σ-代数

前提知識: 集合, 冪集合, 可算集合

長さ・面積・個数・確率のような「大きさ」を集合に割り当てるとき、どの集合に大きさを割り当てるかをまず決めておく必要がある。大きさを割り当てた集合については、その補集合（「起こらない」）や、可算個の和集合（「どれかが起こる」「いつかは起こる」）にも大きさが割り当てられていてほしい。一方で、実数直線のすべての部分集合に長さを矛盾なく割り当てることはできない（Lebesgue測度 の注意「外測度は加法的でない」）。そこで、大きさを割り当てる部分集合の族を、補集合と可算個の和集合で閉じた族に制限する。この族が σ-代数（σ-algebra）である。σ-代数は測度論と確率論の出発点であり、確率論では「起こったかどうかを問える事象の全体」、さらに「ある情報から判定できる事象の全体」を表す。

定義

σ-代数と可測空間

以下、集合 $X$ の冪集合（部分集合全体の集合）を $\mathcal{P}(X)$ と書き、$E\subset X$ の $X$ における補集合を $X\setminus E$ と書く。

条件 (ii) を「補集合で閉じている」、条件 (iii) を「可算個の和集合で閉じている」という。σ-代数は σ-加法族、完全加法族とも呼ばれる。記号は $\mathcal{S}$ のほか $\mathcal{F}$、$\mathcal{A}$、$\mathcal{B}$、$\Sigma$ などが使われる（Axler20 2.23 は $\mathcal{S}$、Tao11 Definition 1.4.12 は $\mathcal{B}$）。接頭辞の σ は「可算個の和」を表す（Tao11 Remark 1.4.13）。

有限個の和集合は、残りを空集合で埋めれば可算個の和集合とみなせる。したがって σ-代数は有限個の和集合でも閉じている。空集合を含み、補集合と有限個の和集合で閉じた部分集合の族を有限加法族（集合代数、集合の Boole 代数）という。σ-代数は有限加法族であるが、逆は成り立たない（ex-sigma-algebra-finite-cofinite）。

生成される σ-代数

与えられた部分集合の族を含む σ-代数のうち、最も小さいものがつねに存在する。

$\mathcal{A}$ を含む σ-代数は少なくとも 1 つある（$\mathcal{P}(X)$ がそうである）ので、prop-sigma-algebra-intersection により $\sigma(\mathcal{A})$ は σ-代数であり、$\mathcal{A}\subset\sigma(\mathcal{A})$ である。さらに、$\mathcal{A}$ を含む σ-代数 $\mathcal{S}$ はどれも共通部分をとる対象の 1 つなので $\sigma(\mathcal{A})\subset\mathcal{S}$ である。すなわち $\sigma(\mathcal{A})$ は $\mathcal{A}$ を含む最小の σ-代数である（Axler20 2.27、Tao11 Definition 1.4.14）。この最小性から次がすぐに従う。

• $\mathcal{A}\subset\mathcal{A}'$ ならば $\sigma(\mathcal{A})\subset\sigma(\mathcal{A}')$。
• $\mathcal{A}\subset\mathcal{S}$ で $\mathcal{S}$ が σ-代数なら $\sigma(\mathcal{A})\subset\mathcal{S}$。特に、$\mathcal{S}$ が σ-代数なら $\sigma(\mathcal{S})=\mathcal{S}$。
• 2 つの族 $\mathcal{A},\mathcal{A}'$ が同じ σ-代数を生成することを示すには、$\mathcal{A}\subset\sigma(\mathcal{A}')$ と $\mathcal{A}'\subset\sigma(\mathcal{A})$ を確かめればよい。
  $\sigma(\mathcal{A})$ を「$\mathcal{A}$ の元から補集合と可算個の和集合を有限回くり返して作れる集合の全体」と考えるのは正しくない。一般には、この操作を順序数で番号づけて超限回くり返してはじめて $\sigma(\mathcal{A})$ が得られる（Tao11 Exercise 1.4.15）。$\mathbb{R}$ の開集合全体から始めた場合、有限回の段階では尽きないことが Axler20 2.30 の後で説明されている。$\sigma(\mathcal{A})$ の元について何かを示すときは、下の thm-sigma-algebra-generator のように「性質を満たす集合全体が σ-代数をなし、$\mathcal{A}$ を含む」ことを確かめる。

可測写像

位相空間の間の連続写像が「開集合の逆像が開集合」で定義されるのと同じ形である。可測写像 $f\colon(X,\mathcal{S})\to(Y,\mathcal{T})$、$g\colon(Y,\mathcal{T})\to(Z,\mathcal{U})$ の合成 $g\circ f$ は、$(g\circ f)^{-1}(E)=f^{-1}(g^{-1}(E))$ なので可測である。確率論では、確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ から実数全体 $\mathbb{R}$ への可測写像が確率変数である。ここで $\mathbb{R}$ の側には、半直線 $(-\infty,a]$（$a\in\mathbb{R}$）全体が生成する σ-代数を置く（これは $\mathbb{R}$ の開集合全体が生成する σ-代数、すなわち Borel集合の族に等しい。Axler20 2.39 の証明）。下の thm-sigma-algebra-generator により、この意味の可測性は「すべての $a\in\mathbb{R}$ について $\{\omega\mid X(\omega)\le a\}\in\mathcal{F}$」と同値であり、確率変数 の記事の定義「確率変数」の条件と一致する。

例

反例

σ-代数の条件のうち 1 つを弱めたもの、または σ-代数から素朴に作った族は、σ-代数とは限らない。

各行の確認は次の例にある。

性質

以下、$(X,\mathcal{S})$ を可測空間とする。

集合演算で閉じていること

集合の列 $(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、
$$ \limsup_{n\to\infty}E_n:=\bigcap_{m\in\mathbb{N}}\bigcup_{n\ge m}E_n,\qquad \liminf_{n\to\infty}E_n:=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}\bigcap_{n\ge m}E_n $$
を上極限集合・下極限集合という。$x\in\limsup_nE_n$ は「$x$ が無限個の $n$ について $E_n$ に属する」こと、$x\in\liminf_nE_n$ は「有限個を除くすべての $n$ について $x\in E_n$」ことを意味する（特性関数(集合) の記事の命題「集合列の極限と特性関数」）。また $E\triangle F:=(E\setminus F)\cup(F\setminus E)$ を対称差という。

4 は確率論でよく使われる。事象の列 $(E_n)$ について「無限回起こる」という事象 $\limsup_nE_n$ がふたたび事象になるので、その確率を問うことができる（Borel–Cantelli の補題）。
有限加法族が σ-代数であるかどうかは、増加列の和集合だけを見ればわかる。

ex-sigma-algebra-finite-cofinite の族は、有限集合の増加列 $\{0\}\subset\{0,2\}\subset\{0,2,4\}\subset\cdots$ の和集合 $2\mathbb{N}$ を含まないので、この命題の仮定を満たさない。

生成系による判定

σ-代数 $\sigma(\mathcal{A})$ のすべての元がある性質をもつことを示すとき、$\sigma(\mathcal{A})$ の元を具体的に書き下すことはできない。代わりに、「その性質をもつ集合全体が σ-代数であり、$\mathcal{A}$ を含む」ことを示せば、最小性から $\sigma(\mathcal{A})$ の元はすべてその性質をもつ（Tao11 Remark 1.4.15）。この論法を写像の可測性に当てはめたのが次の定理である。

3 の証明は選択公理を使わない。Axler20 2.39 は 3 と同じ論法で、実数値関数の可測性を半直線 $(a,\infty)$ の逆像だけで判定している。2 の $f_*\mathcal{S}$ は、$f$ を $(\mathcal{S},\mathcal{T})$-可測にする最大の σ-代数 $\mathcal{T}$ であり、1 の $f^{-1}(\mathcal{T})$ は、$f$ を可測にする最小の σ-代数 $\mathcal{S}$ である。

$\mathcal{S}|_Y$ を $\mathcal{S}$ の $Y$ への制限（トレース）という（Tao11 Exercise 1.4.2・1.4.12）。$Y$ が可測でないときも $\mathcal{S}|_Y$ は $Y$ 上の σ-代数だが、その元は一般に $X$ の可測集合ではない。

有限の σ-代数と分割

有限の σ-代数はすべて ex-sigma-algebra-partition の形をしている。

$X=\emptyset$ のときは $\mathcal{S}=\{\emptyset\}$、$k=0$ で、$2^0=1$ である。$n$ 元集合 $X$ 上の σ-代数の個数は $X$ の分割の個数（Bell 数）に等しく、$n=1,2,3,4$ で $1,2,5,15$ である。$P_j$ は $\mathcal{S}$ の原子と呼ばれる。この定理は、有限 Boole 代数が原子の集合の冪集合と同型であるという Boole代数 の記事の定理「有限Boole代数の構造」の、集合の族の場合である（Tao11 Exercise 1.4.3・1.4.4）。

無限の σ-代数は非可算である

有限加法族には可算無限個の元からなるものがある（ex-sigma-algebra-finite-cofinite の族で $X=\mathbb{N}$ とすれば可算無限である。Boole代数 の記事の例「有限集合と補有限集合」）。σ-代数ではそれが起こらない。

この証明は各段で集合 $E$ を 1 つ選ぶので、選択公理の弱い形（前の選び方に依存して可算回選ぶ従属選択公理）を使っている。定理から、可算無限個の元をもつ σ-代数は存在しない。σ-代数の元の個数は、有限なら $2^k$、無限なら $2^{\aleph_0}$ 以上である。

補足

位相・有限加法族との比較

σ-代数は位相空間の開集合系とよく似た「部分集合の族の公理」だが、閉じている演算が異なる。

位相空間 $X$ の開集合全体が生成する σ-代数を $X$ の Borel σ-代数といい、その元を Borel 集合という。$\mathbb{R}$ の場合は Lebesgue測度 の記事の定義「σ-代数と測度」の後で導入され、すべての Borel 集合が Lebesgue 可測であることが示されている（同記事の命題「区間とBorel集合の可測性・不変性」）。連続写像は Borel σ-代数に関して可測である。開集合の逆像が開集合なので、thm-sigma-algebra-generator の 3 を生成系「開集合全体」に使えばよい。

単調族定理

生成される σ-代数の元について何かを示すとき、次の定理も「性質を満たす集合全体」の論法とともによく使われる。部分集合の族 $\mathcal{M}$ が増加列の和集合と減少列の共通部分で閉じているとき、$\mathcal{M}$ を単調族という。σ-代数は単調族である。

測度・確率との関係

可測空間 $(X,\mathcal{S})$ の上で、$\mathcal{S}$ の元に $[0,\infty]$ の値を、空集合には $0$ を与え、可算加法的に割り当てたものが測度であり、全体の値が $1$ の測度が確率である（確率空間 の記事の定義「確率空間」）。

関連項目

• 前提: 集合, 冪集合, 可算集合
• 比較: Boole代数, 位相空間
• 直後に読む: 逆像, 確率空間, Lebesgue測度, Borel集合, 測度
• 発展: Lebesgue積分, 確率変数, 特性関数(集合)