代数群

$k$ 代数 $R$ に対する点 $x\in G(R)$ について、$l_a(x)=a_Rx$（$a_R$ は $a$ の $G(R)$ での像）であり、$G(R)$ の結合律から $l_a(l_b(x))=a_R(b_Rx)=(ab)_Rx=l_{ab}(x)$、単位元の性質から $l_e(x)=x$ である。これがすべての $R$ と $x$ について成り立つので、米田の補題（米田の補題）により射として $l_a\circ l_b=l_{ab}$、$l_e=\mathrm{id}_G$ である。すると $l_a\circ l_{a^{-1}}=l_e=\mathrm{id}$、$l_{a^{-1}}\circ l_a=\mathrm{id}$ なので $l_a$ は同型である。$l_a(e)=ae=a$ である。
$k$ が代数閉体のとき、有限型 $k$ スキームの点が閉点であることと剰余体が $k$ の有限次拡大であることは同値であり（Vak25 Exercise 5.3.F、p. 164）、代数閉体の有限次拡大は $k$ 自身なので、閉点はちょうど剰余体が $k$ の点、すなわち $G(k)$ の点である。閉点 $a,b$ について $l_{ba^{-1}}$ は $a$ を $b$ に写す自己同型である。$\square$

$G$ は $k$ 上有限型なので、その位相空間は Noether 空間であり、有限個の既約成分 $Z_1,\dots,Z_r$ の和集合で、どの $Z_i$ もほかの成分の和集合に含まれない（既約成分）。$r\ge2$ と仮定して矛盾を導く。
1 段目：ちょうど 1 つの既約成分にのる閉点がある。$W:=G\setminus(Z_2\cup\cdots\cup Z_r)$ は開集合で、$Z_1\not\subset Z_2\cup\cdots\cup Z_r$ なので空でなく、$W\subset Z_1$ である。有限型 $k$ スキームでは閉点が稠密なので（Vak25 Exercise 5.3.F）、$W$ は閉点 $x$ を含む。$x$ は $Z_1$ にのり、ほかの成分にはのらない。
2 段目：すべての閉点がちょうど 1 つの既約成分にのる。閉点 $y$ をとる。ag-prop-translation により $x$ を $y$ に写す $G$ の自己同型 $\sigma$ がある。$\sigma$ は位相空間の同相写像なので既約成分を既約成分に写し、$x$ を含む既約成分の個数と $y$ を含む既約成分の個数は等しい。よって $y$ もちょうど 1 つの既約成分にのる。
3 段目：既約成分は互いに交わらない。$i\neq j$ で $Z_i\cap Z_j\neq\emptyset$ とすると、これは準コンパクトなスキーム $G$ の空でない閉集合なので閉点を含む（Vak25 Exercise 5.1.E、p. 157）。その閉点は 2 つの既約成分にのり、2 段目に反する。
したがって $G=Z_1\sqcup\cdots\sqcup Z_r$ は互いに交わらない有限個の閉集合の和集合であり、各 $Z_i$ はほかの成分の和集合の補集合として開集合でもある。$r\ge2$ なら $Z_1$ は空でも全体でもない開かつ閉な集合となり、$G$ の連結性に反する。よって $r=1$ であり、$G$ は既約である。$\square$

$A$ の $k$ 上の基底 $(e_i)_{i\in I}$ をとり、$\rho(v)=\sum_iv_i\otimes e_i$（有限和、$v_i\in V$）、$\Delta(e_i)=\sum_{j,l}r_{ijl}\,e_j\otimes e_l$（$r_{ijl}\in k$、各 $i$ について有限和）と書く。余加群の第 1 の公理の両辺を $v$ に施すと
$$ \sum_l\rho(v_l)\otimes e_l=(\rho\otimes\mathrm{id})(\rho(v))=(\mathrm{id}\otimes\Delta)(\rho(v))=\sum_{i,j,l}r_{ijl}\,v_i\otimes e_j\otimes e_l $$
である。$(V\otimes A)\otimes A$ の元は $\sum_lw_l\otimes e_l$（$w_l\in V\otimes A$）の形にただ 1 通りに書けるので、$e_l$ の係数を比べて $\rho(v_l)=\sum_{i,j}r_{ijl}\,v_i\otimes e_j$ を得る。そこで $W$ を $v_i$ たちが張る有限次元の部分空間とすると、$\rho(v_l)\in W\otimes A$ であり、$W$ は部分余加群である。第 2 の公理から $v=(\mathrm{id}\otimes\varepsilon)(\rho(v))=\sum_i\varepsilon(e_i)v_i\in W$ である。$\square$

$A=\mathcal{O}(G)$ は有限生成なので、生成元 $x_1,\dots,x_r$ をとる。ag-lem-finite を正則表現 $(A,\Delta)$ に当て、各 $x_s$ を含む有限次元の部分余加群の和をとると、$x_1,\dots,x_r$ を含む有限次元の部分余加群 $V\subset A$ が得られる。$V$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ をとり、$\Delta(e_j)=\sum_{i=1}^ne_i\otimes a_{ij}$（$a_{ij}\in A$）と書く。
（i）行列 $a:=(a_{ij})$ の性質。余結合律を $e_j$ に施すと、左辺は $\sum_i\Delta(e_i)\otimes a_{ij}=\sum_{i,l}e_l\otimes a_{li}\otimes a_{ij}$、右辺は $\sum_le_l\otimes\Delta(a_{lj})$ なので、$e_l$ の係数を比べて $\Delta(a_{lj})=\sum_ia_{li}\otimes a_{ij}$ である。$(\mathrm{id}\otimes\varepsilon)\circ\Delta=\mathrm{id}$ を $e_j$ に施すと $e_j=\sum_ie_i\,\varepsilon(a_{ij})$ なので $\varepsilon(a_{ij})=\delta_{ij}$ である。対蹠律を $a_{ij}$ に施すと $\sum_lS(a_{il})a_{lj}=\varepsilon(a_{ij})=\delta_{ij}$ であり、行列 $(S(a_{ij}))$ と $a$ の積は単位行列である。行列式の積公式から $\det a$ は $A$ の単元である。
（ii）準同型。$k$ 代数 $R$ と $g\in G(R)$ に対し $r(g):=(g(a_{ij}))_{i,j}\in M_n(R)$ とおく。$r(g)$ は (i) により可逆行列である。$g,h\in G(R)$ について、(i) の $\Delta(a_{ij})$ の式から
$$ (g\cdot h)(a_{ij})=\mu_R\bigl((g\otimes h)(\Delta(a_{ij}))\bigr)=\sum_lg(a_{il})\,h(a_{lj}) $$
なので $r(g\cdot h)=r(g)r(h)$ である。$r$ は $R$ について自然なので、代数群の準同型 $r\colon G\to\mathrm{GL}_n$ が得られる。これに対応する $k$ 代数の準同型は $\theta\colon k[x_{ij}][1/\det]\to A$、$x_{ij}\mapsto a_{ij}$ である（$\det a$ が単元なので定まる）。
（iii）閉埋め込み。$\theta$ の像は $a_{ij}$ を含む。余単位律 $(\varepsilon\otimes\mathrm{id})\circ\Delta=\mathrm{id}$ を $e_j$ に施すと $e_j=\sum_i\varepsilon(e_i)\,a_{ij}$ なので、$e_j$ も $\theta$ の像に入り、像は $V$ を含む。$V$ は $A$ の生成元を含むので、$\theta$ の像は $A$ 全体であり、$\theta$ は全射である。全射な環準同型が定める射は閉埋め込みなので（閉埋め込み）、$r$ は閉埋め込みである。$\square$