Nadelの消滅定理

$C^\infty$ 級関数 $\chi$ について $\bar\partial(\chi u)=\bar\partial\chi\wedge u+\chi\bar\partial u$ なので、$\mathcal L^q$ は $C^\infty$ 級関数の層の加群であり、細層である（細層 の命題「滑らかな関数の層の加群は細層」）。細層は正の次数のコホモロジーをもたず（同記事の定理「細層の非輪状性」）、非輪状分解は層のコホモロジーを計算する（Dolbeaultの定理 の補題「非輪状分解と入射分解の比較」）ので、最後の主張は完全性から従う。完全性は局所的な主張で、$\mathcal L^0$ では Weyl の補題、$\mathcal L^q$（$q\ge1$）では多重劣調和な重みについての $L^2$ 存在定理から従う。

要点：$\omega$ に、$Y$ に近づくと発散する関数 $\log|\sigma|^2$ と $X_c$ の境界に近づくと発散する関数 $-\log(c-\psi)$ からそれぞれ作った $i\partial\bar\partial$ を足す。足した項は、発散する関数の微分の長さを押さえるので、Riemann 計量の完備性の判定法が使える。

主張は局所的なので、$\Omega$ は $\mathbb C^n$ の開集合としてよい。$Y$ は解析集合の増大列 $Y_0\subset Y_1\subset\cdots$ で、各コンパクト集合の上で止まり、$\bigcup_kY_k=Y$、$Y_k\setminus Y_{k-1}$ が $k$ 次元の複素部分多様体となるものをもつ（Dem12 Ch. II Proposition (5.6)、p. 104。$Y_{-1}:=\emptyset$）。$Y$ の内部は空なので $n$ 次元の部分は現れず、$Y=Y_{n-1}$ である。とくに $Y$ は測度 $0$ の部分多様体の局所有限な和で、測度 $0$ である。$k=n-1,n-2,\dots,0$ の順に、「$\Omega\setminus Y_k$ の上で $\bar\partial v=w$」から「$\Omega\setminus Y_{k-1}$ の上で $\bar\partial v=w$」を示せば、$k=0$ で主張を得る。
超関数の等式は局所的なので、$a\in Y_k\setminus Y_{k-1}$ の近傍 $U\subset\Omega\setminus Y_{k-1}$ で示せばよい。$k\le n-1$ なので、$a$ を中心とする正則な座標 $z$ で $Y_k\cap U\subset\{z_n=0\}$ となるものがとれる。$C^\infty$ 級関数 $\theta\colon\mathbb R\to[0,1]$ を $t\le\frac12$ で $0$、$t\ge1$ で $1$ とし、$\theta_\delta(z):=\theta(|z_n|/\delta)$ とおく。台が $U$ の中でコンパクトな試験形式 $\alpha$ について、$\theta_\delta\alpha$ の台は $\Omega\setminus Y_k$ に含まれるので
$$ \int w\wedge\theta_\delta\alpha=(-1)^{p+q}\int v\wedge\bar\partial(\theta_\delta\alpha)=(-1)^{p+q}\int v\wedge\bigl(\bar\partial\theta_\delta\wedge\alpha+\theta_\delta\,\bar\partial\alpha\bigr) $$
である。$\delta\to0$ のとき $\theta_\delta\to1$ が $\{z_n=0\}$ の外で成り立つので、優収束定理により $\int w\wedge\theta_\delta\alpha\to\int w\wedge\alpha$、$\int v\wedge\theta_\delta\bar\partial\alpha\to\int v\wedge\bar\partial\alpha$ である。残りの項は Cauchy–Schwarz の不等式で
$$ \Bigl|\int v\wedge\bar\partial\theta_\delta\wedge\alpha\Bigr|\le C\Bigl(\int_{\operatorname{supp}\alpha\cap\{|z_n|\le\delta\}}|v|^2d\lambda\Bigr)^{1/2}\Bigl(\int_{\operatorname{supp}\alpha}|\bar\partial\theta_\delta|^2d\lambda\Bigr)^{1/2} $$
と押さえられる。$|\bar\partial\theta_\delta|\le C'/\delta$ で、その台 $\{\delta/2\le|z_n|\le\delta\}$ と $\operatorname{supp}\alpha$ の共通部分の体積は $\delta^2$ の定数倍以下なので、第 2 の因子は有界である。第 1 の因子は $v$ の局所 2 乗可積分性から $0$ に近づく。よって $\int w\wedge\alpha=(-1)^{p+q}\int v\wedge\bar\partial\alpha$ である。$\square$

要点：凸関数の和を局所有限にとり、整数点での値が与えた数列を上回るようにする。

lem-nadel-resolution により、$q\ge1$ と $g\in\Gamma(X,\mathcal L^q)$、$\bar\partial g=0$ について、$\bar\partial u=g$ となる $u\in\Gamma(X,\mathcal L^{q-1})$ を作ればよい。$\psi$ を多重劣調和な $C^\infty$ 級の exhaustion 関数とし、定数を足して $\psi\ge0$ とする。
段階 1：重みの取り替え。 $R_k:=\{k\le\psi< k+1\}$ の閉包はコンパクトで、$g$ は局所的に $h$ について 2 乗可積分、$1/\varepsilon$ はコンパクト集合の上で有界なので、
$$ M_k:=\int_{R_k}|g|_h^2\Bigl(1+\frac1\varepsilon\Bigr)dV_\omega< \infty $$
である。lem-nadel-convex の $\chi$ をとり、$h_\chi:=h\,e^{-\chi(\psi)}$ とおく。$\chi$ は凸で増加し $\psi$ は多重劣調和なので、$i\partial\bar\partial\chi(\psi)=\chi'(\psi)\,i\partial\bar\partial\psi+\chi''(\psi)\,i\partial\psi\wedge\bar\partial\psi\ge0$ であり、$X\setminus Y$ の上で $i\Theta_{h_\chi}(F)=i\Theta_h(F)+i\partial\bar\partial\chi(\psi)\ge\varepsilon\omega$ である。$R_k$ の上で $e^{-\chi(\psi)}\le e^{-\chi(k)}$ なので
$$ C_g:=\int_X|g|_{h_\chi}^2\Bigl(1+\frac1\varepsilon\Bigr)dV_\omega\le\sum_ke^{-\chi(k)}M_k< \infty $$
である。
段階 2：$X_c\setminus Y$ の上で解く。 $c>0$ を固定する。lem-nadel-complete により $X_c\setminus Y$ は完備な Kähler 計量 $\hat\omega_c$ をもつ。$X_c\setminus Y$ の上で $(F,h_\chi)$ は滑らかな Hermite 直線束で、$\omega$ に関する曲率の固有値はすべて $\varepsilon$ 以上である。このとき $(n,q)$ 形式に作用する曲率作用素 $A_q=[i\Theta_{h_\chi}(F),\Lambda_\omega]$ は各点で $\langle A_q^{-1}g,g\rangle\le|g|^2/(q\varepsilon)$ を満たす（Dem12 Ch. VIII (6.4)、p. 377）。完備でないかもしれない Kähler 計量についての $L^2$ 存在定理（Dem12 Ch. VIII Theorem (6.1)、p. 376。完備な Kähler 計量 $\hat\omega_c$ と別の Kähler 計量 $\omega$、半正の直線束についての形）を $X_c\setminus Y$ に使うと、$F$ に値をとる $(n,q-1)$ 形式 $u_c$ で
$$ \bar\partial u_c=g\ \text{（$X_c\setminus Y$ の上）},\qquad\int_{X_c\setminus Y}|u_c|_{h_\chi}^2dV_\omega\le\int_{X_c\setminus Y}\frac{|g|_{h_\chi}^2}{q\varepsilon}dV_\omega\le C_g $$
となるものが得られる。ノルムはどれも $\omega$ と $h_\chi$ で測る。
段階 3：$Y$ を越える。 仮定 1 により局所重みは局所的に上に有界で、$e^{-\chi(\psi)}$ はコンパクト集合の上で正の定数以上なので、局所的な枠で見ると $u_c$ の係数は $X_c$ で局所 2 乗可積分である（$Y$ は測度 $0$ なので、$Y$ の上の値は任意に定める）。$g$ の係数も局所 2 乗可積分で、とくに局所可積分である。lem-nadel-removable により $X_c$ 全体で $\bar\partial u_c=g$ である。
段階 4：$c\to\infty$。 $c_j\to\infty$ をとり、$u_{c_j}$ を $X\setminus X_{c_j}$ で $0$ と定める。これらは $\omega$ と $h_\chi$ について 2 乗可積分な形式のなす Hilbert 空間で、ノルムの 2 乗が $C_g$ 以下なので、弱収束する部分列があり、その極限 $u$ も $\int_X|u|_{h_\chi}^2dV_\omega\le C_g$ を満たす。台がコンパクトな試験形式 $\beta$ について、局所的な枠で書いた $u$ の係数と $\beta$ の係数を積分する汎関数は、この Hilbert 空間の上で連続である（$\beta$ の台の上で局所重みは上に有界で、$e^{\chi(\psi)}$ は有界）。$j$ が大きければ $\beta$ の台は $X_{c_j}$ に含まれるので、$\bar\partial u_{c_j}=g$ を $\beta$ で試した等式が弱極限に移り、$X$ 全体で $\bar\partial u=g$ となる。$e^{\chi(\psi)}$ はコンパクト集合の上で有界なので $u$ は局所的に $h$ について 2 乗可積分で、$\bar\partial u=g$ も同じなので $u\in\Gamma(X,\mathcal L^{q-1})$ である。
したがって $\Gamma(X,\mathcal L^\bullet)$ の $q$ 次コホモロジーは $0$ で、lem-nadel-resolution により $H^q(X,K_X\otimes F\otimes\mathcal I(h))=0$ である。$q>n$ では $\mathcal L^q=0$ なので明らかである。$\square$

同型で枠を $e_F^{\otimes m}\leftrightarrow e_A^{\otimes m}\otimes e_D$ と対応させ、$|e_F|_h^{2m}:=|e_A|_{h_A}^{2m}/|f|^2$（$s_D=fe_D$）で $F$ に特異 Hermite 計量 $h$ を定める。枠の取り替えで矛盾なく定まることは ex-nadel-divisor と同じ計算である。局所重みは $\varphi_A+\frac1m\log|f|$ で仮定 1 を満たし、$h$ は $Y=s_D^{-1}(0)$ の外で滑らかで（$E$、$\sigma$ は ex-nadel-divisor と同じ）、曲率は $i\Theta_{h_A}(A)$ である。$D$ の点を原点とする正規交叉の座標で $f$ は $z_1\cdots z_r$ の単元倍なので、局所重みと $\frac1m\sum_{j\le r}\log\lvert z_j\rvert$ の差は局所有界である。よって 乗数イデアル層 の命題「基本性質」の 2 と例「単項式の重み」（$j\le r$ で $c_j=\frac1m< 1$、$j>r$ で $c_j=0$）により、その点での茎は $\mathcal O_{X,x}$ 全体である。$D$ の外では $h$ は滑らかなので、$\mathcal I(h)=\mathcal O_X$ である。thm-nadel-main から主張が従う。$\square$