=a\,(AD-t)+b\,(DB-t) $$
で、$t$ について整理すると $(a+b+c)\,t=a\cdot AD+b\cdot DB-c\cdot DC$ となり、(1) が成り立つ。
段 4（内心を $D$ から見る）。$\vec u=\dfrac{\overrightarrow{DA}}{AD}$、$\vec v=\dfrac{\overrightarrow{DB}}{DB}$ を、$D$ から $A$、$B$ に向かう長さ $1$ のベクトルとする。$E$ は線分 $DA$ の上で $DE=t$、$F$ は線分 $DB$ の上で $DF=t$ なので
$$ \overrightarrow{DE}=t\,\vec u,\qquad \overrightarrow{DF}=t\,\vec v $$
である。内心は $\overrightarrow{DI}=\dfrac{a\,\overrightarrow{DA}+b\,\overrightarrow{DB}+c\,\overrightarrow{DC}}{a+b+c}$ と書ける（三角形の内心と傍心。位置ベクトルの始点を $D$ にとった）。$C$ は $D$ から見て $B$ と反対の向きにあるので $\overrightarrow{DC}=-DC\,\vec v$（$D=C$ なら両辺とも $\vec 0$）である。よって
$$ \overrightarrow{DI}=\underbrace{\frac{a\cdot AD}{a+b+c}}_{x}\,\vec u+\underbrace{\frac{b\cdot DB-c\cdot DC}{a+b+c}}_{y}\,\vec v $$
である。
段 5（直線 $EF$ の上にある）。直線 $EF$ の点は $\overrightarrow{DE}+s\left(\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DE}\right)=(1-s)\,t\,\vec u+s\,t\,\vec v$（$s$ は実数）と書ける。$\vec u$ と $\vec v$ の係数の和はいつも $t$ である。逆に、係数の和が $t$ の点 $x\vec u+y\vec v$（$x+y=t$）は、$s=\dfrac yt$ とおけば直線 $EF$ の点である。段 4 の $x$、$y$ について、(1) から
$$ x+y=\frac{a\cdot AD+b\cdot DB-c\cdot DC}{a+b+c}=t $$
なので、$I$ は直線 $EF$ の上にある。$\square$

prf-saw-main の段 4 の $y$ の符号で、$I$ が線分 $EF$ の上にあるかどうかが分かる。$y\ge0$ なら $I$ は線分 $EF$ の上（$x>0$ はいつも成り立つ）、$y<0$ なら $I$ は $F$ から見て $E$ の先にある。ex-saw-start では $y=\dfrac{4\cdot\frac95-3\cdot\frac{16}5}{12}=-\dfrac15<0$ で、$I$ は $E$ の先にあった。

3 辺 13, 14, 15 の三角形と垂線の足

$A(5,12)$、$B(0,0)$、$C(14,0)$ で、$a=14$、$b=15$、$c=13$、内心は $I(6,4)$、外接円は中心 $O\left(7,\dfrac{33}8\right)$、半径 $R=\dfrac{65}8$ である。$D$ を垂線の足 $(5,0)$ にとると、$AD=12$、$DB=5$、$DC=9$ である。
(1) 公式から
$$ DF=\frac{14\cdot12+15\cdot5-13\cdot9}{42}=\frac{168+75-117}{42}=\frac{126}{42}=3 $$
である。$\angle ADB=90^\circ$ なので、$E=(5,3)$、$F=(2,0)$、中心 $P=(2,3)$、半径 $\rho=3$ である。
(2) 本当に外接円に内側から接しているかを確かめる。$\overrightarrow{OP}=\left(-5,3-\dfrac{33}8\right)=\left(-5,-\dfrac98\right)$ で
$$ OP^2=25+\frac{81}{64}=\frac{1681}{64},\qquad OP=\frac{41}8=\frac{65}8-3=R-\rho $$
である。
(3) 直線 $EF$ は傾き $\dfrac{3-0}{5-2}=1$ で $y=x-2$ である。$I(6,4)$ を代入すると $4=6-2$ で成り立つ。

$\angle ADB$ が直角でない配置や、$\angle B$ が鈍角の配置でも、thm-saw-main はそのまま成り立つ。証明は角の大きさや点の並び方で場合を分けていないからである（使った配置の事実は lem-saw-position の 2 つだけ）。次の例で、$B(0,0)$、$C(5,0)$ を共通にした 3 つの三角形を数値で確かめる。

3 つの配置で数値を確かめる

下の表の「円から求めた $DF$」は、$\angle ADB$ の二等分線の上に中心をとり、外接円に内側から接する条件を数値的に解いて求めた値である。「公式の $DF$」は thm-saw-main の (1) の値である。どの配置でも 2 つは一致し、$E$、$F$、$I$ は一直線上にある（$\overrightarrow{EF}$ と $\overrightarrow{EI}$ の成分で作る $x_1y_2-x_2y_1$ が $10^{-13}$ 以下）。

3 つの配置の表を開く

$A$	$D$	$\angle B$	$\angle ADB$	公式の $DF$	円から求めた $DF$	内心 $I$
$(1,3)$	$(2,0)$	$71.57^\circ$	$71.57^\circ$	$1.240253$	$1.240253$	$(1.5811,1.1396)$
$(3.5,2)$	$(1.5,0)$	$29.74^\circ$	$135^\circ$	$0.328084$	$0.328084$	$(3.2656,0.8672)$
$(-1,1.5)$	$(3,0)$	$123.69^\circ$	$20.56^\circ$	$2.795659$	$2.795659$	$(0.3091,0.5775)$

1 行目では $b=5$、$c=\sqrt{10}$、$AD=\sqrt{10}$、$DB=2$、$DC=3$ で、公式は $\dfrac{5\sqrt{10}+10-3\sqrt{10}}{5+5+\sqrt{10}}=\dfrac{10+2\sqrt{10}}{10+\sqrt{10}}$ である。分母と分子に $10-\sqrt{10}$ を掛けると $\dfrac{80+10\sqrt{10}}{90}=\dfrac{8+\sqrt{10}}9\approx1.240253$ となる。3 行目は $\angle B$ が鈍角の三角形で、$y=\dfrac{b\cdot DB-c\cdot DC}{a+b+c}>0$ なので $I$ は線分 $EF$ の上にある。2 行目は $y<0$ で、$I$ は $E$ の先にある。

A(1,3)、B(0,0)、C(5,0)、D(2,0) の場合。線分 DA、DB と外接円に接する円の接点 E、F を結ぶ直線が内心 I を通る

角 B が鈍角の三角形 A(-1,1.5)、B(0,0)、C(5,0) と D(3,0) の場合。円は小さく細長い角にはさまるが、直線 EF はやはり内心 I を通る

図 3 は ex-saw-configs の表の 1 行目、図 4 は 3 行目の配置である。

混線内接円に戻る

$D=C$ のとき、$\omega$ は頂点 $C$ の混線内接円である（混線内接円）。thm-saw-main の (1) は $AD=CA=b$、$DB=CB=a$、$DC=0$ から
$$ DE=DF=\frac{ab+ba}{a+b+c}=\frac{2ab}{a+b+c} $$
となり、prf-saw-main の段 4 の係数は $x=y=\dfrac{ab}{a+b+c}$ で等しい。係数が等しいので、$I$ は線分 $EF$ の中点である。これは混線内接円の定理「接点の弦の中点」（接点を結ぶ線分の中点は内心）を頂点 $C$ で述べたものである。
長さも合っている。混線内接円の記事の式では、頂点 $C$ から接点までの長さは $\dfrac{r}{\sin\frac C2\cos\frac C2}=\dfrac{2r}{\sin C}$ である。面積を $S$ とすると $r=\dfrac{2S}{a+b+c}$、$\sin C=\dfrac{2S}{ab}$ なので、$\dfrac{2r}{\sin C}=\dfrac{4S}{a+b+c}\cdot\dfrac{ab}{2S}=\dfrac{2ab}{a+b+c}$ で一致する。

最後に、def-saw-circle の円がいつもただ 1 つあることを示しておく。

円はただ 1 つある

辺 $BC$ の上のどの点 $D$（$D\ne B$）についても、def-saw-circle の円 $\omega$ はただ 1 つある。

中間値の定理で円を大きくしていく

要点：一意性は thm-saw-main の (1) から出る（$DF$ が決まれば中心と半径が決まる）。存在は、$\angle ADB$ の二等分線の上で中心を $D$ から遠ざけながら円を大きくし、「外接円からはみ出す量」が負から正に変わる所を中間値の定理（高校数学）で見つける。

詳しい証明を開く

段 1（一意性）。$\omega$ があれば、中心 $P$ は $\angle ADB$ の二等分線の上にあり、$DF$ は thm-saw-main の (1) の値に決まる。$\theta=\angle ADB$ とすると、$DP=\dfrac{DF}{\cos\frac\theta2}$、$\rho=DF\tan\dfrac\theta2$ なので、中心と半径もただ 1 通りに決まる。

段 2（存在、$D\ne C$ のとき）。$\angle ADB$ の二等分線の向きの長さ $1$ のベクトルを $\vec w$ とし、$s\ge0$ に対して $P_s=D+s\vec w$、$\rho_s=s\sin\dfrac\theta2$ とおく。中心 $P_s$、半径 $\rho_s$ の円は直線 $DA$、$DB$ に接する（$P_s$ から 2 直線までの距離はどちらも $s\sin\dfrac\theta2$）。$g(s)=OP_s+\rho_s-R$ は $s$ の連続関数である。$D$ は弦 $BC$ の端点でない点なので $\Gamma$ の内部にあり、$g(0)=OD-R<0$ である。また三角形の不等式から $OP_s\ge DP_s-OD=s-OD$ なので、$g(s)\ge s-OD+s\sin\dfrac\theta2-R$ で、$s$ を大きくすると $g(s)>0$ になる。中間値の定理から $g(s_0)=0$ となる $s_0>0$ がある。このとき $OP_{s_0}=R-\rho_{s_0}\ge0$ である。$\rho_{s_0}=R$ なら $P_{s_0}=O$ で円は $\Gamma$ そのものになるが、$\Gamma$ は直線 $BC$ と 2 点で交わるので直線 $BC$ に接しない。よって $\rho_{s_0}< R$ で、この円は $\Gamma$ に内側から接する。接点が線分 $DA$、$DB$ の上にあることは、prf-saw-position の段 2 と同じ議論で分かる（そこでは円が $\Gamma$ の周と内部にあることと、中心が二等分線の上にあることしか使っていない）。

段 3（$D=C$ のとき）。$\omega$ は頂点 $C$ の混線内接円で、混線内接円の定理「混線内接円の半径」により、ただ 1 つある。$\square$

例と反例

thm-saw-main の条件を外すと、次のように崩れる。どちらも ex-saw-start の直角三角形と垂線の足 $D\left(\dfrac95,0\right)$ で確かめる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
外接円に内側から接する（このとき接点が線分 $DA$、$DB$ の上にあることも外れる）	直線 $DA$、$DB$ に接し、外接円に外側から接する円（接点は線分の延長の上。ex-saw-cx-outer）	直線 $EF$ が内心を通る
外接円に接する	直線 $DA$、$DB$ に接し、外接円に接しない円（ex-saw-cx-free）	直線 $EF$ が内心を通る

反例：外接円に外側から接する円

中心 $\left(\dfrac95-t,\ t\right)$、半径 $t$ の円が外接円に 外側から 接する条件は
$$ \sqrt{\left(t+\frac7{10}\right)^2+t^2}=\frac52+t $$
である。両辺を 2 乗して整理すると $t^2-\dfrac{18}5t-\dfrac{144}{25}=0$、つまり $25t^2-90t-144=0$ で、
$$ t=\frac{90\pm\sqrt{90^2+4\cdot25\cdot144}}{50}=\frac{90\pm150}{50} $$
から $t=\dfrac{24}5$ である。円の中心は $\left(-3,\dfrac{24}5\right)$、半径は $\dfrac{24}5$ で、直線 $DA$ との接点は $E'\left(\dfrac95,\dfrac{24}5\right)$、直線 $DB$ との接点は $F'(-3,0)$ である。$E'$ は線分 $DA$ を $A$ の先に延ばした部分に、$F'$ は線分 $DB$ を $B$ の先に延ばした部分にある。
直線 $E'F'$ は傾き $\dfrac{\frac{24}5}{\frac95+3}=1$ で、$y=x+3$ である。内心 $I(2,1)$ を代入すると、右辺は $5$ で左辺の $1$ と違う。直線 $E'F'$ は内心を通らない。

直角三角形と垂線の足 D。線分 DA、DB の延長と外接円に外側から接する円では、接点を結ぶ直線は内心 I を通らない

反例：外接円に接しない円

中心 $\left(\dfrac95-t,\ t\right)$、半径 $t$ の円は、どの $t>0$ でも直線 $DA$、$DB$ に $E_t\left(\dfrac95,t\right)$、$F_t\left(\dfrac95-t,0\right)$ で接する。直線 $E_tF_t$ の傾きは $\dfrac{t}{t}=1$ で、
$$ E_tF_t:\ y=x-\left(\frac95-t\right) $$
である。$I(2,1)$ を通る条件は $1=2-\dfrac95+t$、つまり $t=\dfrac45$ で、これは外接円に内側から接する ex-saw-start の円だけである。たとえば $t=\dfrac12$ の円では、直線は $y=x-\dfrac{13}{10}$ で、$x=2$ のとき $y=\dfrac7{10}\ne1$ となり、内心を通らない。

ex-saw-cx-free から分かるように、$\angle ADB$ に接する円の接点を結ぶ直線はどれも平行（$\angle ADB$ の二等分線に垂直）で、その中で内心を通るのは 1 本だけである。「外接円に内側から接する」という条件が、その 1 本を選んでいる。

大学数学で見る：相似拡大と Casey の定理

証明で使った lem-saw-tangent は、接点 $T$ を中心とする相似拡大の言い換えだった。同じ見方から、ほかにもいくつかの事実が出る。

相似拡大と Casey の定理で見る話を開く

(1) 弧の中点を通る直線。$T$ を中心とし比 $\dfrac R\rho$ の相似拡大は $\omega$ を $\Gamma$ に移し、$F$ での接線 $BC$ を、$BC$ に平行な $\Gamma$ の接線に移す。$\omega$ は直線 $BC$ について $A$ の側にあるので、移った接線の接点は $A$ を含まない弧 $BC$ の中点 $M$ である。よって $T$、$F$、$M$ は一直線上にある。ex-saw-start では $M\left(\dfrac52,-\dfrac52\right)$、$T\left(\dfrac5{17},\dfrac{20}{17}\right)$、$F(1,0)$ で、$\overrightarrow{TF}=\dfrac1{17}(12,-20)$、$\overrightarrow{FM}=\left(\dfrac32,-\dfrac52\right)$ の傾きはどちらも $-\dfrac53$ である。

(2) 同じ円の上の 4 点。$A$、$E$、$I$、$T$ は同じ円の上にある。ex-saw-start、ex-saw-main、ex-saw-configs の 5 つの配置で、4 点を通る円の条件の行列式が $10^{-10}$ 以下になることを数値で確かめた。この記事では証明しない。

(3) Casey の定理。prf-saw-main の段 2 で得た $c\cdot CF=a\cdot AE+b\cdot BF$ は、$\Gamma$ に接する 4 つの「円」$A$、$\omega$、$B$、$C$（$A$、$B$、$C$ は半径 $0$ の円とみなす）について、共通接線の長さの間の関係 $AE\cdot BC+BF\cdot CA=AB\cdot CF$ を述べている。これは Caseyの定理の形で、lem-saw-tangent は同記事の補題「共通外接線の長さと弦の長さ」で一方の半径を $0$ にした式にあたる。

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辺 $BC$ の上の同じ点 $D$ に対して、線分 $DA$、$DC$ と外接円に接する円も考えられる。こちらの接点を結ぶ直線も、thm-saw-main で $B$ と $C$ の役割を入れかえると内心を通る。2 つの円の中心と内心が一直線上に並ぶことが Sawayama–Thébaultの定理である。
外接円に接する円の接線の長さの関係は、Caseyの定理で一般の形になる。