Tate捻り
概要
Tate捻り（Tate twist）とは、素数 $\ell$ が可逆な体やスキームの上で、$1$ の $\ell^\nu$ 乗根の群を $\ell$ 乗写像でつないだ射影極限 $\mathbb Z_\ell(1)=\varprojlim_\nu\mu_{\ell^\nu}$ と、そのテンソル冪・双対 $\mathbb Z_\ell(n)$ のことであり、係数 $M$ について $M(n)=M\otimes\mathbb Z_\ell(n)$ と書く。加群としては $\mathbb Z_\ell$ だが、Galois 群は円分指標の $n$ 乗で作用する。代数閉体の上では $\mathbb Z_\ell$ と同型になるが、同型は $1$ の冪根の選び方による。有限体上では幾何的 Frobenius が $\mathbb Z_\ell(-n)$ に $q^n$ 倍で作用する。
前提知識: 1の冪根, p進整数, 射影極限, Galois群, エタールコホモロジー
Tate捻りとは
素数 $\ell$ を固定する。体 $k$ の標数が $\ell$ でないとき、$k$ の分離閉包の中の $1$ の $\ell^\nu$ 乗根たちは、$\ell$ 乗写像でつなぐと射影系をなし、その極限は階数 $1$ の自由 $\mathbb Z_\ell$ 加群になる。この加群を $\mathbb Z_\ell(1)$ と書き、そのテンソル冪や双対を $\mathbb Z_\ell(n)$（$n\in\mathbb Z$）と書く。これがTate捻りである。係数加群 $M$ に $\mathbb Z_\ell(n)$ をテンソルしたもの $M(n)$ を「$M$ を $n$ 回捻ったもの」という。
$\mathbb Z_\ell(1)$ は、加群としてはただの $\mathbb Z_\ell$ と同型である。違いは Galois 群の作用にある。$k$ の絶対 Galois 群は $\mathbb Z_\ell(1)$ に円分指標で作用し、$\mathbb Z_\ell$ には自明に作用する。代数閉体の上では作用が消えるので両者は同型になるが、その同型は $1$ の冪根の選び方に依存し、標準的ではない。ℓ進コホモロジーで捻りを書き分けるのは、この「標準的でない」部分に、Frobenius の固有値や双有理不変量の答えを決める情報が入っているからである。
定義
以下、$\ell$ は素数、$\nu\geq1$ は整数とする。
$S$ をスキームとし、$\ell$ が $S$ 上で可逆（すなわち $\ell\in\Gamma(S,\mathcal O_S)^\times$）であるとする。エタール景 $S_{\mathrm{et}}$ 上のアーベル層 $\mu_{\ell^\nu}$ を
$$
\mu_{\ell^\nu}(T):=\{x\in\Gamma(T,\mathcal O_T)^\times : x^{\ell^\nu}=1\}\qquad(T\to S\ \text{はエタール})
$$
で定める。$\ell$ 乗写像 $x\mapsto x^\ell$ は層の準同型 $\mu_{\ell^{\nu+1}}\to\mu_{\ell^\nu}$ を与える。$S=\operatorname{Spec}k$（$k$ は体）のときは、$\mu_{\ell^\nu}$ は分離閉包 $k_s$ の中の $1$ の $\ell^\nu$ 乗根の群 $\mu_{\ell^\nu}(k_s)$ に Galois 群 $\operatorname{Gal}(k_s/k)$ が作用したものと同じである。
$\ell$ が可逆なので $\mu_{\ell^\nu}$ は局所定数層で、各茎は位数 $\ell^\nu$ の巡回群である（下の「代数閉体の上での自明化」の証明を見よ）。
$\ell$ が可逆なスキーム $S$ 上で、整数 $n$ に対し、階数 $1$ の自由 $\mathbb Z/\ell^\nu$ 加群の局所定数層
$$
\mathbb Z/\ell^\nu(n):=
\begin{cases}
\mu_{\ell^\nu}^{\otimes n} & (n\geq1),\\
\mathbb Z/\ell^\nu & (n=0),\\
\mathcal{H}om(\mu_{\ell^\nu}^{\otimes(-n)},\mathbb Z/\ell^\nu) & (n<0)
\end{cases}
$$
を定める（テンソル積は $\mathbb Z/\ell^\nu$ 上でとる）。$\ell$ 乗写像から誘導される遷移写像 $\mathbb Z/\ell^{\nu+1}(n)\to\mathbb Z/\ell^\nu(n)$ による射影系
$$
\mathbb Z_\ell(n):=\bigl(\mathbb Z/\ell^\nu(n)\bigr)_{\nu\geq1}
$$
を Tate捻りという。体 $k$ 上では、これは $\mathbb Z_\ell$ 加群
$$
\mathbb Z_\ell(n)=\varprojlim_\nu\mathbb Z/\ell^\nu(n)(k_s)
$$
に $\operatorname{Gal}(k_s/k)$ が連続に作用したものと同じ情報である。さらに
$$
\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(n):=\varinjlim_\nu\mathbb Z/\ell^\nu(n),\qquad \mathbb Q_\ell(n):=\mathbb Z_\ell(n)\otimes_{\mathbb Z_\ell}\mathbb Q_\ell
$$
とおく。前者の遷移写像 $\mathbb Z/\ell^\nu(n)\to\mathbb Z/\ell^{\nu+1}(n)$ は、$x$ を遷移写像 $\mathbb Z/\ell^{\nu+1}(n)\to\mathbb Z/\ell^\nu(n)$ に沿って $\tilde x$ に持ち上げ、$\ell\tilde x$ を対応させる単射である（持ち上げの差は $\ell^\nu$ 倍の元なので、$\ell\tilde x$ は持ち上げによらない）。$n=1$ ではこれは包含 $\mu_{\ell^\nu}\subset\mu_{\ell^{\nu+1}}$ に一致し、$\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(1)=\mu_{\ell^\infty}$ となる。$n\geq2$ で各因子の包含のテンソル積をとると $\zeta_\nu^{\otimes n}\mapsto\ell^n\zeta_{\nu+1}^{\otimes n}$ となり、帰納極限が $0$ になってしまうので、その写像は使わない。
$\ell$ 進の係数 $M$（$\mathbb Z_\ell$ 加群の層の射影系、あるいは Galois 群の連続表現）に対して、$M(n):=M\otimes_{\mathbb Z_\ell}\mathbb Z_\ell(n)$ と書く。$n,m\in\mathbb Z$ について $\mathbb Z_\ell(n)\otimes\mathbb Z_\ell(m)\cong\mathbb Z_\ell(n+m)$、$\mathcal Hom(\mathbb Z_\ell(n),\mathbb Z_\ell)\cong\mathbb Z_\ell(-n)$ が、各段の自然な同型から標準的に成り立つ（階数 $1$ の自由加群のテンソル積と双対の性質による）。
コホモロジーは各段の射影極限で定める：
$$
H^i(X,\mathbb Z_\ell(n)):=\varprojlim_\nu H^i(X,\mathbb Z/\ell^\nu(n)).
$$
各段 $H^i(X,\mathbb Z/\ell^\nu(n))$ が有限なら、この極限は完全性のよい振る舞いをもつ（有限群の逆系では $\varprojlim{}^1=0$）。詳しくは ℓ進コホモロジー を参照。
円分指標による記述
体 $k$ の標数が $\ell$ でないとする。$\sigma\in\operatorname{Gal}(k_s/k)$ に対し、各 $\nu$ について $\zeta\in\mu_{\ell^\nu}(k_s)$ を $\sigma(\zeta)=\zeta^{a_\nu}$ と書く整数 $a_\nu$ が $\bmod\ \ell^\nu$ で一意に定まり、$(\mathbb Z/\ell^\nu)^\times$ の元になる。$a_{\nu+1}\equiv a_\nu\pmod{\ell^\nu}$ なので、極限
$$
\chi_\ell(\sigma):=\varprojlim_\nu a_\nu\in\mathbb Z_\ell^\times
$$
が定まる。$\chi_\ell:\operatorname{Gal}(k_s/k)\to\mathbb Z_\ell^\times$ を $\ell$ 進円分指標という。
$\sigma\in\operatorname{Gal}(k_s/k)$ は $\mathbb Z_\ell(n)$ に $\chi_\ell(\sigma)^n$ 倍で作用する（$n\in\mathbb Z$）。
$\mu_{\ell^\nu}(k_s)$ は位数 $\ell^\nu$ の巡回群なので、その自己同型は $a\in(\mathbb Z/\ell^\nu)^\times$ 乗で与えられ、$\sigma$ の作用は $a_\nu$ 乗である。$\ell$ 乗写像は $\sigma$ と可換なので $a_{\nu+1}$ と $a_\nu$ は $\bmod\ \ell^\nu$ で一致し、$\chi_\ell$ が定まる。$n=1$ では、$\mathbb Z_\ell(1)$ の元 $(\zeta_\nu)_\nu$ は $\sigma$ で $(\zeta_\nu^{a_\nu})_\nu$ に写り、これは $\mathbb Z_\ell$ 加群の記法で $\chi_\ell(\sigma)\cdot(\zeta_\nu)_\nu$ である。
$n\geq1$ では、Galois 作用はテンソル積の各因子に同時に作用するので、$t_1\otimes\cdots\otimes t_n$ は $\chi_\ell(\sigma)^n\,t_1\otimes\cdots\otimes t_n$ に写る。$n<0$ では、$f\in\operatorname{Hom}(\mathbb Z_\ell(-n),\mathbb Z_\ell)$ への作用は $(\sigma f)(x)=\sigma(f(\sigma^{-1}x))=f(\chi_\ell(\sigma)^{n}x)=\chi_\ell(\sigma)^{n}f(x)$ である（$\mathbb Z_\ell$ への作用は自明で、$\sigma^{-1}$ は $\mathbb Z_\ell(-n)$ に $\chi_\ell(\sigma)^{n}$ 倍で作用する）。$n=0$ は自明である。
代数閉体の上での自明化
$S$ を代数閉体 $k$ 上のスキームとし、$\ell\neq\operatorname{char}k$ とする。
- 各 $\nu$ について、$\mu_{\ell^\nu}$ は $S_{\mathrm{et}}$ 上で値 $\mu_{\ell^\nu}(k)$ の定数層であり、$\mu_{\ell^\nu}(k)$ は位数 $\ell^\nu$ の巡回群である。
- $\ell$ 乗写像と両立する生成元の系 $(\zeta_\nu)_{\nu\geq1}$（$\zeta_\nu$ は $1$ の原始 $\ell^\nu$ 乗根で $\zeta_{\nu+1}^\ell=\zeta_\nu$）が存在する。その一つを選ぶと、すべての $n\in\mathbb Z$ について射影系の同型 $\mathbb Z_\ell(n)\cong\mathbb Z_\ell$ が得られる。
- そのような系全体の集合には $\mathbb Z_\ell^\times$ が単純推移的に作用する。選び方を $u\in\mathbb Z_\ell^\times$ で取り替えると、$\mathbb Z_\ell(n)\cong\mathbb Z_\ell$ は $u^n$ 倍だけ変わる。
- $\ell^\nu$ は $k$ で可逆なので、多項式 $x^{\ell^\nu}-1$ は導関数 $\ell^\nu x^{\ell^\nu-1}$ と共通根をもたず、代数閉体 $k$ の上で相異なる $\ell^\nu$ 個の一次式に分解する。したがって $\mu_{\ell^\nu}(k)$ は位数 $\ell^\nu$ の群で、体の乗法群の有限部分群なので巡回群である。さらに群スキームとして $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{\ell^\nu}-1)$ は $\ell^\nu$ 個の $\operatorname{Spec}k$ の非交和であり、これを $S$ へ底変換すると、$\mu_{\ell^\nu}$ は $S$ の $\ell^\nu$ 個の複製の非交和で表現される。これは値 $\mu_{\ell^\nu}(k)$ の定数層である。
- $P_\nu$ を $1$ の原始 $\ell^\nu$ 乗根全体とする。$\zeta\in P_{\nu+1}$ なら $\zeta^\ell\in P_\nu$ であり、逆に $\eta\in P_\nu$ の $\ell$ 乗根（$k$ は代数閉なので存在する）はどれも位数 $\ell^{\nu+1}$ をもつので $P_{\nu+1}$ に属する。よって $P_{\nu+1}\to P_\nu$ は全射であり、$\zeta_1\in P_1$ から始めて順に $\ell$ 乗根をとれば両立する系が作れる。$\zeta_\nu$ は巡回群 $\mu_{\ell^\nu}(k)$ の生成元なので、$1\mapsto\zeta_\nu$ は定数層の同型 $\mathbb Z/\ell^\nu\cong\mu_{\ell^\nu}$ を与え、両立性からこれは $\ell$ 乗写像と自然な射影 $\mathbb Z/\ell^{\nu+1}\to\mathbb Z/\ell^\nu$ を対応させる。テンソル冪と双対をとれば、すべての $n$ について $\mathbb Z/\ell^\nu(n)\cong\mathbb Z/\ell^\nu$ が遷移写像と両立して得られる。
- 二つの系 $(\zeta_\nu)$、$(\zeta'_\nu)$ について $\zeta'_\nu=\zeta_\nu^{u_\nu}$ となる $u_\nu\in(\mathbb Z/\ell^\nu)^\times$ が一意に定まり、両立性から $u_{\nu+1}\equiv u_\nu\pmod{\ell^\nu}$ なので $u=\varprojlim u_\nu\in\mathbb Z_\ell^\times$ が定まる。逆に任意の $u$ は系を系に写す。$n$ 回のテンソル冪では $u^n$ 倍になる。$n<0$ では、$\zeta_\nu^{\otimes(-n)}$ の双対基底が $u^{n}$ 倍に変わるので、同型 $\mathbb Z_\ell\to\mathbb Z_\ell(n)$ はやはり $u^n$ 倍だけ変わる。
この命題の 3 が「標準的でない」ことの正確な意味である。$k$ の自己同型 $\tau$ は系 $(\zeta_\nu)$ を $(\tau(\zeta_\nu))$ に写すが、$\tau$ が $1$ の冪根に非自明に作用すれば、選んだ同型は $\tau$ と両立しない（反例の節の二つ目）。
有限体とFrobenius
$k=\mathbb F_q$ を $q$ 元体、$\ell\nmid q$、$\bar k$ をその代数閉包とする。$\varphi\in\operatorname{Gal}(\bar k/k)$ を $\varphi(x)=x^q$ で定まる算術的 Frobenius、$F:=\varphi^{-1}$ を幾何的 Frobenius とする。このとき $n\in\mathbb Z$ について
- $\varphi$ は $\mathbb Z_\ell(n)$ に $q^n$ 倍で作用し、$F$ は $q^{-n}$ 倍で作用する。とくに $F$ は $\mathbb Z_\ell(-n)$ に $q^n$ 倍で作用する。
- $k$ 上のスキーム $Z$ について、$Z_{\bar k}:=Z\otimes_k\bar k$ とおくと、Galois 作用と両立する標準的な同型
$$ H^j(Z_{\bar k},\mathbb Z_\ell(n))\cong H^j(Z_{\bar k},\mathbb Z_\ell)\otimes_{\mathbb Z_\ell}\mathbb Z_\ell(n)(\bar k) $$
がある。したがって $F$ の左辺での固有値は、$H^j(Z_{\bar k},\mathbb Z_\ell)$ での固有値の $q^{-n}$ 倍である。
- $\varphi$ は $1$ の冪根を $q$ 乗するので $\chi_\ell(\varphi)=q$ であり、上の命題「捻りへのGalois作用」から $\varphi$ は $q^n$ 倍、$F=\varphi^{-1}$ は $q^{-n}$ 倍で作用する。
- $T_\nu:=\mathbb Z/\ell^\nu(n)(\bar k)$ は階数 $1$ の自由 $\mathbb Z/\ell^\nu$ 加群で、$Z_{\bar k}$ 上の層 $\mathbb Z/\ell^\nu(n)$ は値 $T_\nu$ の定数層である（前の命題の 1）。$m\in T_\nu$ は係数の準同型 $\mathbb Z/\ell^\nu\to T_\nu$、$1\mapsto m$ を定めるので、コホモロジーの関手性から双線形写像
$$ H^j(Z_{\bar k},\mathbb Z/\ell^\nu)\times T_\nu\to H^j(Z_{\bar k},T_\nu) $$
が得られる。これは選択によらずに定まり、$m$ を $T_\nu$ の基底にとれば同型 $H^j(Z_{\bar k},\mathbb Z/\ell^\nu)\otimes T_\nu\cong H^j(Z_{\bar k},T_\nu)$ を与える。Galois 群は $Z_{\bar k}$ と $T_\nu$ の両方に構造の輸送で作用し、上の写像はこれと両立する。$\nu$ について両立する基底を選べば（前の命題の 2）、射影極限をとって同型を得る。固有値の主張は 1 から従う。
原論文は、捻り $[-q]$ で固有値が $N^q$ 倍になる（$N$ は有限体の元の数）とだけ書き、Frobenius の向きを明示していない。上の命題の 1 のとおり、この記述は幾何的 Frobenius について正しく、算術的 Frobenius では逆数の倍率になる。幾何的 Frobenius の作用が、$Z$ の Frobenius 自己準同型が引き起こすコホモロジーの作用と一致することはよく知られているが、本記事ではその証明を扱わない。
例
体 $k$ の標数が $\ell$ でないとき、乗法群 $k_s^\times$ の Tate加群 は
$$
T_\ell(k_s^\times)=\varprojlim_\nu\,\{x\in k_s^\times : x^{\ell^\nu}=1\}=\varprojlim_\nu\mu_{\ell^\nu}(k_s)=\mathbb Z_\ell(1)
$$
である（遷移はどちらも $\ell$ 乗）。つまり $\mathbb Z_\ell(1)$ は「乗法群の Tate 加群」そのものであり、Galois 作用は円分指標で与えられる。
$k$ を代数閉体、$\ell\neq\operatorname{char}k$、$X$ を $k$ 上固有・連結・被約なスキームとする。このとき
$$
H^1(X,\mathbb Z_\ell(1))\cong T_\ell(\operatorname{Pic}X)
$$
である。
理由。Kummer完全列 $1\to\mu_{\ell^\nu}\to\mathbb G_m\xrightarrow{\ell^\nu}\mathbb G_m\to1$ の長完全列と $H^1(X_{\mathrm{et}},\mathbb G_m)\cong\operatorname{Pic}X$ から
$$
0\to\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times/\ell^\nu\to H^1(X,\mu_{\ell^\nu})\to\operatorname{Pic}(X)[\ell^\nu]\to0
$$
が完全である。$X$ が固有・連結・被約で $k$ が代数閉なら $\Gamma(X,\mathcal O_X)=k$（固有射の連接コホモロジーの有限性からの標準的な帰結）なので、左端は $k^\times/\ell^\nu=0$ である。$\nu+1$ 段と $\nu$ 段の Kummer 列を、左の $\mathbb G_m$ では $\ell$ 乗、右の $\mathbb G_m$ では恒等写像で結ぶと可換になり、核の上では $\mu_{\ell^{\nu+1}}\to\mu_{\ell^\nu}$ の $\ell$ 乗写像になる。したがって上の同型は、左辺の遷移写像と右辺の $\ell$ 倍写像 $\operatorname{Pic}(X)[\ell^{\nu+1}]\to\operatorname{Pic}(X)[\ell^\nu]$ を対応させ、射影極限をとって主張を得る。
左辺の係数が $\mathbb Z_\ell$ ではなく $\mathbb Z_\ell(1)$ であることに注意する。$\operatorname{Pic}X$ から $H^1$ への同一視が係数を選ばずに定まるのは、捻り $(1)$ の係数の場合である。
$k$ を代数閉体、$\ell\neq\operatorname{char}k$ とする。Kummer 完全列から
$$
0\to\operatorname{Pic}(\mathbb P^1_k)/\ell^\nu\to H^2(\mathbb P^1_k,\mu_{\ell^\nu})\to\operatorname{Br}'(\mathbb P^1_k)[\ell^\nu]\to0
$$
が完全である。$\operatorname{Br}'(\mathbb P^1_k)=0$（代数閉体上の曲線についてよく知られた事実で、Tsen の定理を使う。本記事では証明しない）を認めると、次数写像 $\operatorname{Pic}(\mathbb P^1_k)\cong\mathbb Z$ により
$$
H^2(\mathbb P^1_k,\mathbb Z_\ell(1))\cong\mathbb Z_\ell,\qquad\text{同じことだが}\qquad H^2(\mathbb P^1_k,\mathbb Z_\ell)\cong\mathbb Z_\ell(-1)
$$
が標準的に得られる。点の類が $H^2(\mathbb P^1_k,\mathbb Z_\ell(1))$ の標準的な生成元を与える。$k$ が有限体 $\mathbb F_q$ の代数閉包なら、幾何的 Frobenius は $H^2(\mathbb P^1_{\bar k},\mathbb Z_\ell)\cong\mathbb Z_\ell(-1)$ に $q$ 倍で作用する（命題「Frobeniusの捻りへの作用」）。これは $\mathbb P^1$ の $\mathbb F_q$ 点の個数 $q+1$ の中の $q$ に対応する。
反例
$k=\mathbb Q$ とすると、$\mathbb Z_\ell(1)$ は $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ 加群として自明な作用の $\mathbb Z_\ell$ と同型でない。実際、複素共役 $c$ はすべての $1$ の冪根を逆数に写すので $\chi_\ell(c)=-1$ であり、$c$ は $\mathbb Z_\ell(1)$ に $-1$ 倍で作用する。$\mathbb Z_\ell(1)$ は捩れのない非零の加群なので $-t\neq t$（$t\neq0$）であり、$c$ で固定される非零元は無い。一方、自明な作用の $\mathbb Z_\ell$ ではすべての元が固定される。
満たさない条件は「底が代数閉体を含む」ことである。$\ell\neq\operatorname{char}k$ は満たされている。破られる含意は「$\mathbb Z_\ell(1)\cong\mathbb Z_\ell$」である。$\ell$ が奇素数のときは、有限段 $\mu_\ell$ ですでに $c$ の作用が非自明である。
$k=\mathbb C$ とすると、命題「捻りの非標準的な自明化」により $\mathbb Z_\ell(1)\cong\mathbb Z_\ell$ である。しかし、この同型は $\mathbb C$ の自己同型（たとえば複素共役 $c$）と両立するようには選べない。両立するなら、$1$ に対応する生成元 $t$ が $c(t)=t$ を満たさなければならないが、$c$ は $\mathbb Z_\ell(1)$ に $-1$ 倍で作用するので $c(t)=-t\neq t$ である。
満たさない条件は「同型の標準性（体の自己同型との両立）」であり、同型の存在そのものは成り立っている。したがって、$\mathbb C$ 上のスキームのコホモロジーで捻りを外すと、共役をとる操作や底の取り替えとの整合を別に管理しなければならなくなる。
$k$ を標数 $p>0$ の体とし、$\ell=p$ とする。$x^{p^\nu}-1=(x-1)^{p^\nu}$ なので、被約な $k$ 代数の中の $1$ の $p^\nu$ 乗根は $1$ だけであり、エタール景の上で上の式によって層を定めると $\mu_{p^\nu}=0$ になる。したがって同じ式で作った「$\mathbb Z_p(1)$」は $0$ であり、階数 $1$ の自由加群にならない。
満たさない条件は「$\ell$ が底の上で可逆」である。この場合、群スキーム $\mu_{p^\nu}$ そのものは非自明だがエタールでなく、それを係数として扱うには fppf位相 などエタール位相より細かい位相が要る。
係数の選び方と双有理不変量
代数閉体上の固有・滑らか・連結な多様体 $X$ について、不分岐コホモロジーの 2 次の群は、係数を $\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(1)=\mu_{\ell^\infty}$ にとると、$X$ のコホモロジー的 Brauer 群の $\ell$ 準素部分 $\operatorname{Br}'(X)\{\ell\}$ になり、係数を $\mathbb Z_\ell(1)$ にとると、$H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))$ から因子の類の寄与を除いた「超越的な部分」になる。どちらも捻り $(1)$ を使うのは、因子の類 $\operatorname{Pic}X\to H^2(X,\mu_{\ell^\nu})$ が Kummer 完全列の連結準同型として、係数を選ばずに定まるのがこの捻りのときだからである。代数閉体の上では捻りを外して $\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell$ や $\mathbb Z_\ell$ の係数に書き直せるが、命題「捻りの非標準的な自明化」のとおり、その書き直しは $1$ の冪根の選び方に依存する。二つの計算の証明と仮定は 不分岐コホモロジー と ℓ進コホモロジー に置く。
Grothendieckの論文との関係
Grothendieck の「Brauer 群 III」（Gro68）は、Tate 捻りを $\mathbb Z_\ell[n]$ と書き、有限段の射影極限 $\varprojlim_\nu\mu_{\ell^\nu}^{\otimes n}$ として定めている（一か所だけ $\mathbb Z_\ell(1)$ の表記も現れる）。現在は $\mathbb Z_\ell(n)$ と書くのが普通であり、本記事もそれに従う。
- 自明化。原論文の高次の双有理不変量の節は、底が代数閉体を含めば $\mathbb Z_\ell[n]$ が定数 $\ell$ 進層 $\mathbb Z_\ell$ と非標準的に同型であると、証明なしに述べている。本記事の命題「捻りの非標準的な自明化」はその内容を、両立する $1$ の冪根の系の選択によって示したものである。
- 係数による答えの違い。同じ節は、2 次の不変量を $\mu_{\ell^\infty}$ 係数と $\mathbb Z_\ell[1]$ 係数で別々に計算し、前者が Brauer 群の $\ell$ 準素部分、後者が超越的な部分になると述べる。二つの答えの違いを捻りの非標準性と結びつける説明は原論文にはなく、上の節はそれを読み方として補ったものである。
- Weil 予想との関係の節。原論文は有限体上で $H^j(Z_{\bar k},\mathbb Z_\ell[-q])\cong H^j(Z_{\bar k},\mathbb Z_\ell)\otimes(\text{階数 }1\text{ の加群})$ と書き、固有値が $N^q$ 倍になると述べる。Frobenius の向きは書かれておらず、命題「Frobeniusの捻りへの作用」のとおり幾何的 Frobenius と読むと正しい。
補足
- Hodge 理論での類似。複素多様体の特異コホモロジーでは、$\mathbb Z(1):=2\pi i\,\mathbb Z\subset\mathbb C$ を係数とする捻りが用いられ、指数写像の完全列 $0\to\mathbb Z(1)\to\mathcal O\xrightarrow{\exp}\mathcal O^\times\to0$ が Kummer 完全列の役を果たす。比較同型のもとで $\mathbb Z(1)\otimes\mathbb Z_\ell$ は $\mathbb Z_\ell(1)$ に対応する（$e^{2\pi i/\ell^\nu}$ が両立する $1$ の冪根の系を与える）。
- Tate 捻りの呼び名。$\mathbb Z_\ell(1)$ を「Tate 加群」と呼ぶこともあるが、一般のアーベル群やアーベル多様体の Tate加群 と区別するため、本記事では「Tate 捻り」の語を係数 $\mathbb Z_\ell(n)$ と操作 $M\mapsto M(n)$ に使う。
- 参考書。エタールコホモロジーでの捻りの扱いは Mil80、SGA4h などで標準的に扱われている。
関連項目
参考文献
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