Thom空間

$|h(v)|_0=\frac{|v|_1}{|v|_0}|v|_0=|v|_1$ である。同じ式で添字 $0,1$ を入れ替えた写像 $h'(w)=\frac{|w|_0}{|w|_1}w$ について $h'(h(v))=\frac{|v|_1}{|v|_1^2/|v|_0}\cdot\frac{|v|_1}{|v|_0}v=v$、同様に $h(h'(w))=w$ なので、$h'$ は $h$ の逆写像である。$E_0$ の上では、ノルムが $E$ 上の連続関数なので $h$ は連続である。
零ベクトル $0_b$ での連続性を示す。$b$ のまわりの局所自明化 $U\times\mathbb R^n$ で計量を $G_0(x)$、$G_1(x)$ とし、$m_i$、$M_i$ を単位球面 $\{e\in\mathbb R^n\mid|e|=1\}$ 上の $e^{\mathsf T}G_i(b)e$ の最小値・最大値とする。$|e^{\mathsf T}G_i(x)e-e^{\mathsf T}G_i(b)e|$ は $G_i(x)-G_i(b)$ の成分の絶対値の和以下なので、$b$ の近傍 $W\subset U$ の上で $e^{\mathsf T}G_i(x)e\in[m_i/2,2M_i]$ となる。よって $\pi^{-1}(W)$ の上で $|v|_1\le c\,|v|_0$ かつ $|v|_0\le c\,|\bar v|$（$\bar v$ は自明化の $\mathbb R^n$ 成分、$|\bar v|$ は標準ノルム、$c$ は定数）である。$v\to0_b$ は「$\pi(v)\to b$ かつ $\bar v\to0$」と同値で、このとき $|\overline{h(v)}|\le c'|h(v)|_0=c'|v|_1\le c'c\,|v|_0\to0$ である（$c'$ も定数）。よって $h(v)\to0_b$ である。逆写像についても同じである。$\square$

$v\mapsto v/(1-|v|)$ の逆は $w\mapsto w/(1+|w|)$ で、どちらも連続である。$D(E)$ がコンパクト Hausdorff であることを示せば、一点コンパクト化 の定理「開集合の一点コンパクト化と商」を $K=D(E)$、空でない閉集合 $Z=S(E)$ に当てて $D(E)/S(E)\cong(D(E)\setminus S(E))^+\cong E^+$ を得る。$E$ は Hausdorff であり（異なるファイバーの 2 点は $B$ の交わらない開集合の逆像で分けられ、同じファイバーの 2 点は局所自明化 $U\times\mathbb R^n$ の中で分けられる）、$D(E)$ はその閉集合である。各 $b\in B$ に、prf-prop-thom-space-metric と同じ評価 $|\bar v|\le c\,|v|$ が成り立つ自明化の近傍をとり、その中にコンパクトな近傍 $K_b$ をとる（コンパクト Hausdorff 空間は局所コンパクト）。$D(E)\cap\pi^{-1}(K_b)$ は $K_b\times\{|\bar v|\le c\}$ の閉集合なのでコンパクトであり、有限個の $K_b$ で $B$ が覆えるので $D(E)$ はコンパクトである。$\square$

$[x:t]\ne p$ は $x\ne0$ と同値である。$(x,t)$ を $(\lambda x,\lambda t)$（$\lambda\in\mathbb K^\times$）に替えると $\frac{\bar\lambda\bar t}{|\lambda|^2|x|^2}\lambda x=\frac{\bar t}{|x|^2}x$ なので $\psi$ は矛盾なく定まり、$(\mathbb K^{n+1}\setminus\{0\})\times\mathbb K$ 上の連続写像から誘導されるので連続である。逆写像を
$$ \varphi(\ell,v):=[x:\overline{\langle v,x\rangle}]\qquad(x\in\ell,\ x\ne0) $$
で定める。$x$ を $\lambda x$ に替えると $[\lambda x:\overline{\bar\lambda\langle v,x\rangle}]=[\lambda x:\lambda\overline{\langle v,x\rangle}]$ で値は変わらない。$\mathbb{KP}^n$ の開集合 $\{x_i\ne0\}$ の上では $x_i=1$ と正規化した $x$ が $\ell$ について連続なので、$\varphi$ は連続である。$v\in\ell$ なので $v=cx$（$c\in\mathbb K$）と書け、$\langle v,x\rangle=c|x|^2$ である。よって $\varphi(\ell,v)=[x:\bar c|x|^2]$、$\psi(\varphi(\ell,v))=(\ell,cx)=(\ell,v)$ であり、$v=\frac{\bar t}{|x|^2}x$ なら $\overline{\langle v,x\rangle}=t$ なので $\varphi(\psi([x:t]))=[x:t]$ である。
$\mathbb{KP}^{n+1}$ はコンパクト Hausdorff 空間なので、一点コンパクト化 の定理「一点コンパクト化の特徴づけ」により $\mathbb{KP}^{n+1}\cong\gamma_n^+$ であり、prop-thom-space-compact により $\gamma_n^+\cong\mathrm{Th}(\gamma_n)$ である。$\square$

1 つ目．$V:=\{v\in D(E)\mid|v|>\tfrac12\}$ は $S(E)$ の近傍で、$r_s(v):=\bigl((1-s)+s/|v|\bigr)v$（$0\le s\le1$）は $V$ から $S(E)$ への強変位レトラクションである。よって $(D(E),S(E))$ は良い対であり（切除定理(特異ホモロジー) の定義「良い対」）、同記事の命題「良い対の相対ホモロジー」により商写像は $H_q(D(E),S(E))\to\tilde H_q(\mathrm{Th}(E))=H_q(\mathrm{Th}(E),\ast)$ の同型を誘導する。普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」の短完全列は対の写像について自然なので、五項補題 によりコホモロジーでも同型である。
2 つ目．包含 $(D(E),S(E))\to(E,E_0)$ を考える。$D(E)$ と $E$ はどちらも $v\mapsto(1-s)v$ で零切断に変形レトラクトするので、包含 $D(E)\to E$ はホモトピー同値である。$E_0\to S(E)$、$v\mapsto v/|v|$ は包含 $S(E)\to E_0$ のホモトピー逆である（ホモトピー $(1-s)v+sv/|v|$ は $0$ を通らない）。対の長完全列（特異コホモロジー の定理「対の長完全列」）と 五項補題 により、相対群も同型である。
$\mathbb F_2$ 係数．Thom同型(特異コホモロジー) の定理「mod 2 の Thom 同型」により $H^{k+n}(E,E_0;\mathbb F_2)\cong H^k(B;\mathbb F_2)$ である。$\square$

$B\times B'$ はコンパクト Hausdorff なので、prop-thom-space-compact と 一点コンパクト化 の系「商による一点コンパクト化の帰結」の 3 により $\mathrm{Th}(E\times E')\cong(E\times E')^+\cong E^+\wedge E'^+\cong\mathrm{Th}(E)\wedge\mathrm{Th}(E')$ である。$B'$ を 1 点、$E'=\mathbb R^m$ とすると $E\times\mathbb R^m$ は $B\times\{\mathrm{pt}\}=B$ 上の束 $E\oplus\varepsilon^m$ であり、$\mathrm{Th}(\mathbb R^m)\cong S^m$（ex-thom-space-trivial）である。$\square$

管状近傍定理 の定理「管状近傍定理」で、$M$ はコンパクトなので定数 $\varepsilon>0$ がとれ、$U:=U_\varepsilon$ は $\nu_\varepsilon M=\{(x,v)\in\nu\mid|v|<\varepsilon\}$ と微分同相である。$(x,v)\mapsto(x,v/(\varepsilon-|v|))$ で $\nu_\varepsilon M\cong\nu$ である。一点コンパクト化 の系「商による一点コンパクト化の帰結」の 2（潰し写像）により $(\mathbb R^{n+k})^+\to U^+$ は連続であり、$U^+\cong\nu^+$、さらに prop-thom-space-compact により $\nu^+\cong\mathrm{Th}(\nu)$ である。$(\mathbb R^{n+k})^+\cong S^{n+k}$ は同記事の系の 4 による。$\square$