開被覆の脈体

$\sigma$ を $N(\mathfrak V)$ の単体とし、$x\in V_\sigma$ をとる。$j\in\sigma$ について $x\in V_j\subset U_{\lambda(j)}$ かつ $x\in V_j\subset U_{\lambda'(j)}$ なので、$x$ は $\lambda(\sigma)\cup\lambda'(\sigma)$ に属するすべての開集合に入り、この集合は $N(\mathfrak U)$ の単体である。その部分集合として $\lambda(\sigma)$ も単体であり、1 が従う。2 の $H$ は、各閉単体 $|\sigma|\times[0,1]$ を単体 $|\lambda(\sigma)\cup\lambda'(\sigma)|$ の中へ写すので値は $|N(\mathfrak U)|$ に入り、各 $|\sigma|\times[0,1]$ の上で連続である。$|N(\mathfrak V)|\times[0,1]$ の位相はこれらの閉集合で決まるので（単体近似定理 の補題「多面体と区間の積の位相」）、$H$ は連続である。2 の最後の一般の主張を示す。$\Delta_\bullet(K)$ を $K$ の単体的鎖複体、$\iota_K\colon\Delta_\bullet(K)\to C_\bullet(\lvert K\rvert)$ を単体 $[v_0,\dots,v_p]$（$v_0< \cdots< v_p$）を頂点の順序を保つ線形な特異単体へ送る鎖写像とする（Hat02 p. 202 の同型は $\iota_K$ の双対が誘導する）。1 つの単体の頂点の列 $(w_0,\dots,w_p)$ の記号 $[w_0,\dots,w_p]\in\Delta_p(L)$ を、重複があれば $0$、相異なれば並べ替えた単体の置換の符号倍と約束すると、$\partial[w_0,\dots,w_p]=\sum_i(-1)^i[w_0,\dots,\widehat{w_i},\dots,w_p]$ が成り立つ（相異なる場合は、隣り合う 2 つを入れ替えると両辺の符号が変わることから従う。$w_j=w_k$（$j< k$）なら、$w_j$ を除いた項と $w_k$ を除いた項は $k-j-1$ 回の互換で移り合うので打ち消し、ほかの項は $0$ である）。よって $g_\natural[v_0,\dots,v_p]:=[g(v_0),\dots,g(v_p)]$ は鎖写像で、$g^\sharp$ はその双対である。$\alpha:=\iota_Lg_\natural$ と $\beta:=\lvert g\rvert_\sharp\iota_K$ は、$K$ の各単体 $\sigma$ とその面を、$g(\sigma)$ が張る閉単体 $\lvert g(\sigma)\rvert$ の特異鎖へ送り、頂点 $v$ をどちらも点 $g(v)$ へ送る。$p$ についての帰納法で、$D\sigma\in C_{p+1}(\lvert g(\sigma)\rvert)$ を $\partial D\sigma=\alpha\sigma-\beta\sigma-D\partial\sigma$ となるようにとれる。実際、右辺 $z$ は $C_p(\lvert g(\sigma)\rvert)$ に入り、帰納法の仮定から $\partial z=0$ であり、$p=0$ では $z=0$、$p\ge1$ では凸集合 $\lvert g(\sigma)\rvert$ は可縮なので $H_p(\lvert g(\sigma)\rvert)=0$ である（Hat02 Proposition 2.8・Corollary 2.11、pp. 110–111）。よって $\alpha$ と $\beta$ は鎖ホモトピックで、それらの双対はコホモロジーに同じ写像を誘導する。とくに $\lambda$、$\lambda'$ が誘導する写像は、ホモトピックな $\lvert\lambda\rvert$、$\lvert\lambda'\rvert$ が特異コホモロジーに誘導する同じ写像に対応するので等しい。3 は $W_k\subset V_{\kappa(k)}\subset U_{\lambda(\kappa(k))}$ による。$\square$

1：$U_{i_0\cdots i_p}=\emptyset$ の成分は $\underline G(\emptyset)=0$ なので落ち、残る成分は $i_0< \cdots< i_p$ で $\{i_0,\dots,i_p\}$ が $N(\mathfrak U)$ の $p$ 単体となるものである。よって $p$ 次の項は、$N(\mathfrak U)$ の各 $p$ 単体に $G$ の元を与える関数の群、すなわち単体的 $p$ コチェインの群である。微分 $(dc)_{i_0\cdots i_{p+1}}=\sum_k(-1)^kc_{i_0\cdots\widehat{i_k}\cdots i_{p+1}}$ は、制限が恒等写像なので、単体的コチェインの余境界の式そのものである（$U_{i_0\cdots i_{p+1}}\ne\emptyset$ ならその面の交わりも空でない）。2 は 1 と Čechコホモロジー の注意「被覆によらない版」「交代複体」による。$\square$

$\operatorname{st}v$ は空でなく、相異なる頂点 $w_0,\dots,w_k$ について $\operatorname{st}w_0\cap\cdots\cap\operatorname{st}w_k\ne\emptyset$ であることと $\{w_0,\dots,w_k\}$ が $K$ の単体であることは同値である（単体近似定理 の補題「星状近傍の基本性質」の (R3)）。よって $v\mapsto\operatorname{st}v$ は $K$ から $N(\mathfrak S_K)$ への同型であり、実現は同相である。$\square$

$q_m$ は全射なので $r_{m,m'}$ はただ 1 つに決まり、$r_{m,m}=\mathrm{id}$、$r_{m,m'}r_{m',m''}=r_{m,m''}$ である（両辺に $q_{m''}$ を合成すると $q_m$ になる）。同相 $h_m\colon|K_m|\to T_m$ を固定する。
段 1（細かい星被覆）。 $K_m$ の $r$ 回の重心細分を $K_m^{(r)}$ とし、その頂点 $v$ の開星状近傍 $\operatorname{st}v$ をとる。$|K_m^{(r)}|=|K_m|$ であり、prop-noc-star により、$T_m$ の開被覆 $\mathcal W_{m,r}=\{h_m(\operatorname{st}v)\}_v$ の脈体は $K_m^{(r)}$ である。$K_m$ を Euclid 空間の中の有限な幾何的単体複体として実現すると、$r\to\infty$ で $K_m^{(r)}$ の単体の直径は $0$ に近づき（重心細分 の系「反復した重心細分の網目」）、$\operatorname{st}v$ の直径はその 2 倍以下である。$h_m$ は一様連続なので、任意の $\eta>0$ に対し、$r$ を大きくとれば $\mathcal W_{m,r}$ の各集合の直径は $\eta$ 未満になる。
段 2（引き戻した被覆は共終）。 $X$ はコンパクトなので有限開被覆の全体は細分について共終であり、Čech コホモロジーは有限開被覆だけで計算できる。有限開被覆 $\mathfrak U$ の Lebesgue 数 $\delta>0$ をとる（Lebesgue数の補題）。条件 1 から $\sup\lvert q_m-\mathrm{id}\rvert< \delta/3$ となる $m$ がとれ（$m$ はいくらでも大きくとれる）、段 1 から $\mathcal W_{m,r}$ の各集合の直径が $\delta/3$ 未満となる $r$ がとれる。$x,x'\in q_m^{-1}(W)$ なら
$$ \lvert x-x'\rvert\le\lvert x-q_m(x)\rvert+\lvert q_m(x)-q_m(x')\rvert+\lvert q_m(x')-x'\rvert< \delta $$
なので、引き戻し $\mathfrak V_{m,r}:=q_m^{-1}(\mathcal W_{m,r})$ は $\mathfrak U$ を細分する。$q_m$ は全射なので、引き戻した有限個の集合が共通点をもつことと、もとの集合が共通点をもつことは同値であり、$N(\mathfrak V_{m,r})=N(\mathcal W_{m,r})=K_m^{(r)}$ である。よって
$$ H^q(N(\mathfrak V_{m,r});G)\cong H^q(|K_m|;G)\cong H^q(T_m;G) $$
である（単体的コホモロジーと特異コホモロジーの同型、Hat02 p. 202）。
段 3（つなぎの写像は $r_{m,m'}^*$）。 $m\le m'$ とし、$\mathfrak V_{m',r'}$ が $\mathfrak V_{m,r}$ を細分するとする（$r_{m,m'}^{-1}(\mathcal W_{m,r})$ の Lebesgue 数より細かく $r'$ をとれば、必ずそうなる）。細分写像 $g$ は $q_{m'}^{-1}(h_{m'}(\operatorname{st}w))\subset q_m^{-1}(h_m(\operatorname{st}g(w)))=q_{m'}^{-1}\bigl(r_{m,m'}^{-1}(h_m(\operatorname{st}g(w)))\bigr)$ をみたし、$q_{m'}$ の全射性から、$f:=h_m^{-1}r_{m,m'}h_{m'}\colon|K_{m'}|\to|K_m|$ について $f(\operatorname{st}w)\subset\operatorname{st}g(w)$ となる。つまり $g\colon K_{m'}^{(r')}\to K_m^{(r)}$ は $f$ の単体近似であり（単体近似定理 の定義「単体近似」）、$|g|\simeq f$ である（同記事の定理「単体近似はもとの写像にホモトピック」）。よって prop-noc-refinement の 2 の最後の主張と、ホモトピックな写像が特異コホモロジーに同じ写像を誘導することから、段 2 の同一視のもとで、細分が誘導する写像は $r_{m,m'}^*\colon H^q(T_m;G)\to H^q(T_{m'};G)$ である。$m=m'$ では恒等写像である。
段 4（帰納極限の比較）。 $c\in H^q(T_m;G)$ を段 2 の同一視で $H^q(N(\mathfrak V_{m,r});G)$ の元とみて、その $\check H^q(X;G)$ での像を $\Phi(c)$ とする。段 3 により $\Phi(c)$ は $r$ によらず、$\Phi(r_{m,m'}^*c)=\Phi(c)$ なので、準同型 $\Phi\colon\varinjlim_mH^q(T_m;G)\to\check H^q(X;G)$ が定まる。$\check H^q(X;G)$ の元はある有限開被覆から来て、その被覆は段 2 によりある $\mathfrak V_{m,r}$ に細分されるので、$\Phi$ は全射である。$\Phi(c)=0$ なら、$c$ はある開被覆への像で $0$ になり、その被覆を細分する $\mathfrak V_{m',r'}$（$m'\ge m$）での像も $0$ である。細分写像の合成は細分写像で、誘導される写像は選び方によらないので（prop-noc-refinement）、この像は段 3 により $r_{m,m'}^*c$ であり、$c$ は帰納極限で $0$ である。よって $\Phi$ は同型である。$\square$