Tauber型定理
概要
Tauber型定理（Tauberian theorem）とは、級数 $\sum a_n$ が Abel 和や Cesàro 和などの広い意味の和をもち、項が付加的な条件（Tauber 条件）を満たすとき、級数が通常の意味で収束することを結論する定理の総称である。$na_n\to0$ を条件とする Tauber の定理と、実数の項についての片側の評価 $na_n\ge-C$（とくに $a_n=O(1/n)$）を条件とする Hardy–Littlewood の定理があり、後者は不連続な関数を多項式で上下から挟む Karamata の方法で証明される。係数が $0$ 以上なら $(1-x)\sum a_nx^n\to A$ から係数の平均が $A$ に近づく。条件を外すと $\sum(-1)^n$ のように逆は成り立たない。
前提知識: Abelの連続性定理, 発散級数, 冪級数, Weierstrassの近似定理
Abelの連続性定理 によれば、級数 $\sum a_n$ が収束すれば、冪級数 $f(x)=\sum a_nx^n$ は $x\to1-0$ で $\sum a_n$ に近づく。逆に $\lim_{x\to1-0}f(x)$ が存在しても $\sum a_n$ が収束するとは限らない。$a_n=(-1)^n$ なら $f(x)=\frac1{1+x}\to\frac12$ だが、部分和は $1,0,1,0,\dots$ と振動する。
それでも、項 $a_n$ が大きく振動しないという条件を付ければ逆が成り立つ。このように「広い意味の和（Abel 和や Cesàro 和）が存在し、項が付加的な条件を満たすならば、級数は通常の意味で収束する」という形の定理を Tauber 型定理（Tauberian theorem）といい、付加的な条件を Tauber 条件 という。最も単純な Tauber 条件は $na_n\to0$ であり（Tauber の定理）、これを $na_n$ が有界であることに弱めても結論が成り立つ（Hardy–Littlewood の Tauber 型定理）。後者の証明には、多項式による近似を使う Karamata の方法がよく知られている。
この記事では、Tauber の定理の精密な形（収束と同値な条件）、Hardy–Littlewood の Tauber 型定理とその正の係数の版を Karamata の方法で、Cesàro 和の版を初等的に証明し、条件を外すと逆が成り立たない級数を表にまとめる。
以下、$a_n$（$n\ge0$）は実数または複素数、$s_n:=a_0+a_1+\cdots+a_n$ は部分和、$\sigma_n:=\frac{s_0+s_1+\cdots+s_n}{n+1}$ は Cesàro 平均、$f(x):=\sum_{n\ge0}a_nx^n$ とする。
総和法と逆向きの問題
- $0\le x<1$ のすべての $x$ で $f(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n$ が収束し、極限 $s=\lim_{x\to1-0}f(x)$ が存在するとき、$\sum a_n$ は Abel 総和可能 であるといい、$s$ を Abel 和 という。
- $\sigma_n\to s$（$n\to\infty$）のとき、$\sum a_n$ は Cesàro 総和可能 であるといい、$s$ を Cesàro 和 という。
これは Abelの連続性定理 の定義「Abel 和と Cesàro 和」と同じである。その記事で示されているとおり、
- 収束する級数は Cesàro 総和可能で、Cesàro 和は通常の和に等しい（補題「収束する列の平均」）。
- Cesàro 総和可能な級数は Abel 総和可能で、2 つの和は等しい（命題「Cesàro 総和可能なら Abel 総和可能」）。
- 収束する級数は Abel 総和可能で、Abel 和は通常の和に等しい（定理「Abelの連続性定理」）。
「収束 $\Rightarrow$ 広い意味の和が付き、値は通常の和」という向きの定理を Abel 型定理 という。どの逆も成り立たない。$1-1+1-\cdots$ は Cesàro 和・Abel 和 $\frac12$ をもつが収束せず、$1-2+3-4+\cdots$ は Abel 和 $\frac14$ をもつが Cesàro 総和可能でない（同じ記事の例「Abel 和と Cesàro 和の計算」）。
総和法 $T$（Abel 和、Cesàro 和など）と、数列 $(a_n)$ についての条件 (C) について、「$\sum a_n$ が $T$ で和 $s$ をもち、$(a_n)$ が (C) を満たすならば、$\sum a_n$ は収束して和は $s$ である」という形の定理を Tauber 型定理 といい、(C) を Tauber 条件 という。総和法の代わりに、冪級数や Dirichlet 級数の境界での振る舞いから部分和の漸近挙動を導く定理も、同じ名で呼ぶ。
Tauber 条件は、部分和 $s_n$ がゆっくりとしか変化しないことを保証する。広い意味の和は部分和を平均したり割り引いたりして得られる値なので、部分和が急に振動しなければ、平均の値は部分和そのものの値と離れられない。これが Tauber 型定理の共通の考え方である。
Tauber の定理
$\sum a_n$ が Abel 総和可能で Abel 和が $s$ であり、$na_n\to0$ ならば、$\sum a_n$ は収束して和は $s$ である。
$x=1-\frac1N$ での $f(x)$ と $s_N$ を比べる初等的な証明が、Abelの連続性定理 の定理「Tauberの定理」にある。ここでは後の thm-tt-hl から導く。$na_n\to0$ なら $(na_n)$ は有界なので、$a_n$ の実部と虚部はそれぞれ、ある $C$ について $\lvert n\operatorname{Re}a_n\rvert\le C$、$\lvert n\operatorname{Im}a_n\rvert\le C$ を満たす。$\operatorname{Re}f(x)=\sum(\operatorname{Re}a_n)x^n\to\operatorname{Re}s$ なので、thm-tt-hl により $\sum\operatorname{Re}a_n$ は $\operatorname{Re}s$ に収束する。虚部も同じである。$\square$
Tauber の条件 $na_n\to0$ は、収束のための必要条件ではない。$n$ が平方数 $m^2$ のとき $a_n=\frac1n$、それ以外のとき $a_n=0$ とすると、$\sum a_n=\sum_m\frac1{m^2}$ は収束するが、$n=m^2$ で $na_n=1$ である。収束と同値な条件を与えるのが次の定理である。そのために、$n\ge0$ について
$$
t_n:=\sum_{k=1}^{n}ka_k\qquad(t_0=0)
$$
とおく。
すべての $n\ge0$ について
$$
s_n-\sigma_n=\frac{t_n}{n+1}
$$
が成り立つ。したがって、$\sum a_n$ が収束すれば $\frac{t_n}{n}\to0$ である。
$(n+1)(s_n-\sigma_n)=(n+1)s_n-\sum_{k=0}^{n}s_k=\sum_{k=0}^{n}(s_n-s_k)$ であり、$s_n-s_k=\sum_{j=k+1}^{n}a_j$ を代入して和の順序を入れ替えると、$a_j$ は $k=0,1,\dots,j-1$ の $j$ 回現れるので
$$
\sum_{k=0}^{n}(s_n-s_k)=\sum_{j=1}^{n}ja_j=t_n
$$
である。$\sum a_n$ が収束すれば、Abelの連続性定理 の補題「収束する列の平均」により $\sigma_n$ も同じ値に収束するので、$\frac{t_n}{n+1}=s_n-\sigma_n\to0$ である。$\square$
次の 3 つは同値である。
- $\sum a_n$ は収束して和は $s$ である。
- $\sum a_n$ は Abel 総和可能で Abel 和は $s$ であり、$\frac{t_n}{n}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}ka_k\to0$ である。
- $\sum a_n$ は Cesàro 総和可能で Cesàro 和は $s$ であり、$\frac{t_n}{n}\to0$ である。
1 ならば 2 と 3：Abelの連続性定理 と lem-tt-difference による。3 ならば 1：lem-tt-difference により $s_n=\sigma_n+\frac{t_n}{n+1}\to s$ である。
2 ならば 1 の要点：$c_k:=\frac{t_k}{k(k+1)}$（$k\ge1$）、$c_0:=a_0$ とおくと $s_n=c_0+\cdots+c_n+\frac{t_n}{n+1}$ であり、$\sum c_k$ は Abel 和 $s$ をもち $kc_k\to0$ を満たすので、thm-tt-tauber1 が使える。
2 ならば 1 の詳しい証明を開く
$u_n:=c_0+c_1+\cdots+c_n$ とする。まず$$s_n=u_n+\frac{t_n}{n+1}\qquad(n\ge0)$$を示す（以下この等式を (★) と書く）。$n=0$ では両辺は $a_0$ である。$n\ge1$ では右辺の $n$ と $n-1$ の差は$$\frac{t_n}{n(n+1)}+\frac{t_n}{n+1}-\frac{t_{n-1}}{n}=\frac{t_n-t_{n-1}}{n}=a_n$$であり、左辺の差 $s_n-s_{n-1}=a_n$ と等しい。
$0\le x<1$ とする。$\sum a_nx^n$ は $[0,1)$ のすべての点で収束するので、収束半径は $1$ 以上である。$x< r<1$ をとると $(a_nr^n)$ は有界で、$\lvert a_n\rvert\le Mr^{-n}$ となる $M$ がある。すると $\lvert s_n\rvert$ と $\lvert t_n\rvert$ は $(n+1)^2Mr^{-n}$ 以下で、$u_n=s_n-\frac{t_n}{n+1}$ も同様なので、$\sum s_nx^n$、$\sum\frac{t_n}{n+1}x^n$、$\sum u_nx^n$ は絶対収束する。等比級数 $\sum x^m$ との Cauchy 積をとって$$f(x)=(1-x)\sum_{n\ge0}s_nx^n,\qquad\sum_{k\ge0}c_kx^k=(1-x)\sum_{n\ge0}u_nx^n$$を得る（絶対収束 の系「Cauchy積の和」。$c_k=u_k-u_{k-1}$ で $\sum c_kx^k$ も絶対収束する）。(★) を代入すると$$\sum_{k\ge0}c_kx^k=f(x)-(1-x)\sum_{n\ge0}\frac{t_n}{n+1}x^n$$である。$v_n:=\frac{t_n}{n+1}\to0$ なので、項が $v_n-v_{n-1}$（$v_{-1}:=0$）の級数は和 $0$ に収束し、Abelの連続性定理 により $(1-x)\sum v_nx^n=\sum(v_n-v_{n-1})x^n\to0$（$x\to1-0$）である。よって $\sum c_k$ は Abel 総和可能で Abel 和は $s$ である。さらに $kc_k=\frac{t_k}{k+1}\to0$ なので、thm-tt-tauber1 により $\sum c_k$ は収束して $u_n\to s$ である。(★) と $\frac{t_n}{n+1}\to0$ から $s_n\to s$ を得る。$\square$
thm-tt-tauber2 の条件 $\frac{t_n}{n}\to0$ は、$na_n$ の Cesàro 平均が $0$ に近づくことである。$na_n\to0$ ならこれは成り立つので（Abelの連続性定理 の補題「収束する列の平均」）、第二定理は第一定理を含む。上の平方数の例では $t_n$ は $n$ 以下の平方数の個数で $\sqrt n$ 以下なので、$\frac{t_n}{n}\to0$ が成り立っている。また Cesàro 和について、$na_n\to0$ ならば 3 から直ちに収束が分かる。
Hardy–Littlewood の Tauber 型定理
この節では、Tauber の条件 $na_n\to0$ を $na_n$ の有界性（実数の項なら下への有界性 $na_n\ge-C$）に弱めても結論が成り立つことを示す（下の thm-tt-hl）。条件を弱めると、thm-tt-tauber1 の初等的な証明（$x=1-\frac1N$ での比較）は使えなくなる。$f(x)$ の値を 1 点で見るだけでは足りず、$f(x),f(x^2),f(x^3),\dots$ を組み合わせて、部分和 $s_N$ を取り出す。$x=e^{-1/N}$ とおくと
$$
s_N=\sum_{n\ge0}a_n\,g(x^n),\qquad g(t):=\begin{cases}1&(e^{-1}\le t\le1)\\0&(0\le t< e^{-1})\end{cases}
$$
である（$x^n\ge e^{-1}$ と $n\le N$ は同値）。一方、多項式 $P(t)=\sum_kp_kt^k$ なら $\sum_na_nP(x^n)=\sum_kp_kf(x^k)$ は $f$ の値の有限個の組み合わせである。そこで不連続な $g$ を多項式で上下から挟み、片側の条件 $na_n\ge-C$ を不等式の向きを保つために使う。これが Karamata の方法である。
$0< \rho<1$、$B>0$ とし、$H_-$ を $[0,\rho]$ 上、$H_+$ を $[\rho,1]$ 上の連続関数で $\lvert H_-\rvert\le B$、$\lvert H_+\rvert\le B$ を満たすものとする。$[0,\rho)$ で $H=H_-$、$[\rho,1]$ で $H=H_+$ と定める。このとき任意の $\varepsilon>0$ に対し、$[0,1]$ 上で $q_1\le H\le q_2$ かつ $\int_0^1(q_2-q_1)\,dt\le\varepsilon$ を満たす多項式 $q_1,q_2$ がある。
要点：跳びの近くの幅 $2\eta$ の区間だけで $H$ を連続関数に上下から取り替え、Weierstrassの近似定理 で多項式にする。
詳しい証明を開く
$0<\eta<\min\{\rho,1-\rho\}$ をとる。$[\rho-\eta,\rho]$ で $0$ から $1$ へ線形に増える $\lambda$ と、$[\rho,\rho+\eta]$ で $0$ から $1$ へ線形に増える $\mu$ を使い、$h_2$ を $[0,\rho-\eta]$ では $H_-$、$[\rho-\eta,\rho]$ では $(1-\lambda)H_-+\lambda B$、$[\rho,\rho+\eta]$ では $(1-\mu)B+\mu H_+$、$[\rho+\eta,1]$ では $H_+$ と定める。区間の端で値が一致するので $h_2$ は $[0,1]$ 上連続であり、$H_-\le B$、$H_+\le B$ から $h_2\ge H$ である。$h_2-H$ は $[\rho-\eta,\rho+\eta]$ の外では $0$、中では $2B$ 以下なので、$\int_0^1(h_2-H)\le4B\eta$ である。$B$ を $-B$ に替えて同じように $h_1\le H$、$\int_0^1(H-h_1)\le4B\eta$ を作る。
$\eta:=\varepsilon/(16B)$ とすると（必要なら小さくとり直す）$\int_0^1(h_2-h_1)\le\varepsilon/2$ である。Weierstrassの近似定理 により $[0,1]$ 上で $\lvert p_i-h_i\rvert\le\varepsilon/8$ となる多項式 $p_i$ をとり、$q_2:=p_2+\varepsilon/8$、$q_1:=p_1-\varepsilon/8$ とおくと、$h_2\le q_2\le h_2+\varepsilon/4$、$h_1-\varepsilon/4\le q_1\le h_1$ なので $q_1\le H\le q_2$ かつ $\int_0^1(q_2-q_1)\le\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ である。
$u>0$ について $w(u):=\dfrac{e^{-u}(1-e^{-u})}{u}$ とおくと $0< w(u)\le e^{-u}$ である。$Q$ を多項式とすると
$$
\lim_{\delta\to+0}\sum_{n\ge1}\frac1n\,e^{-n\delta}(1-e^{-n\delta})\,Q(e^{-n\delta})=\int_0^\infty w(u)\,Q(e^{-u})\,du
$$
が成り立つ。
要点：左辺は $h(u):=w(u)Q(e^{-u})$ の刻み $\delta$ の Riemann 和 $\sum_{n\ge1}\delta\,h(n\delta)$ であり、$h$ は $[0,\infty)$ で連続で $e^{-u}$ の定数倍で抑えられる。
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$1-e^{-u}\le u$ なので $0< w(u)\le e^{-u}$ であり、$\frac1n=\frac{\delta}{n\delta}$ だから左辺は $\sum_{n\ge1}\delta\,h(n\delta)$ に等しい。$w(u)\to1$（$u\to+0$）なので $h$ は $h(0):=Q(1)$ として $[0,\infty)$ 上連続であり、$M:=\max_{[0,1]}\lvert Q\rvert$ とおくと $\lvert h(u)\rvert\le Me^{-u}$ である。
$U>1$ を固定し、$0<\delta<1$、$K:=\lfloor U/\delta\rfloor$ とする。$h$ は $[0,U]$ 上で一様連続なので、その連続度を $\omega$ とすると $\bigl\lvert\sum_{n=1}^{K}\delta h(n\delta)-\int_0^{K\delta}h\bigr\rvert\le U\omega(\delta)$ であり、$\bigl\lvert\int_{K\delta}^{U}h\bigr\rvert\le M\delta$ である。残りは、$\delta e^{-n\delta}\le\int_{(n-1)\delta}^{n\delta}e^{-u}\,du$ から $\sum_{n>K}\delta\lvert h(n\delta)\rvert\le M\int_{K\delta}^\infty e^{-u}\,du\le Me^{1-U}$、また $\int_U^\infty\lvert h\rvert\le Me^{-U}$ である。よって $\limsup_{\delta\to+0}\bigl\lvert\sum_{n\ge1}\delta h(n\delta)-\int_0^\infty h\bigr\rvert\le2Me^{1-U}$ で、$U$ は任意なので結論を得る。
$a_n$ は実数とする。$\sum a_n$ が Abel 総和可能で Abel 和が $s$ であり、ある定数 $C\ge0$ があってすべての $n\ge1$ で $na_n\ge-C$ ならば、$\sum a_n$ は収束して和は $s$ である。
とくに、複素数の $a_n$ について、$\sum a_n$ が Abel 総和可能で $a_n=O(1/n)$（$n\lvert a_n\rvert$ が有界）ならば、$\sum a_n$ は収束する。
$a_0$ を $0$ に替え $s$ を $s-a_0$ に替えても仮定と結論は変わらないので、$a_0=0$ としてよい。$\delta>0$ について $x=e^{-\delta}$ とおく。$[0,1)$ で $\sum a_nx^n$ が収束するので、prf-tt-tauber2 と同じく $\sum\lvert a_n\rvert e^{-n\delta}$ は収束する。$[0,1]$ 上の関数 $\varphi$ で $\lvert\varphi(t)\rvert\le Kt$（$K$ は定数）を満たすものについて
$$
L_\delta(\varphi):=\sum_{n\ge1}a_n\,\varphi(e^{-n\delta})
$$
とおくと、この級数は絶対収束する。
段 1（単項式）． $k\ge1$ について $L_\delta(t^k)=f(e^{-k\delta})\to s$（$\delta\to+0$）である。よって $P(0)=0$ を満たす多項式 $P$ について $L_\delta(P)\to sP(1)$ である。
段 2（取り出したい関数）． $G(t):=g(t)-t$ とおく。$G$ は $[0,e^{-1})$ で $-t$、$[e^{-1},1]$ で $1-t$ なので $G(t)=t(1-t)H(t)$ と書け、$H$ は $[0,e^{-1})$ で $-\frac{1}{1-t}$、$[e^{-1},1]$ で $\frac1t$ である。$\lvert H\rvert\le3$ なので、lem-tt-sandwich（$\rho=e^{-1}$、$B=3$）により、$\varepsilon>0$ に対し多項式 $Q_1\le H\le Q_2$ で $\int_0^1(Q_2-Q_1)\le\varepsilon$ となるものがある。$P_i(t):=t(1-t)Q_i(t)$ とおくと、$t(1-t)\ge0$ なので $[0,1]$ 上で $P_1\le G\le P_2$ であり、$P_i(0)=P_i(1)=0$ である。
段 3（正の部分と補正の部分に分ける）． $n\ge1$ について $b_n:=a_n+\frac Cn\ge0$ とおき、
$$
R_\delta(Q):=\sum_{n\ge1}\frac1n\,e^{-n\delta}(1-e^{-n\delta})\,Q(e^{-n\delta})
$$
とおく。$\lvert G(t)\rvert\le et$ なので、$L_\delta(G)=\sum b_nG(e^{-n\delta})-C\sum\frac1nG(e^{-n\delta})$ と分けられる。$b_n\ge0$ と $G\le P_2$ から第 1 の和は $\sum b_nP_2(e^{-n\delta})=L_\delta(P_2)+CR_\delta(Q_2)$ 以下であり、$\frac1n>0$ と $G\ge P_1$ から第 2 の和は $R_\delta(Q_1)$ 以上である。よって
$$
L_\delta(G)\le L_\delta(P_2)+C\bigl(R_\delta(Q_2)-R_\delta(Q_1)\bigr)
$$
である。$\delta\to+0$ とすると、段 1 と $P_2(1)=0$ により $L_\delta(P_2)\to0$ であり、lem-tt-riemann と $w(u)\le e^{-u}$、$Q_2-Q_1\ge0$ により
$$
R_\delta(Q_2)-R_\delta(Q_1)\to\int_0^\infty w(u)(Q_2-Q_1)(e^{-u})\,du\le\int_0^\infty e^{-u}(Q_2-Q_1)(e^{-u})\,du=\int_0^1(Q_2-Q_1)\,dt\le\varepsilon
$$
である（$t=e^{-u}$ と置換した）。よって $\limsup_{\delta\to+0}L_\delta(G)\le C\varepsilon$ である。不等式の向きを逆にした同じ議論で $\liminf_{\delta\to+0}L_\delta(G)\ge-C\varepsilon$ も分かり、$\varepsilon$ は任意なので $L_\delta(G)\to0$ である。
段 4（部分和を取り出す）． $\delta=\frac1N$ とすると $L_{1/N}(g)=s_N$ なので、
$$
s_N=L_{1/N}(G)+L_{1/N}(t)=L_{1/N}(G)+f(e^{-1/N})\to0+s=s\qquad(N\to\infty)
$$
である。$\square$
条件は片側からの評価だけでよい。複素数の場合の後半は、実部と虚部に前半を使えば従う（prf-tt-tauber1 と同じ議論）。
同じ方法で、係数が $0$ 以上の冪級数について、$x\to1-0$ での増え方から部分和の増え方が分かる。
すべての $n$ で $a_n\ge0$ とし、$0\le x<1$ で $f(x)=\sum a_nx^n$ が収束するとする。ある $A\ge0$ について $(1-x)f(x)\to A$（$x\to1-0$）ならば、
$$
\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=0}^{N}a_n=A
$$
である。
要点：$x=e^{-1/N}$ で $\sum_{n\le N}a_n=\sum_na_nx^n\,\gamma(x^n)$（$\gamma(t)=\frac1t$（$t\ge e^{-1}$）、$0$（$t< e^{-1}$））と書き、$\gamma$ を多項式で上下から挟む。$a_n\ge0$ なので挟んだ不等式が和でも保たれる。
詳しい証明を開く
$k\ge0$ について、$x\to1-0$ のとき $x^{k+1}\to1-0$ だから $(1-x)\sum_na_nx^n(x^n)^k=\frac{1-x}{1-x^{k+1}}\cdot(1-x^{k+1})f(x^{k+1})\to\frac{A}{k+1}=A\int_0^1t^k\,dt$ である。線形性から、すべての多項式 $q$ について $(1-x)\sum_na_nx^nq(x^n)\to A\int_0^1q$ である。
$\gamma$ は lem-tt-sandwich の形（$\rho=e^{-1}$、$H_-=0$、$H_+=\frac1t$、$B=3$）なので、$\varepsilon>0$ に対し多項式 $q_1\le\gamma\le q_2$ で $\int_0^1(q_2-q_1)\le\varepsilon$ となるものがある。$a_nx^n\ge0$ なので $(1-x)\sum a_nx^nq_1(x^n)\le(1-x)\sum a_nx^n\gamma(x^n)\le(1-x)\sum a_nx^nq_2(x^n)$ であり（どの級数も絶対収束する）、$x\to1-0$ での上極限と下極限は $A\int_0^1q_1$ と $A\int_0^1q_2$ の間にある。$\int_0^1q_1\le\int_0^1\gamma=1\le\int_0^1q_2$ で差は $\varepsilon$ 以下だから、$(1-x)\sum_na_nx^n\gamma(x^n)\to A$ である。$x=e^{-1/N}$ では $x^n\gamma(x^n)$ は $n\le N$ で $1$、$n>N$ で $0$ なので、$(1-e^{-1/N})\sum_{n\le N}a_n\to A$ である。$N(1-e^{-1/N})\to1$ だから結論を得る。
この定理は Hardy・Littlewood・Karamata の Tauber 型定理と呼ばれ、$(1-x)^{-\alpha}$ に緩やかに変化する関数を掛けた増え方へも一般化されている（FS09 Theorem VI.13、p. 435。上の定理の $A>0$ の場合は、その $\alpha=1$ で緩やかに変化する関数が定数の場合にあたる）。結論は $a_n$ そのものではなく、その平均についての主張である。
Cesàro 和の版
Cesàro 和は Abel 和より狭い総和法なので（Abelの連続性定理 の命題「Cesàro 総和可能なら Abel 総和可能」）、thm-tt-hl から次の定理が直ちに従う。ここでは多項式による近似を使わない直接の証明を与える。
$a_n$ は実数とする。$\sum a_n$ が Cesàro 総和可能で Cesàro 和が $s$ であり、ある定数 $C\ge0$ があってすべての $n\ge1$ で $na_n\ge-C$ ならば、$\sum a_n$ は収束して和は $s$ である。とくに、複素数の $a_n$ について、Cesàro 総和可能で $a_n=O(1/n)$ ならば収束する。
$0<\varepsilon<\frac12$ を固定する。$m>n$ について $(m+1)\sigma_m-(n+1)\sigma_n=\sum_{k=n+1}^{m}s_k$ である。
上からの評価． $r:=\lceil\varepsilon n\rceil$、$m:=n+r$ とする。$n< k\le m$ なら $s_k-s_n=\sum_{j=n+1}^{k}a_j\ge-\frac{C(k-n)}{n+1}$ なので、$\sum_{k=n+1}^{m}s_k\ge rs_n-\frac{Cr(r+1)}{2(n+1)}$ である。よって
$$
s_n\le\frac{(m+1)\sigma_m-(n+1)\sigma_n}{r}+\frac{C(r+1)}{2(n+1)}=\sigma_m+\frac{n+1}{r}(\sigma_m-\sigma_n)+\frac{C(r+1)}{2(n+1)}
$$
である。$n\to\infty$ のとき $m\to\infty$ なので $\sigma_m\to s$、$\sigma_m-\sigma_n\to0$ であり、$\frac{n+1}{r}\le\frac{n+1}{\varepsilon n}\le\frac2\varepsilon$ は有界である。また $r\le\varepsilon n+1$ から $\frac{C(r+1)}{2(n+1)}\le\frac{C(\varepsilon n+2)}{2(n+1)}\to\frac{C\varepsilon}2$ である。よって $\limsup s_n\le s+\frac{C\varepsilon}2$ である。
下からの評価． $n\ge4/\varepsilon$ とし、同じ $r$ で $m:=n-r$ とする（$r\le\varepsilon n+1< n$）。$m< k\le n$ なら $s_n-s_k\ge-\frac{C(n-k)}{m+1}$ なので $\sum_{k=m+1}^{n}s_k\le rs_n+\frac{Cr(r-1)}{2(m+1)}$ であり、
$$
s_n\ge\sigma_n+\frac{m+1}{r}(\sigma_n-\sigma_m)-\frac{C(r-1)}{2(m+1)}
$$
である。$\frac{m+1}{r}\le\frac{n}{\varepsilon n}=\frac1\varepsilon$、$r-1\le\varepsilon n$、$m+1\ge(1-\varepsilon)n$ だから、$\liminf s_n\ge s-\frac{C\varepsilon}{2(1-\varepsilon)}$ である。
$\varepsilon$ は任意なので $s_n\to s$ である。複素数の場合は実部と虚部に分ければよい。$\square$
$na_n\to0$ を仮定する場合は、thm-tt-tauber2 の 3 によりさらに簡単に収束が分かる。窓の長さ $r$ を $\varepsilon n$ 程度にとるのが要点である。$r$ が短すぎると $\frac{n+1}{r}(\sigma_m-\sigma_n)$ が抑えられず、長すぎると $s_k$ と $s_n$ の差の評価 $\frac{C(r+1)}{2(n+1)}$ が小さくならない。
例
$r_2(n)$ を、$j^2+k^2=n$ を満たす整数の組 $(j,k)$ の個数とする。$a_n:=r_2(n)\ge0$ に thm-tt-positive を使って、$\sum_{n\le N}r_2(n)$（半径 $\sqrt N$ の閉円板の中の格子点の個数）が $\pi N$ に漸近することを示す。
$\theta(x):=\sum_{j\in\mathbb Z}x^{j^2}$（$0\le x<1$）とおくと、絶対収束する級数の積を $n=j^2+k^2$ ごとにまとめて $\theta(x)^2=\sum_{n\ge0}r_2(n)x^n$ である。$x=e^{-\delta}$、$h:=\sqrt\delta$ とすると、$e^{-u^2}$ は $u\ge0$ で減少するので、$I:=\int_0^\infty e^{-u^2}\,du=\frac{\sqrt\pi}2$（Gauss積分）について $h\sum_{j\ge1}e^{-(jh)^2}\le I\le h+h\sum_{j\ge1}e^{-(jh)^2}$ である。よって
$$
\sqrt\delta\,\theta(e^{-\delta})=h+2h\sum_{j\ge1}e^{-(jh)^2}\in[2I-h,\,2I+h]
$$
で、$\delta\to+0$ のとき $\sqrt\delta\,\theta(e^{-\delta})\to\sqrt\pi$ である。$\frac{1-e^{-\delta}}{\delta}\to1$ なので $(1-x)\theta(x)^2\to\pi$（$x\to1-0$）であり、thm-tt-positive により
$$
\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=0}^{N}r_2(n)=\pi
$$
を得る。格子点を正方形で数える初等的な証明と誤差の評価は Gaussの円問題 で扱う。ここでの証明は、$\theta(x)$ の $x\to1-0$ での振る舞いと係数の正値性だけを使っている。
$n=m^2$（$m\ge1$）のとき $a_n=\frac{(-1)^m}{m}$、それ以外のとき $a_n=0$ とする。$na_n=(-1)^mm$ は有界でないので、thm-tt-tauber1 も thm-tt-hl も使えない。一方 $\lvert t_n\rvert=\bigl\lvert\sum_{m^2\le n}(-1)^mm\bigr\rvert\le\sqrt n$（交代和は隣り合う 2 項ずつまとめると絶対値が $m$ の最大値以下）なので $\frac{t_n}{n}\to0$ である。$\sum a_n$ は $\sum_m\frac{(-1)^m}{m}=-\log2$ に収束するから、thm-tt-tauber2 と合っている。
反例：条件を外すと逆が成り立たない級数
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-tt-hl の $na_n\ge-C$ | $a_n=(-1)^n$ | Abel 総和可能（和 $\frac12$）な級数が収束する |
| thm-tt-hl・thm-tt-cesaro の $na_n$ の有界性（$\sqrt n\,\lvert a_n\rvert$ の有界性に弱める） | 部分和が $s_n=\cos\sqrt n$ の級数 | Abel 和・Cesàro 和 $0$ をもつ級数が収束する |
| thm-tt-hl の Abel 総和可能性（$f(x)$ の有限の極限の存在） | $a_0=0$、$a_n=\frac1n$（$n\ge1$） | $0\le na_n\le1$ の級数が収束する |
| thm-tt-positive の $a_n\ge0$ | $a_n=1+(-1)^nn$ | $(1-x)f(x)\to1$ のとき平均 $\frac1N\sum_{n\le N}a_n$ が $1$ に近づく |
各行の級数は、外した条件以外の仮定を満たし、結論を満たさない。
4 行の確かめを開く
1 行目：$f(x)=\frac1{1+x}\to\frac12$ だが、部分和は $1,0,1,0,\dots$ で収束しない。$na_n=(-1)^nn$ は奇数の $n$ で $-n$ なので下に有界でない。
2 行目：$a_0=1$、$a_n=\cos\sqrt n-\cos\sqrt{n-1}$（$n\ge1$）である。$n\ge2$ で $\lvert a_n\rvert\le\frac1{2\sqrt{n-1}}$ なので $\sqrt n\,\lvert a_n\rvert$ は有界であり、Cesàro 和と Abel 和が $0$ で、級数が収束しないことは Abelの連続性定理 の例「仮定 $a_n\to0$ だけでは足りない」で示されている。thm-tt-cesaro と thm-tt-hl から、この級数では $na_n$ が下に有界でないことも分かる。
3 行目：$f(x)=\sum_{n\ge1}\frac{x^n}n=-\log(1-x)$ は $x\to1-0$ で $+\infty$ に発散し、調和級数 $\sum\frac1n$ は発散する。$na_n=1$ なので Tauber 条件は満たされているが、Abel 総和可能でない。
4 行目：$\sum_{n\ge0}(-1)^nnx^n=-\frac{x}{(1+x)^2}$ なので $f(x)=\frac1{1-x}-\frac{x}{(1+x)^2}$ であり、$(1-x)f(x)\to1$ である。一方 $\sum_{n=0}^{N}(-1)^nn$ は $N=2m$ で $m$、$N=2m+1$ で $-(m+1)$ なので、$\frac1N\sum_{n\le N}a_n$ は偶数の $N$ で $\frac32$ に、奇数の $N$ で $\frac12$ に近づき、極限をもたない。$a_n$ は $n\ge3$ の奇数で負である。
補足
$na_n\ge-C$ ならば、$n< k$ について $s_k-s_n=\sum_{j=n+1}^{k}a_j\ge-C\sum_{j=n+1}^{k}\frac1j\ge-C\log\frac kn$ である。すなわち部分和は、$k/n$ が $1$ に近い範囲では大きく減ることができない。thm-tt-cesaro の証明はこの性質だけを使っている。条件 $na_n\to0$ は部分和の振動が $\log\frac kn$ に比べて小さいこと、$na_n=O(1)$ はその定数倍であることを意味する。反例表の 2 行目の級数では、部分和 $\cos\sqrt n$ は $n$ が $(2\pi k)^2$ から $((2k+1)\pi)^2$ まで（比が $1$ に近づく範囲）動く間に $1$ から $-1$ まで変化する。
Tauber 条件の代わりに、母関数の境界での振る舞いについての情報を使う定理もある。Wiener–池原の定理 は、係数が $0$ 以上の Dirichlet 級数 $\sum a_nn^{-s}$ が $\operatorname{Re}s>1$ で収束し、$s=1$ の単純極を除いて直線 $\operatorname{Re}s=1$ まで連続に延びるならば、$\sum_{n\le x}a_n$ が $x$ に比例して増えることを述べる。thm-tt-positive は実軸上の振る舞いだけを使うのに対し、こちらは直線 $\operatorname{Re}s=1$ の全体での振る舞いを使い、素数定理 を導くことができる。
関連項目
- 前提: Abelの連続性定理, 発散級数, 冪級数, Weierstrassの近似定理
- 応用: Gaussの円問題, Wiener–池原の定理
- 比較: Fejérの定理, Cauchy積
- 発展: 素数定理
参考文献
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