平面の合同変換の分類

要点：式で決めた $\sigma$ は、$\lvert a\rvert=1$（$a=e^{2i\varphi}$）から距離を保ち、軸 $\ell$ の上の点 $p+se^{i\varphi}$（$s$ は実数）を動かさず、それ以外の点は動かす。軸の上の点 $u$ は $\lvert u-\sigma(z)\rvert=\lvert\sigma(u)-\sigma(z)\rvert=\lvert u-z\rvert$ を満たすので、$\ell$ は線分 $z\,\sigma(z)$ の垂直二等分線である。

方針：動く点 $X$ があったとすると、$A,B,C$ が $X$ と $h(X)$ から等距離になり、3 点が 1 本の垂直二等分線の上に並んでしまう。
ある点 $X$ で $Y:=h(X)\ne X$ となったと仮定する。$h$ は合同変換で $h(A)=A$ なので
$$ AY=h(A)h(X)=AX $$
である。同じく $BY=BX$、$CY=CX$ である。2 点 $X$、$Y$ から等距離の点は、線分 $XY$ の垂直二等分線の上にある（三角形の合同条件 の命題「垂直二等分線は 2 点から等距離の点の集まり」）。よって $A,B,C$ はどれもこの 1 本の直線の上にあり、一直線上にないという仮定に反する。したがって、すべての点 $X$ で $h(X)=X$ である。$\square$

方針：一直線上にない 3 点 $A,B,C$ をとり、その行き先 $A'=f(A)$、$B'=f(B)$、$C'=f(C)$ に、鏡映で 1 点ずつ合わせていく。一度合わせた点は、次の鏡映の軸の上にあるので動かない。最後に lem-pic-fix-three を使う。
段 1（$A$ を合わせる）。$A\ne A'$ なら、線分 $AA'$ の垂直二等分線に関する鏡映を $\sigma_1$ とする。定義により $\sigma_1(A)=A'$ である。$A=A'$ なら $\sigma_1=\mathrm{id}$ とする。$B_1:=\sigma_1(B)$、$C_1:=\sigma_1(C)$ とおく。
段 2（$B$ を合わせる）。$\sigma_1$ も $f$ も合同変換なので
$$ A'B_1=\sigma_1(A)\sigma_1(B)=AB=f(A)f(B)=A'B' $$
である。$B_1\ne B'$ なら、$A'$ は $B_1$ と $B'$ から等距離なので、線分 $B_1B'$ の垂直二等分線の上にある。この垂直二等分線に関する鏡映を $\sigma_2$ とすると、$\sigma_2(B_1)=B'$ で、軸の上の $A'$ は動かない。$B_1=B'$ なら $\sigma_2=\mathrm{id}$ とする。$C_2:=\sigma_2(C_1)$ とおく。
段 3（$C$ を合わせる）。段 2 と同じ理由で $A'C_2=AC=A'C'$、$B'C_2=BC=B'C'$ である。$C_2\ne C'$ なら、$A'$ と $B'$ はどちらも線分 $C_2C'$ の垂直二等分線の上にある。$A'\ne B'$（$A'B'=AB>0$）なので、この垂直二等分線は直線 $A'B'$ である。直線 $A'B'$ に関する鏡映を $\sigma_3$ とすると、$\sigma_3(C_2)=C'$ で、$A'$ と $B'$ は動かない。$C_2=C'$ なら $\sigma_3=\mathrm{id}$ とする。
段 4（行き先が一致する）。$g:=\sigma_3\circ\sigma_2\circ\sigma_1$ とおく。段 1〜3 から
$$ g(A)=\sigma_3(\sigma_2(A'))=\sigma_3(A')=A',\qquad g(B)=\sigma_3(\sigma_2(B_1))=\sigma_3(B')=B',\qquad g(C)=\sigma_3(C_2)=C' $$
である。
段 5（$f=g$）。鏡映は 2 回続けるともとに戻るので（$\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$）、$h:=\sigma_1\circ\sigma_2\circ\sigma_3\circ f$ とおくと、$h(A)=\sigma_1(\sigma_2(\sigma_3(A')))$ である。$A'$ は $\sigma_3$、$\sigma_2$ の軸の上にあるので $\sigma_3(A')=\sigma_2(A')=A'$ であり、$\sigma_1(A')=\sigma_1(\sigma_1(A))=A$ なので $h(A)=A$ である。同じく $\sigma_3(B')=B'$、$\sigma_2(B')=\sigma_2(\sigma_2(B_1))=B_1$、$\sigma_1(B_1)=B$ から $h(B)=B$ であり、$\sigma_3(C')=C_2$、$\sigma_2(C_2)=C_1$、$\sigma_1(C_1)=C$ から $h(C)=C$ である。$h$ は合同変換の合成なので合同変換であり、lem-pic-fix-three により $h=\mathrm{id}$ である。$\sigma_1\circ\sigma_2\circ\sigma_3\circ f=\mathrm{id}$ の両辺に左から $\sigma_3\circ\sigma_2\circ\sigma_1$ をかけると、$f=\sigma_3\circ\sigma_2\circ\sigma_1$ である。恒等写像になった $\sigma_k$ を取り除けば、定理の形になる。$\square$

要点：thm-pic-three-reflections で $f'$ を鏡映の合成に書くと、鏡映を逆順にかけた写像が逆写像になる。$f'^{-1}\circ f$ は 3 点を動かさないので、lem-pic-fix-three により恒等写像である。

要点：(II) の形の写像を 2 つ合成すると、共役が打ち消し合って (I) の形になり、(I) と (II) を合成すると (II) の形になる。鏡映は (II) の形なので、thm-pic-three-reflections から、鏡映の個数が偶数なら (I)、奇数なら (II) である。(I) と (II) が同じ写像になると仮定して $z=0,1,i$ を代入すると $a=0$ となり、$\lvert a\rvert=1$ に反する。

要点：lem-pic-reflection-formula の式を 2 回使う。交わる場合は $\sigma_2(\sigma_1(z))=p+e^{2i\theta}(z-p)$ となり、平行な場合は向きに沿った成分が打ち消し合って $2\vec v$ の平行移動になる。

方針：(I) の形は不動点で、(II) の形は 2 回続けた写像 $f\circ f$ で見分ける。(II) では $f\circ f$ が $t$ の平行移動になり、$t=0$ なら鏡映、$t\ne0$ なら $\dfrac t2$ だけ戻した写像が鏡映になる。
段 1（(I) の形）。$a=1$ なら $f(z)=z+b$ で、$b\ne0$ の平行移動である（$b=0$ は恒等写像）。$a\ne1$ なら、$f(c)=c$ となる点は $c=ac+b$、つまり $c=\dfrac{b}{1-a}$ ただ 1 つで、$b=c-ac$ を代入すると
$$ f(z)=az+c-ac=c+a(z-c) $$
である。$z-c$ を $a$ 倍する、つまり $c$ のまわりに角 $\arg a$ だけ回す写像である（複素数の掛け算は回転と拡大 の命題「向きを保つ合同変換の合成」と同じ計算）。
段 2（(II) の形を 2 回）。$f(z)=a\overline z+b$ とすると、$a\overline a=1$ から
$$ f(f(z))=a\,\overline{(a\overline z+b)}+b=a\overline a\,z+a\overline b+b=z+t $$
である。つまり $f\circ f$ は $t$ の平行移動である。
段 3（$t$ と $a$ の関係）。$a\overline t=a(\overline a b+\overline b)=b+a\overline b=t$ である。$a=e^{2i\varphi}$ と書くと、$t=e^{2i\varphi}\,\overline t$ の両辺に $e^{-i\varphi}$ を掛けて $e^{-i\varphi}t=\overline{e^{-i\varphi}t}$、つまり $e^{-i\varphi}t$ は実数である。したがって $t$ は向き $e^{i\varphi}$ に平行である。
段 4（$t=0$ なら鏡映）。$t=0$ のとき、$p:=\dfrac b2$ とおくと $a\overline p+b=\dfrac{a\overline b}2+b=\dfrac{-b}2+b=p$ で（$t=0$ から $a\overline b=-b$）、$p$ は動かない。$b=p-a\overline p$ を代入すると
$$ f(z)=a\overline z+p-a\overline p=p+a\,\overline{(z-p)} $$
となり、lem-pic-reflection-formula により、$p$ を通り向き $e^{i\varphi}$ の直線に関する鏡映である。
段 5（$t\ne0$ ならすべり鏡映）。$g(z):=f(z)-\dfrac t2=a\overline z+b'$（$b':=b-\dfrac t2$）とおく。段 3 の $a\overline t=t$ を使うと
$$ a\overline{b'}+b'=a\overline b+b-\frac{a\overline t+t}2=t-\frac{t+t}2=0 $$
なので、段 4 により $g$ は向き $e^{i\varphi}$ の直線に関する鏡映である。$f(z)=g(z)+\dfrac t2$ なので、$f$ は鏡映 $g$ の後に $\dfrac t2$ の平行移動を行う写像であり、段 3 から $\dfrac t2$ は軸に平行で $\vec 0$ でない。よって $f$ はすべり鏡映である。
段 6（1 種類だけ）。平行移動（$b\ne0$）とすべり鏡映には動かない点がない（すべり鏡映 $f$ で $f(z)=z$ なら $f(f(z))=z$ となり、段 2 の $t\ne0$ に反する）。回転は動かない点がちょうど 1 つ、鏡映は軸の上の点がすべて動かない。また、平行移動・回転は (I)、鏡映・すべり鏡映は (II) の形で、thm-pic-complex により両方の形にはならない。したがって 4 種類のどれに当たるかは 1 通りに決まる。$\square$