位置ベクトルと内分点

$A(1,4)$、$B(7,1)$ とする。

1. 中点（$1:1$ に内分する点）は $\left(\frac{1+7}2,\ \frac{4+1}2\right)=\left(4,\ \frac52\right)$ である。
2. $2:1$ に内分する点は、$m=2$、$n=1$ として $\left(\frac{1\cdot1+2\cdot7}{3},\ \frac{1\cdot4+2\cdot1}{3}\right)=\left(\frac{15}3,\ \frac63\right)=(5,2)$ である。
   2 の点を $P$ とすると、$\overrightarrow{AP}=(4,-2)$、$\overrightarrow{PB}=(2,-1)$ で、$\overrightarrow{AP}=2\,\overrightarrow{PB}$ である。確かに $AP:PB=2:1$ になっている。

$A(1,4)$、$B(7,1)$、$C(4,7)$ を頂点とする三角形の重心 $G$ は、3 つの頂点の座標の平均
$$ G\left(\frac{1+7+4}3,\ \frac{4+1+7}3\right)=G(4,4) $$
である。

1. $A(1,4)$、$B(7,1)$ で、原点 $O(0,0)$ を基準にすると $\vec a=(1,4)$、$\vec b=(7,1)$ なので、$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=(6,-3)$ である。
2. 同じ 2 点で、基準の点を $O'(2,5)$ に替える。$O'$ を基準とする位置ベクトルは $\overrightarrow{O'A}=(1-2,\ 4-5)=(-1,-1)$、$\overrightarrow{O'B}=(7-2,\ 1-5)=(5,-4)$ である。差は $(5,-4)-(-1,-1)=(6,-3)$ で、1 と同じになる。位置ベクトルそのものは基準の点によって変わるが、その差 $\overrightarrow{AB}$ は変わらない。

$A(1,4)$、$B(7,1)$、原点 $O$ を基準にする（図1）。

1. $2:1$ に内分する点 $P$：$\vec p=\frac{1\cdot(1,4)+2\cdot(7,1)}{3}=\frac{(15,6)}{3}=(5,2)$。ex-pvd-start-division の座標の計算と同じ答えである。
2. $2:1$ に外分する点 $Q$：$\vec q=\frac{-1\cdot(1,4)+2\cdot(7,1)}{2-1}=(13,-2)$。$\overrightarrow{AQ}=(12,-6)$、$\overrightarrow{QB}=(-6,3)$ なので $AQ=6\sqrt5$、$QB=3\sqrt5$ で、$AQ:QB=2:1$ である。
3. $1:2$ に外分する点 $R$：$\vec r=\frac{-2\cdot(1,4)+1\cdot(7,1)}{1-2}=\frac{(5,-7)}{-1}=(-5,7)$。$AR=|(-6,3)|=3\sqrt5$、$RB=|(12,-6)|=6\sqrt5$ で、$AR:RB=1:2$ である。$R$ は $A$ の手前にある。

1. ex-pvd-start-centroid の $A(1,4)$、$B(7,1)$、$C(4,7)$ では、$\vec g=\frac{(1,4)+(7,1)+(4,7)}3=\frac{(12,12)}3=(4,4)$ である。
2. 同じ三角形で、辺 $BC$ の中点は $L\left(\frac{11}2,\ 4\right)$ である。中線 $AL$ を $2:1$ に内分する点は $\frac{1\cdot(1,4)+2\cdot\left(\frac{11}2,4\right)}{3}=\frac{(12,12)}3=(4,4)$ で、1 と一致する。

$A(1,4)$、$B(7,1)$ とし、$\vec p=(1-t)\vec a+t\vec b$ とする。

1. $t=\frac13$：$\vec p=\frac23(1,4)+\frac13(7,1)=(3,3)$。$s=\frac23\ge0$、$t\ge0$ なので線分 $AB$ 上の点で、$AB$ を $1:2$ に内分する。
2. $t=\frac32$：$\vec p=-\frac12(1,4)+\frac32(7,1)=\left(10,-\frac12\right)$。$s=-\frac12<0$ なので、直線 $AB$ 上だが線分の外（$B$ の先）にある。
3. $t=-\frac12$：$\vec p=\frac32(1,4)-\frac12(7,1)=\left(-2,\frac{11}2\right)$。$t<0$ なので $A$ の手前にある。
4. $t=2$：$\vec p=-(1,4)+2(7,1)=(13,-2)$。ex-pvd-division の外分点 $Q$ である。

同じ $A(1,4)$、$B(7,1)$ で、点 $R(4,3)$ が直線 $AB$ 上にあるかを調べる。$(4,3)=(1-t)(1,4)+t(7,1)=(1+6t,\ 4-3t)$ となる $t$ があるかを見る。$x$ 成分から $1+6t=4$、$t=\frac12$ である。このとき $y$ 成分は $4-\frac32=\frac52\ne3$ なので、両方を満たす $t$ はない。よって $R$ は直線 $AB$ 上にない。一方 $\left(4,\frac52\right)$ は $t=\frac12$ で直線上にあり、ex-pvd-start-division の中点である。

$A(2,0)$、$B(0,2)$ とし、2 つの基準の点 $O(0,0)$ と $O'(3,1)$ で比べる（図2）。$O'$ から見ると $\overrightarrow{O'A}=(-1,-1)$、$\overrightarrow{O'B}=(-3,1)$ である。

1. 係数の和が $1$ の式 $\frac12\vec a+\frac12\vec b$：$O$ からは $\frac12(2,0)+\frac12(0,2)=(1,1)$ で、点 $M(1,1)$ を表す。$O'$ からは $\frac12(-1,-1)+\frac12(-3,1)=(-2,0)$ で、点 $O'+(-2,0)=(1,1)$ を表す。同じ点 $M$（線分 $AB$ の中点）である。
2. 係数の和が $2$ の式 $\vec a+\vec b$：$O$ からは $(2,2)$ で、点 $R(2,2)$ を表す。$O'$ からは $(-1,-1)+(-3,1)=(-4,0)$ で、点 $(3,1)+(-4,0)=(-1,1)$ を表す。この点を $R'(-1,1)$ とすると、$R'$ は $R$ と別の点である。prf-pvd-origin の段 3 の式で確かめると、$\sigma-1=1$、$\overrightarrow{O'O}=(-3,-1)$ なので、$\overrightarrow{RR'}=(-3,-1)$ のはずであり、実際 $(-1,1)-(2,2)=(-3,-1)$ である。

$\vec a=(2,1)$、$\vec b=(1,3)$ とする。$2\cdot3-1\cdot1=5\ne0$ なので、この 2 つは平行でない（成分が比例しない）。

1. $\vec p=(5,5)$ を $s\vec a+t\vec b=(2s+t,\ s+3t)$ と表す。連立方程式 $2s+t=5$、$s+3t=5$ を解くと、1 つ目の式の 3 倍から 2 つ目の式を引いて $5s=10$、$s=2$、$t=1$ である。確かに $2(2,1)+(1,3)=(5,5)$。
2. $\vec p=(1,-3)$ では $2s+t=1$、$s+3t=-3$ から $5s=6$、$s=\frac65$、$t=1-\frac{12}5=-\frac75$ である。確かに $\frac65(2,1)-\frac75(1,3)=\left(\frac{12-7}5,\ \frac{6-21}5\right)=(1,-3)$。

三角形 $OAB$ で $\overrightarrow{OA}=\vec a$、$\overrightarrow{OB}=\vec b$ とする。辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $P$、辺 $OB$ の中点を $Q$ とし、線分 $AQ$ と線分 $BP$ の交点を $X$ とする。$\overrightarrow{OX}$ を $\vec a$、$\vec b$ で表す（図3）。

1. $\overrightarrow{OP}=\frac23\vec a$、$\overrightarrow{OQ}=\frac12\vec b$ である。
2. $X$ は直線 $AQ$ 上にあるので、thm-pvd-line により実数 $u$ で $\overrightarrow{OX}=(1-u)\vec a+u\cdot\frac12\vec b=(1-u)\vec a+\frac u2\vec b$ と書ける。
3. $X$ は直線 $BP$ 上にもあるので、実数 $v$ で $\overrightarrow{OX}=(1-v)\vec b+v\cdot\frac23\vec a=\frac{2v}3\vec a+(1-v)\vec b$ と書ける。
4. $\vec a$、$\vec b$ は平行でない（$O$、$A$、$B$ は三角形をつくる）ので、prop-pvd-decomp の係数比較により $1-u=\frac{2v}3$、$\frac u2=1-v$ である。2 つ目から $u=2-2v$、これを 1 つ目に入れて $-1+2v=\frac{2v}3$、$\frac{4v}3=1$、$v=\frac34$ である。すると $u=\frac12$ である。
5. よって $\overrightarrow{OX}=\frac12\vec a+\frac14\vec b$ である。$u=\frac12$ から $AX:XQ=1:1$、$v=\frac34$ から $BX:XP=3:1$ も分かる。

平行四辺形 $OACB$ で $\overrightarrow{OA}=\vec a$、$\overrightarrow{OB}=\vec b$ とすると、$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$ なので $\overrightarrow{OC}=\vec a+\vec b$ である。

1. 対角線 $OC$ の中点の位置ベクトルは、thm-pvd-division の 1（$m=n=1$）で $\frac{\vec 0+(\vec a+\vec b)}2=\frac{\vec a+\vec b}2$ である。
2. 対角線 $AB$ の中点の位置ベクトルも $\frac{\vec a+\vec b}2$ である。
   位置ベクトルが同じなので、2 本の対角線の中点は同じ点である。つまり 2 本の対角線はその点で交わり、互いに他を 2 等分する。

$\vec a=(1,2)$、$\vec b=(2,4)$ とする。どちらも $\vec 0$ でないが、$\vec b=2\vec a$ なので平行である。成分で見ると $1\cdot4-2\cdot2=0$ である。

1. 表し方がただ 1 通りでない。$\vec p=(3,6)$ は
   $$ 3\vec a+0\,\vec b=(3,6),\qquad \vec a+\vec b=(1+2,\ 2+4)=(3,6),\qquad 0\,\vec a+\frac32\vec b=(3,6) $$
   のように何通りにも書ける。係数を比べて「$3=1$」とすることはできない。
2. 表せないベクトルがある。$s\vec a+t\vec b=(s+2t)(1,2)$ はいつも $(1,2)$ の実数倍である。$(1,0)$ は $(1,2)$ の実数倍でない（$y$ 成分を $0$ にするには倍率が $0$ でなければならず、そのとき $x$ 成分も $0$ になる）ので、$(1,0)=s\vec a+t\vec b$ となる $s$、$t$ はない。
   満たす性質：$\vec a\ne\vec 0$、$\vec b\ne\vec 0$。満たさない性質：平行でないこと。破る主張：prop-pvd-decomp の存在と一意性の両方。prf-pvd-decomp の段 2 では「$\ell$ と直線 $OA$ がただ 1 点で交わる」ことを、段 3 では「$\vec a$ が $\vec b$ の実数倍でない」ことを使っていた。$\vec a$、$\vec b$ が平行だとどちらも成り立たない。

$A=B$ とし、その点の位置ベクトルを $\vec a=\vec b=(1,4)$ とする。$s+t=1$ なら
$$ s\vec a+t\vec b=(s+t)\vec a=\vec a $$
なので、$(s,t)=(1,0)$ でも $(0,1)$ でも $(3,-2)$ でも同じ点 $A$ を表す。thm-pvd-line の「$s$、$t$ はただ 1 通りに決まる」が崩れる。prf-pvd-line の段 3 では $\vec b-\vec a\ne\vec 0$ を使って $t-t'=0$ を導いていたが、$A=B$ では $\vec b-\vec a=\vec 0$ なので、この議論ができない。そもそも $A=B$ では「直線 $AB$」が 1 本に決まらない。

$m=n$ のとき、thm-pvd-division の 2 の式 $\frac{-n\vec a+m\vec b}{m-n}$ は分母が $0$ で、意味をもたない。図形で見ても、$AP=PB$ となる点 $P$ は直線 $AB$ 上で線分の外にはない。$P$ が $B$ の先にあれば $AP=AB+BP>BP$ であり、$P$ が $A$ の手前にあれば $PB=PA+AB>PA$ だからである。
比を $1:1$ に近づけると、外分点は遠くへ離れていく。$A(1,4)$、$B(7,1)$ で計算すると次のとおりである。

1. $2:1$ に外分：$\frac{-(1,4)+2(7,1)}{1}=(13,-2)$（ex-pvd-division の $Q$）。
2. $3:2$ に外分：$\frac{-2(1,4)+3(7,1)}{1}=(19,-5)$。$A$ からの距離は $|(18,-9)|=9\sqrt5$、$B$ からの距離は $|(-12,6)|=6\sqrt5$ で、比は $3:2$ である。
3. $11:10$ に外分：$\frac{-10(1,4)+11(7,1)}{1}=(67,-29)$。
   比が $1$ に近づくほど、点は直線 $AB$ に沿って $B$ の先の遠くへ行く。比がちょうど $1:1$ になると、行き先の点はない。

$A(1,4)$、$B(7,1)$、$C(4,7)$ とする。

1. 中点 $\frac12A+\frac12B$ と重心 $\frac13A+\frac13B+\frac13C$ は、係数の和がそれぞれ $1$ のアフィン結合である。重心は ex-pvd-centroid のとおり $(4,4)$ である。
2. $2A-B$ は係数の和が $2+(-1)=1$ なので、点を表す。$O$ を原点とすると $2(1,4)-(7,1)=(-5,7)$ である。これは ex-pvd-division の 3 の点 $R$（$AB$ を $1:2$ に外分する点）と同じである。実際、thm-pvd-division の 2 で $m=1$、$n=2$ とすると $\frac{-2\vec a+\vec b}{-1}=2\vec a-\vec b$ である。$A$ は $B$ と $R$ の中点になっている。
3. $D=A-B+C$ は係数の和が $1-1+1=1$ なので、点を表す。$O$ を原点とすると $D=(1-7+4,\ 4-1+7)=(-2,10)$ である。$\overrightarrow{AB}=(6,-3)$、$\overrightarrow{DC}=(4-(-2),\ 7-10)=(6,-3)$ で、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ なので、$ABCD$ は平行四辺形である。

$A(1,4)$、$B(7,1)$、$C(4,7)$ とし、基準の点を $O(0,0)$ と $O'(2,5)$ で比べる。

1. $B-A$（係数 $-1$、$1$）：ex-pvd-difference で見たとおり、どちらの基準でも $(6,-3)$ で、これは $\overrightarrow{AB}$ である。
2. $A-2B+C$（係数 $1$、$-2$、$1$）：$O$ からは $(1,4)-2(7,1)+(4,7)=(-9,9)$ である。$O'$ からは $\overrightarrow{O'A}=(-1,-1)$、$\overrightarrow{O'B}=(5,-4)$、$\overrightarrow{O'C}=(2,2)$ なので、$(-1,-1)-2(5,-4)+(2,2)=(-9,9)$ である。同じベクトルになる。このベクトルは $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ に等しい。