有理数空間

要点：1・2 は有理数の稠密性、3 は無理数の稠密性、4 は無理数に収束する有理数列による。

1：$r\notin R_y$ なら $\{z\mid\rho(y,z)\le r\}=\{z\mid\rho(y,z)< r\}$ であり、左辺は閉集合、右辺は開集合である。
2：$Y$ の空でない開集合は無限集合である（prop-ratsp-basic の 2 の証明は、孤立点をもたない距離空間でそのまま通る）。$\delta>0$ を、$3\delta< \varepsilon$ かつ $F$ の相異なる二点の距離がすべて $3\delta$ 以上になるようにとる。$U=\{u_0,u_1,\dots\}$ と番号を付け、各 $k$ について $r_k\in(0,\delta)\setminus R_{u_k}$ を選び
$$ W_k=\bigl(U\cap B(u_k,r_k)\bigr)\setminus(W_0\cup\cdots\cup W_{k-1}) $$
とおく。1 により $W_k$ は開かつ閉集合の有限回の共通部分と差なので開かつ閉であり、$\operatorname{diam}W_k\le2r_k< 2\delta< \varepsilon$ である。直径が $2\delta$ 未満なので、$W_k$ は $F$ の点を高々 $1$ 個しか含まない。$u_k\in W_0\cup\cdots\cup W_k$ なので、空でない $W_k$ の全体は $U$ の分割 $\mathcal W$ をなす。
$\mathcal W$ が無限個の元をもてば、これを番号付けて $U_0,U_1,\dots$ とすればよい。有限個なら、$\mathcal W$ の一つの元 $W$ を次のように無限個に分ける。$W=\{w_0,w_1,\dots\}$ と番号を付け、$V_0=W$ とおく。空でない開かつ閉集合 $V_n$ が定まったら、$V_n$ に属する $w_j$ のうち番号最小のものを $a_n$ とし、$a_n$ と異なる $b\in V_n$ と $r\in(0,\rho(a_n,b))\setminus R_{a_n}$ を選んで
$$ A_n=V_n\cap B(a_n,r),\qquad V_{n+1}=V_n\setminus A_n $$
とおく。$A_n$ は $a_n$ を、$V_{n+1}$ は $b$ を含む空でない開かつ閉集合である。各段で番号最小の残りの点が取り除かれるので、$w_0,\dots,w_n$ は $A_0\cup\cdots\cup A_n$ に入り、$W$ は $A_0,A_1,\dots$ の互いに交わらない和集合になる。$\mathcal W$ の中で $W$ を $A_0,A_1,\dots$ に取り替えると、求める分割が得られる。$A_n\subset W$ なので、直径と $F$ の点の個数の条件は保たれる。$\square$

$X$ の位相を定める距離 $\rho$ を一つ固定し、$\mathbb Q$ には $|x-y|$ を使う。どちらも孤立点をもたない可算距離空間で、空でない開集合は無限集合なので、$X=\{x_0,x_1,\dots\}$、$\mathbb Q=\{q_0,q_1,\dots\}$ と番号を付けられる。
$n=0,1,2,\dots$ について、次のものを帰納的に作る：$X$ の空でない開かつ閉集合への分割 $\mathcal U_n$、$\mathbb Q$ の同様の分割 $\mathcal V_n$、全単射 $\varphi_n\colon\mathcal U_n\to\mathcal V_n$、有限集合 $\operatorname{dom}f_n\subset X$ 上の単射 $f_n\colon\operatorname{dom}f_n\to\mathbb Q$。条件は次のとおりである。

• (a) $n\ge1$ なら、$\mathcal U_n$ と $\mathcal V_n$ の元の直径は $2^{-n}$ 未満である。
• (b) $\mathcal U_{n+1}$ の各元 $U'$ は $\mathcal U_n$ のある元 $U$ に含まれ、そのとき $\varphi_{n+1}(U')\subset\varphi_n(U)$ である。$\mathcal V_{n+1}$ の各元も $\mathcal V_n$ のある元に含まれる。
• (c) $f_n\subset f_{n+1}$（$f_{n+1}$ は $f_n$ の拡張）であり、$x_0,\dots,x_{n-1}\in\operatorname{dom}f_n$、$q_0,\dots,q_{n-1}\in f_n(\operatorname{dom}f_n)$ である。
• (d) $x\in\operatorname{dom}f_n$ と $U\in\mathcal U_n$ について、$x\in U\iff f_n(x)\in\varphi_n(U)$。
  $\mathcal U_0=\{X\}$、$\mathcal V_0=\{\mathbb Q\}$、$\varphi_0(X)=\mathbb Q$、$f_0=\emptyset$ から始める。$n$ 段目までできたとする。

点を足す。 $x_n\notin\operatorname{dom}f_n$ なら、$x_n\in U\in\mathcal U_n$ となる $U$ をとる。$\varphi_n(U)$ は無限集合なので、$f_n$ の像に入らない $y\in\varphi_n(U)$ を選び、$x_n\mapsto y$ を付け加える。続いて $q_n$ が像に入っていなければ、$q_n\in V\in\mathcal V_n$ となる $V$ をとり、まだ定義域に入らない $x\in\varphi_n^{-1}(V)$ を選んで $x\mapsto q_n$ を付け加える。こうして得た単射を $f_{n+1}$ とする。$\mathcal V_n$ の元は互いに交わらないので、付け加えた点についても (d) が $\mathcal U_n,\varphi_n$ に対して成り立つ。
細かく分ける。 各 $U\in\mathcal U_n$ について、$V=\varphi_n(U)$ とおく。lem-ratsp-partition を $U$、$\varepsilon=2^{-(n+1)}$、$F=U\cap\operatorname{dom}f_{n+1}$ に当てて $U$ を小片 $U_0,U_1,\dots$ に分け、$V$、同じ $\varepsilon$、$F'=V\cap f_{n+1}(\operatorname{dom}f_{n+1})$ に当てて $V$ を小片 $V_0,V_1,\dots$ に分ける。(d) により $f_{n+1}$ は $F$ から $F'$ への全単射である。$F$ の点 $x$ を含む小片 $U_k$ には $f_{n+1}(x)$ を含む小片 $V_l$ を対応させる。各小片は $F$ または $F'$ の点を高々 $1$ 個しか含まないので、これは単射である。残りの小片は両側とも可算無限個あるので、任意の全単射で対応させる。すべての $U\in\mathcal U_n$ についての小片を集めて $\mathcal U_{n+1}$、$\mathcal V_{n+1}$、$\varphi_{n+1}$ とする。(a)・(b) は作り方から成り立つ。(d) を確かめる。$x\in\operatorname{dom}f_{n+1}$ が小片 $U'$ に入れば、$f_{n+1}(x)\in\varphi_{n+1}(U')$ である。逆に $f_{n+1}(x)\in\varphi_{n+1}(U'')$ なら、$x$ を含む小片 $U'$ について $f_{n+1}(x)\in\varphi_{n+1}(U')$ でもあるので、$\mathcal V_{n+1}$ の元が交わらないことと $\varphi_{n+1}$ の単射性から $U''=U'\ni x$ である。
同相写像を作る。 $f=\bigcup_nf_n$ とおく。(c) により $f$ は $X$ 全体で定義された $\mathbb Q$ への全単射である。各 $n$ と $U\in\mathcal U_n$ について $f(U)=\varphi_n(U)$ を示す。$x\in U$ をとり、$x\in\operatorname{dom}f_m$ となる $m\ge n$ をとる。$x$ を含む $U'\in\mathcal U_m$ は (b) を繰り返し使うと $U$ に含まれ、$\varphi_m(U')\subset\varphi_n(U)$ である。(d) により $f(x)=f_m(x)\in\varphi_m(U')\subset\varphi_n(U)$ となる。よって $f(U)\subset\varphi_n(U)$ である。$\mathcal U_n$ と $\mathcal V_n$ はどちらも分割で $\varphi_n$ は全単射なので、$f$ が全単射であることと合わせて $f(U)=\varphi_n(U)$ が従う。
最後に、$x\in X$ と $\varepsilon>0$ に対し $2^{-n}< \varepsilon$ となる $n\ge1$ をとり、$x\in U\in\mathcal U_n$ とすると、$U$ は $x$ の開近傍で、$f(U)=\varphi_n(U)$ は直径 $2^{-n}$ 未満なので $f(U)\subset(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)$ である。よって $f$ は連続である。同じ議論を $\varphi_n(U)$ と $f^{-1}(\varphi_n(U))=U$ に当てれば $f^{-1}$ も連続である。したがって $f$ は同相写像である。$\square$

どれも空でない可算集合で、距離化可能なので、孤立点がないことを確かめれば thm-ratsp-sierpinski から従う。1：$\mathbb Q^n$ の位相は距離 $\max_i|x_i-y_i|$ で定まり、点 $(q_1,\dots,q_n)$ に $(q_1+1/m,q_2,\dots,q_n)$ がいくらでも近づく。2：$0$ には $1/m$、$\sqrt2$ には $\sqrt2$ の小数展開を $m$ 桁で切った有理数が近づき、その他の点にも有理数がいくらでも近づく。3：$|p^m|_p=p^{-m}$ なので、$x\ne x+p^m$ かつ $d_p(x,x+p^m)=p^{-m}\to0$ である。$\square$

$X=\emptyset$ なら空集合をとればよい。$X\ne\emptyset$ とし、$X$ の位相を定める距離 $\rho$ をとる。$X\times\mathbb Q$ は距離 $\max\{\rho(x,x'),|q-q'|\}$ で距離化され、可算で、点 $(x,q)$ には $(x,q+1/m)$ が近づくので孤立点をもたない。thm-ratsp-sierpinski により同相写像 $h\colon X\times\mathbb Q\to\mathbb Q$ がある。$X\times\{0\}$ は射影 $X\times\mathbb Q\to\mathbb Q$ による閉集合 $\{0\}$ の逆像なので閉集合で、$x\mapsto(x,0)$ により $X$ と同相である。よって $X$ は $\mathbb Q$ の閉部分空間 $h(X\times\{0\})$ と同相である。$\square$

要点：2 はコンパクト集合が $\mathbb R$ で閉であることと補集合の稠密性、3 は $\mathbb R$ でのBaireの範疇定理、4 は有理数 $r_k$ に近づく列で $1/\lvert x-r_k\rvert$ が発散することによる。