アフィン多様体

同義語：affine variety

概要

前提知識: 代数多様体, アフィンスキーム, 座標環

放物線 $y=x^2$、双曲線 $xy=1$、行列式が $0$ でない正方行列の全体のように、有限個の多項式の方程式（と、ある多項式が $0$ でないという条件）で定まる図形のうち、最も基本的なものがアフィン多様体である。古典的には、代数閉体 $k$ の上で $k^n$ の零点集合として扱われた（アフィン代数的集合）。スキームの言葉では、アフィン多様体は「$k$ 上有限生成な整域 $A$ のスペクトル $\operatorname{Spec}A$」にほかならず、図形と、その上の多項式関数の環 $A$ とが同じ情報をもつ。この記事では、アフィン多様体とその射が $k$ 代数の言葉に完全に翻訳されること（thm-affine-variety-anti-equivalence）を示し、古典的な零点集合との対応、基本開集合、アフィンでない多様体の例をまとめる。一般の代数多様体はアフィン多様体を貼り合わせたものなので、アフィン多様体は代数多様体の局所的な模型でもある。

定義

以下、$k$ は体とする。$k$ 上のスキームとは、スキーム $X$ と構造射 $X\to\operatorname{Spec}k$ の組であり、その間の射は構造射と両立する射（$k$ 射）とする。スキーム $X$ が整であるとは、$X$ が空でなく、空でないすべての開集合 $U$ について $\mathcal{O}_X(U)$ が整域であることをいう（スキームの記事の定義「スキームの基本的な形容詞」）。$k$ 上の代数多様体とは、$k$ 上のスキームであって、整で、構造射が分離射かつ有限型射であるものをいう（代数多様体の記事の定義「代数多様体」）。

アフィン多様体

体 $k$ 上の アフィン多様体（affine variety）とは、$k$ 上の代数多様体 $X$ であって、アフィンスキームであるもの（ある可換環 $A$ について $X\cong\operatorname{Spec}A$ となるもの）をいう。アフィン多様体の間の射とは、$k$ 上のスキームの射をいう。

アフィン多様体 $X$ の大域切断の環 $\mathcal{O}_X(X)$ を $X$ の座標環といい、$k[X]$ と書くことがある。構造射 $X\to\operatorname{Spec}k$ に対応する環準同型 $k\to\mathcal{O}_X(X)$ により、$\mathcal{O}_X(X)$ は $k$ 代数である。次の命題により、アフィン多様体は環の言葉で言い切れる。

アフィン多様体と有限生成な整域

体 $k$ 上のスキーム $X$ について、次は同値である。

$X$ は $k$ 上のアフィン多様体である。
$k$ 上有限生成な整域 $A$（$k$ 代数として有限生成で、整域であるもの）があって、$X\cong\operatorname{Spec}A$（$k$ 上の同型）となる。
このとき $A\cong\mathcal{O}_X(X)$ である。とくに、アフィン多様体は $\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak{p}$（$\mathfrak{p}$ は多項式環の素イデアル）と同型である。

要点：整・分離的・有限型の 3 条件を、それぞれ「$A$ が整域」「アフィンスキームの射は分離的」「$A$ が有限生成」に翻訳する。

詳しい証明を開く

1 ⇒ 2：$X\cong\operatorname{Spec}A$ とすると、$A\cong\mathcal{O}_X(X)$ である（アフィンスキームの記事の定理「基本開集合の上の切断」で $f=1$ とする）。$X$ は整で、$X$ 自身は空でない開集合なので、$A$ は整域である。構造射 $X\to\operatorname{Spec}k$ は有限型なので、有限型射の記事の命題「局所有限型はアフィン開集合の取り方によらない」の 2 を $V=\operatorname{Spec}k$、$U=X\cong\operatorname{Spec}A$ に当てはめると、$A$ は $k$ 上有限型、すなわち $k$ 代数として有限生成である。

2 ⇒ 1：$A$ が整域なので $\operatorname{Spec}A$ は整である（整スキームの記事の系「アフィンスキームが整である条件」）。アフィンスキームの間の射は分離的なので構造射 $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}k$ は分離的であり（分離射の記事の命題「アフィンスキームの射の分離性」）、$A$ は $k$ 上有限生成なので構造射は有限型である（$\operatorname{Spec}A$ 自身が 1 個のアフィン開集合による被覆を与える）。

最後の主張：$A$ が生成元 $a_1,\dots,a_n$ をもてば、$x_i\mapsto a_i$ で定まる全射 $k[x_1,\dots,x_n]\to A$ の核 $\mathfrak{p}$ は、$A$ が整域なので素イデアルであり、$A\cong k[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak{p}$ である。$\square$

たとえば $\mathfrak{p}=(f_1,\dots,f_r)$ なら、アフィン多様体 $\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak{p}$ は「連立方程式 $f_1=\cdots=f_r=0$ の解の空間」であり、方程式の組が素イデアルを生成することが「整」の条件に当たる。同じアフィン多様体を表す方程式の組はいくつもある（生成元の取り方と、埋め込む空間 $\mathbb{A}^n_k$ の取り方による）が、座標環 $\mathcal{O}_X(X)$ は $X$ だけで決まる。

定義の流儀

「アフィン多様体」の定義は文献によって異なる。この記事の定義は Stacks Tag 020D の多様体の定義（整・分離的・有限型）をアフィンの場合に当てはめたもので、代数多様体の記事の用法と一致する。Vak25 5.3.7 は、$k$ 上有限型で被約なアフィンスキームをアフィン多様体と呼び、既約性を課さない（既約性や代数閉体を定義に含める文献もあると同所で注意している）。

	この記事	被約だけを課す流儀	古典的な流儀
典拠	Stacks Tag 020D	Vak25 5.3.7	アフィン代数的集合の言葉
基礎体	任意の体	任意の体	代数閉体
対応する環	有限生成な整域	有限生成な被約環	素イデアル（または根基イデアル）による商
既約	課す	課さない	流儀による
点	素イデアル（生成点を含む）	素イデアル	$k^n$ の点

既約性を課さない流儀で「アフィン多様体」と書かれた主張は、この記事の言葉では「$k$ 上有限生成な被約環のスペクトル」についての主張と読み替える。古典的な流儀との関係は prop-affine-variety-classical で述べる。

例と反例

例

アフィン空間

$\mathbb{A}^n_k:=\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]$ はアフィン多様体である（多項式環は $k$ 上有限生成な整域）。座標環は $k[x_1,\dots,x_n]$ であり、次元は $n$ である（超越次数の記事の定理「体上有限生成な整域の次元」により $\dim k[x_1,\dots,x_n]=\operatorname{trdeg}_kk(x_1,\dots,x_n)=n$）。$n=0$ のときは 1 点 $\operatorname{Spec}k$ である。

平面曲線

$f\in k[x,y]$ が既約多項式なら、$k[x,y]$ は一意分解整域なので $(f)$ は素イデアルであり、$C:=\operatorname{Spec}k[x,y]/(f)$ はアフィン多様体である。たとえば $f=y^2-x^3$（尖点をもつ曲線）は既約である。実際、$y$ について最高次の係数が $1$ の 2 次式なので、分解するなら $(y-a)(y-b)$（$a,b\in k[x]$）の形で、$a+b=0$、$ab=-x^3$ から $a^2=x^3$ となるが、左辺の次数は偶数、右辺は $3$ で奇数だから不可能である。

放物線と双曲線

放物線 $P:=\operatorname{Spec}k[x,y]/(y-x^2)$ は $\mathbb{A}^1_k$ と同型である。$k$ 代数の準同型 $k[x,y]\to k[t]$、$x\mapsto t$、$y\mapsto t^2$ は全射で、核は $(y-x^2)$ である（$g\in k[x,y]$ を $y$ について $y-x^2$ で割ると $g=(y-x^2)q+r(x)$ と書け、$g$ が核に入れば $r(t)=0$、すなわち $r=0$）。よって $k[x,y]/(y-x^2)\cong k[t]$ である。
双曲線 $H:=\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy-1)$ は、$\mathbb{A}^1_k$ から原点を除いた開部分スキーム $D(t)=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ と同型である。準同型 $k[x,y]\to k[t,t^{-1}]$、$x\mapsto t$、$y\mapsto t^{-1}$ は全射で、核は $(xy-1)$ である（$k[x,y]/(xy-1)$ では $x$ が可逆で、$x^iy^j$ は $x^{i-j}$ か $y^{j-i}$ に等しいので、この商環は $x^m$（$m\in\mathbb{Z}$、$x^{-1}:=y$）で張られ、それらの像 $t^m$ は一次独立である）。$k[t,t^{-1}]$ は $k(t)$ の部分環なので整域であり、$xy-1$ は既約多項式である。$H$ は閉部分多様体としては $\mathbb{A}^2_k$ に入るが、$\mathbb{A}^1_k$ の中では開集合である。アフィン多様体であることは、どの空間に埋め込むかによらない。

一般線形群

$n^2$ 個の変数 $x_{ij}$ の多項式環を $R$ とし、$\det:=\det(x_{ij})\in R$ とする。基本開集合 $GL_{n,k}:=D(\det)\subset\mathbb{A}^{n^2}_k$ は、下の prop-affine-variety-basic-open によりアフィン多様体 $\operatorname{Spec}R_{\det}\cong\operatorname{Spec}R[t]/(t\det-1)$ である。2 つ目の表示は、$GL_{n,k}$ が $\mathbb{A}^{n^2+1}_k$ の中の方程式 $t\det(x_{ij})=1$ の解の空間であることを示している。$k$ 有理点は一般線形群 $GL_n(k)$ の元である。$n=1$ のときは双曲線 $H$ である（ex-affine-variety-parabola-hyperbola）。

反例

この記事の定義は「アフィン」「既約」「被約」の 3 つを課す。どれを外しても、アフィン多様体でないスキームが得られる。最後の行は、定義を満たしていても、基礎体を広げると満たさなくなる例である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
アフィン	$\mathbb{A}^2_k$ から原点を除いた開部分多様体	アフィンスキームの開部分スキームはアフィンである
アフィン	射影空間 $\mathbb{P}^1_k$	多様体は $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_X(X)$ と同型である
既約	$\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$	座標環が整域である
被約	$\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$	座標環が整域である
基礎体を広げても既約	$\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2)$	$\mathbb{C}$ へ係数拡大しても多様体である

1 行目は prop-affine-variety-punctured-plane で示す。2 行目：$\mathbb{P}^1_k$ は $k$ 上の多様体だが、$\Gamma(\mathbb{P}^1_k,\mathcal{O})=k$ なので、アフィンなら 1 点になってしまい、アフィンでない（アフィン射の記事の例「反例：射影直線」、Vak25 4.4.8）。3・4 行目：$k[x,y]/(xy)$ では $x\cdot y=0$、$k[x]/(x^2)$ では $x\cdot x=0$ で、どちらも座標環が整域でない。前者は被約だが 2 本の座標軸の和で既約でなく、後者は 1 点で既約だが被約でない。前者は Vak25 5.3.7 の流儀ではアフィン多様体である。

反例：実数体上の $x^2+y^2=0$

$X:=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2)$ は $\mathbb{R}$ 上のアフィン多様体である。$x^2+y^2$ は $\mathbb{R}[x,y]$ で既約だからである（実数係数の 1 次式の積に分解しない）。

詳細

$x^2+y^2=gh$（$g,h$ は定数でない）とすると、$g,h$ はともに 1 次である。積の最低次の部分は各因子の最低次の部分の積であり（$\mathbb{R}[x,y]$ は整域）、それが $2$ 次なので、$g,h$ は 1 次の斉次式 $ax+by$、$cx+dy$ である。$ac=1$、$bd=1$、$ad+bc=0$ から $c=1/a$、$d=1/b$ で $a/b+b/a=0$、すなわち $a^2+b^2=0$ となり、実数 $a,b\neq0$ に反する。

一方、$\mathbb{C}$ へ係数拡大すると
$$ X_{\mathbb{C}}=\operatorname{Spec}\bigl(\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\bigr)\cong\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]/\bigl((x+iy)(x-iy)\bigr) $$
は 2 本の直線 $x+iy=0$、$x-iy=0$ の和で既約でなく、$\mathbb{C}$ 上のアフィン多様体でない。また $X$ の $\mathbb{R}$ 有理点は原点だけである（$a^2+b^2=0$ となる実数は $a=b=0$）が、$X$ は $1$ 次元である（座標環の商体は $\mathbb{R}(x)$ 上 $y$ で生成される 2 次拡大）。満たす性質は「$\mathbb{R}$ 上のアフィン多様体」、満たさない性質は「係数拡大しても整」であり、破る含意は「$k$ 上の多様体は大きい体へ係数拡大しても多様体である」である。係数拡大しても整であり続ける多様体を幾何的に整という。

性質

座標環との圏の反同値

アフィン多様体の射は、座標環の $k$ 代数としての準同型と 1 対 1 に対応する。これが「アフィン多様体は座標環で決まる」ことの正確な意味である。

アフィン多様体と有限生成な整域の圏の反同値

$k$ 上のアフィン多様体と $k$ 射のなす圏を $\mathbf{AffVar}_k$、$k$ 上有限生成な整域と $k$ 代数の準同型のなす圏を $\mathbf{Dom}_k$ とする。

アフィン多様体 $X,Y$ について、$k$ 射 $f\colon X\to Y$ に大域切断の写像 $f^\sharp_Y\colon\mathcal{O}_Y(Y)\to\mathcal{O}_X(X)$ を対応させる写像
$$ \operatorname{Hom}_{\mathbf{AffVar}_k}(X,Y)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{\mathbf{Dom}_k}\bigl(\mathcal{O}_Y(Y),\mathcal{O}_X(X)\bigr) $$
は全単射である。
$X\mapsto\mathcal{O}_X(X)$ は圏同値 $\mathbf{AffVar}_k^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Dom}_k$ を与え、$A\mapsto\operatorname{Spec}A$ がその準逆である。

構造射を $s_X\colon X\to\operatorname{Spec}k$ と書き、$\iota_X\colon k\to\mathcal{O}_X(X)$ を $s_X$ に対応する環準同型（$\mathcal{O}_X(X)$ の $k$ 代数の構造）とする。スキームの記事の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」により、スキーム $X$ と可換環 $B$ について、射 $g\colon X\to\operatorname{Spec}B$ に大域切断の写像 $\rho(g):=g^\sharp_{\operatorname{Spec}B}\colon B\to\mathcal{O}_X(X)$ を対応させる $\rho$ は全単射であり、射 $h\colon X'\to X$ に対し $\rho(g\circ h)=h^\sharp_X\circ\rho(g)$ が成り立つ（自然性）。
段 1（$k$ 射と $k$ 代数の準同型）．$B$ を $k$ 代数とし、$\operatorname{Spec}B$ の構造射を $\iota_B\colon k\to B$ が定める射 $s_B$ とする（$\rho(s_B)=\iota_B$）。射 $g\colon X\to\operatorname{Spec}B$ について、自然性により $\rho(s_B\circ g)=g^\sharp\circ\iota_B=\rho(g)\circ\iota_B$ であり、$\rho(s_X)=\iota_X$ である。$\rho$ は単射なので
$$ s_B\circ g=s_X\iff\rho(g)\circ\iota_B=\iota_X $$
である。すなわち $g$ が $k$ 射であることと、$\rho(g)$ が $k$ 代数の準同型であることは同値である。
$$ \xymatrix{ X \ar[r]^{g} \ar[dr]_{s_X} & \operatorname{Spec}B \ar[d]^{s_B} \\ & \operatorname{Spec}k } \qquad\qquad \xymatrix{ \mathcal{O}_X(X) & B \ar[l]_{\rho(g)} \\ & k \ar[ul]^{\iota_X} \ar[u]_{\iota_B} } $$
左の三角形が可換（$s_B\circ g=s_X$）であることと、右の三角形が可換（$\rho(g)\circ\iota_B=\iota_X$）であることが同値である。よって $\rho$ は全単射 $\operatorname{Hom}_k(X,\operatorname{Spec}B)\to\operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(B,\mathcal{O}_X(X))$ に制限される。
段 2（1 の証明）．$B:=\mathcal{O}_Y(Y)$ とし、$\mathrm{id}_B$ に $\rho$ で対応する標準射 $c_Y\colon Y\to\operatorname{Spec}B$ をとる。$Y$ はアフィンなので $c_Y$ は同型であり（スキームの記事の系「標準射とアフィン性の判定」）、$\mathrm{id}_B$ は $k$ 代数の準同型なので段 1 により $c_Y$ は $k$ 射である。したがって $f\mapsto c_Y\circ f$ は $\operatorname{Hom}_k(X,Y)$ から $\operatorname{Hom}_k(X,\operatorname{Spec}B)$ への全単射であり、段 1 の全単射と合成すると、自然性により
$$ f\longmapsto\rho(c_Y\circ f)=f^\sharp_Y\circ\rho(c_Y)=f^\sharp_Y $$
となる。これが 1 の写像なので、1 の写像は全単射である。
段 3（2 の証明）．prop-affine-variety-rings により、$\mathcal{O}_X(X)$ は $\mathbf{Dom}_k$ の対象であり、$A\in\mathbf{Dom}_k$ に対し $\operatorname{Spec}A$ はアフィン多様体で $\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)\cong A$（$k$ 代数として）である。射の合成について $(f\circ g)^\sharp=g^\sharp\circ f^\sharp$ なので $X\mapsto\mathcal{O}_X(X)$ は反変関手であり、1 によりこの関手は充満忠実、いま述べたことにより本質的全射である。充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であり、$\operatorname{Spec}$ が準逆を与える。$\square$

この定理は、可換環全体とアフィンスキーム全体の反同値（アフィンスキームの記事の系「可換環の圏とアフィンスキームの圏の反同値」）を、$k$ 上有限生成な整域と $k$ 射に制限したものである。たとえば ex-affine-variety-parabola-hyperbola の同型 $P\cong\mathbb{A}^1_k$ は、$k$ 代数の同型 $k[x,y]/(y-x^2)\cong k[t]$ に対応する。アフィン多様体の積も環の言葉で書ける。$k$ が代数閉体なら、アフィン多様体 $\operatorname{Spec}A$、$\operatorname{Spec}B$ の積 $\operatorname{Spec}A\times_{\operatorname{Spec}k}\operatorname{Spec}B=\operatorname{Spec}(A\otimes_kB)$ はふたたびアフィン多様体である（Stacks Tag 05P3、Varieties, Lemma 3.3。$A\otimes_kB$ が整域であることを示している）。$k$ が代数閉体でなければ成り立たないことがある（代数多様体の記事の例「反例：多様体の積が既約でない」、ex-affine-variety-x2y2）。

古典的な零点集合との対応

$k$ が代数閉体のとき、アフィン多様体は古典的な既約な零点集合と、射は多項式写像と対応する。$A_n:=k[x_1,\dots,x_n]$、$a\in k^n$ に対し $\mathfrak{m}_a:=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$ とし、イデアル $J\subset A_n$ の $k^n$ での零点集合を $V(J)$ と書く。

古典的な零点集合と多項式写像

$k$ を代数閉体、$\mathfrak{p}\subset A_n$、$\mathfrak{q}\subset A_m$ を素イデアルとし、$X:=\operatorname{Spec}A_n/\mathfrak{p}$、$Y:=\operatorname{Spec}A_m/\mathfrak{q}$ とする。

$X$ の閉点は $\mathfrak{m}_a/\mathfrak{p}$（$a\in V(\mathfrak{p})$）とちょうど 1 対 1 に対応し、$V(\mathfrak{p})$ の座標環 $k[V(\mathfrak{p})]$ は $A_n/\mathfrak{p}$ に等しい。
$k$ 射 $f\colon X\to Y$ と、多項式写像 $F\colon V(\mathfrak{p})\to V(\mathfrak{q})$ は 1 対 1 に対応する。対応する $f$ と $F$ について、$f(\mathfrak{m}_a/\mathfrak{p})=\mathfrak{m}_{F(a)}/\mathfrak{q}$ が成り立つ。

1：前半は代数多様体の記事の定理「アフィン多様体の閉点と零点集合の点」の 1 である。後半：Hilbertの零点定理の定理「Hilbertの零点定理」の 3（強零点定理）により $I(V(\mathfrak{p}))=\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ なので、$k[V(\mathfrak{p})]=A_n/I(V(\mathfrak{p}))=A_n/\mathfrak{p}$ である。
2：thm-affine-variety-anti-equivalence の 1 により $k$ 射 $f$ は $k$ 代数の準同型 $\varphi:=f^\sharp\colon A_m/\mathfrak{q}\to A_n/\mathfrak{p}$ と 1 対 1 に対応し、座標環の記事の定理「多項式写像と座標環の準同型の対応」の 1 と 1 の後半により、$\varphi$ は多項式写像 $F\colon V(\mathfrak{p})\to V(\mathfrak{q})$ で $F^*=\varphi$ となるものと 1 対 1 に対応する。$F=(F_1,\dots,F_m)$ は $\varphi(\bar y_j)=\bar F_j$（$\bar y_j$ は座標関数）で与えられる。$f(\mathfrak{m}_a/\mathfrak{p})$ は素イデアル $\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_a/\mathfrak{p})$ であり、$g\in A_m$ について
$$ \bar g\in\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_a/\mathfrak{p})\iff\varphi(\bar g)(a)=0\iff g(F_1(a),\dots,F_m(a))=0\iff g\in\mathfrak{m}_{F(a)} $$
である（$\varphi(\bar g)=\overline{g(F_1,\dots,F_m)}$ と、$h\in\mathfrak{m}_b\iff h(b)=0$ による）。よって $f(\mathfrak{m}_a/\mathfrak{p})=\mathfrak{m}_{F(a)}/\mathfrak{q}$ である。$\square$

こうして、代数閉体の上では「既約な零点集合と多項式写像」の圏と「アフィン多様体と $k$ 射」の圏は同値であり、スキームとしてのアフィン多様体は、古典的な零点集合に、既約な閉部分集合を代表する点（生成点）を付け加えたものとみなせる。$k$ が代数閉体でないときは、閉点の剰余体が $k$ より大きくなりうるので、$k^n$ の点だけでは足りない（ex-affine-variety-x2y2 の $X$ は $\mathbb{R}$ 有理点が 1 つしかない $1$ 次元の多様体である）。

基本開集合

基本開集合はアフィン多様体

$X=\operatorname{Spec}A$ を $k$ 上のアフィン多様体、$f\in A$ を $0$ でない元とする。基本開集合 $D(f)=\{\mathfrak{p}\mid f\notin\mathfrak{p}\}$ は、開部分スキームとしてアフィン多様体 $\operatorname{Spec}A_f$ と同型であり、$A_f\cong A[t]/(tf-1)$ である。とくに、任意の $k$ 上の多様体の開集合は、アフィン多様体である開集合の和で書ける。

$D(f)$ が開部分スキームとして $\operatorname{Spec}A_f$ と同型であることはアフィンスキームの記事の命題「基本開集合はアフィン」である。$A$ は整域で $f\neq0$ なので、$A_f$ は商体 $\operatorname{Frac}A$ の部分環 $\{a/f^m\}$ として整域であり、$0$ でない。$A_f$ は $A$ の生成元と $1/f$ で生成されるので $k$ 上有限生成であり、prop-affine-variety-rings により $\operatorname{Spec}A_f$ はアフィン多様体である。

残りの主張の証明を開く

$A[t]\to A_f$、$t\mapsto1/f$ は全射で、核は $(tf-1)$ である（$A[t]/(tf-1)$ は $f$ を可逆にする $A$ 代数のうち普遍的なものであり、局所化 $A_f$ と同じ普遍性をもつ）。

最後の主張：$k$ 上の多様体 $Y$ の点 $y$ と、$y$ を含む開集合 $W$ をとる。$y$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ があり、$U$ は空でない開部分多様体なのでアフィン多様体である（代数多様体の記事の命題「開部分多様体と閉部分多様体」の 1 と prop-affine-variety-rings）。基本開集合は $\operatorname{Spec}A$ の開基をなすので、$y\in D(f)\subset U\cap W$ となる $f\in A$ があり、$D(f)\ne\emptyset$ なので $f$ は冪零でなく、$A$ は整域なので $f\neq0$ である。前半により $D(f)$ はアフィン多様体である。$\square$

アフィンでない開部分多様体

アフィン多様体の開部分多様体は、基本開集合ならアフィンだが、一般にはアフィンとは限らない。

原点を除いた平面はアフィンでない

$k$ を体、$R:=k[x,y]$、$X:=\mathbb{A}^2_k=\operatorname{Spec}R$、$\mathfrak{o}:=(x,y)$ とし、$U:=X\setminus\{\mathfrak{o}\}$ を開部分多様体とする。制限写像 $r\colon R\to\mathcal{O}_X(U)$ は同型であり、$U$ はアフィン多様体でない。

$\mathfrak{o}$ は極大イデアルなので $\{\mathfrak{o}\}=V(\mathfrak{o})$ は閉集合で、素イデアルが $x$ と $y$ をともに含むことは $\mathfrak{o}$ に等しいことと同値だから $U=D(x)\cup D(y)$、$D(x)\cap D(y)=D(xy)$ である。$R$ は整域なので、層の条件により $\mathcal{O}_X(U)$ は商体 $k(x,y)$ の中の共通部分 $R_x\cap R_y$ と同一視され、$r$ は包含 $R\subset R_x\cap R_y$ である。$s=g/x^m=h/y^l$（$g,h\in R$）なら $gy^l=hx^m$ であり、$R$ は一意分解整域で素元 $x$ は $y^l$ を割らないので $x^m$ は $g$ を割り、$s\in R$ である。よって $r$ は同型である（詳しくは開部分スキームの記事の命題「原点を除いたアフィン空間」の 1）。
$U$ がアフィン多様体だとすると、包含 $j\colon U\to X$ は $k$ 射で、thm-affine-variety-anti-equivalence の 1 の全単射で $j^\sharp_X=r$ に対応する。$r$ は $k$ 代数の同型なので、同定理の 2（圏同値は同型を同型に対応させる）により $j$ は同型である。しかし $j$ の像は $\mathfrak{o}$ を含まないので $j$ は全射でなく、矛盾である。$\square$

$U$ は「アフィン多様体の空でない開集合」であり「大域切断の環は $R$」だが、「アフィン」を満たさない。原点という $1$ 点（余次元 $2$）を除いても関数が増えないことが、アフィンでない理由である。$\mathbb{A}^1_k$ から原点を除いたものは基本開集合 $D(t)$ なのでアフィンであり（ex-affine-variety-parabola-hyperbola）、違いは除く集合が $1$ 個の方程式で定まるかどうかにある。同じ計算はアフィンスキームの記事の例「反例：原点を除いた平面はアフィンでない」、アフィン射の記事の例「反例：原点を除いた平面」、Vak25 4.4.1–4.4.3 にもある。

次元と関数体

アフィン多様体 $X=\operatorname{Spec}A$ の次元は $\dim X=\dim A=\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}A$ である（超越次数の記事の定理「体上有限生成な整域の次元」）。$X$ の生成点は零イデアル $(0)$ であり、その局所環 $A_{(0)}=\operatorname{Frac}A$ が $X$ の関数体である（関数体の記事の命題「関数体はアフィン開集合の座標環の商体である」）。たとえば放物線と $\mathbb{A}^1_k$ の関数体はどちらも $k(t)$ で、双曲線の関数体も $k(t)$ である。関数体が同じでも同型とは限らない（$\mathbb{A}^1_k$ と $D(t)$ は同型でない。座標環 $k[t]$ と $k[t,t^{-1}]$ の間の $k$ 代数の同型は単元群の同型であって $k^\times$ を $k^\times$ に写すものを誘導するが、単元群を $k^\times$ で割った群は $k[t]$ では自明群、$k[t,t^{-1}]$ では $t^{\mathbb{Z}}\cong\mathbb{Z}$ で異なる）。

注意

アフィン多様体は準射影多様体である（射影多様体の記事の命題「アフィン多様体は準射影多様体である」）。$X\subset\mathbb{A}^n_k$ を閉部分多様体とし、$\mathbb{A}^n_k$ を $\mathbb{P}^n_k$ の開集合とみて $X$ の $\mathbb{P}^n_k$ での閉包 $\overline{X}$（被約誘導構造を入れる）をとれば、$X=\overline{X}\cap\mathbb{A}^n_k$ は射影多様体 $\overline{X}$ の開部分多様体として実現できる。閉点の集合でみた閉包が射影閉包である。
一般の多様体はアフィン多様体を貼り合わせたものであり（prop-affine-variety-basic-open）、分離的なので 2 つのアフィン開部分多様体の共通部分はふたたびアフィンである（分離射の記事の系「分離スキームのアフィン開集合の共通部分」）。層のコホモロジーを Čech 複体で計算するときに、この事実が使われる。
$k=\mathbb{C}$ のとき、アフィン多様体 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak{p}$ の閉点の集合は $\mathbb{C}^n$ の閉解析的部分空間になり（解析化）、Stein空間である（Stein空間の記事の例「affine 多様体の解析化」）。prop-affine-variety-punctured-plane の複素解析的な類似が、同記事の例「反例：原点を除いた複素 2 次元空間」である。