Riemannの再配列定理

$c<\lambda$ の実数 $c$ は集積値でない。実際、$c< r<\lambda$ となる実数 $r$ をとると、$\inf_{n\ge N}s_n\to\lambda$ なので十分大きい $N$ から先はすべて $s_n>r$ となり、$c$ に収束する部分列はない。$c>\mu$ も同様である。
$\lambda< c<\mu$ とする。$\varepsilon>0$ と $N$ を任意にとる。$n\ge N'$ で $|s_{n+1}-s_n|<\varepsilon$ となる $N'\ge N$ をとる。上極限が $c$ より大きいので $s_n>c$ となる $n\ge N'$ があり、下極限が $c$ より小さいので $s_m< c$ となる $m>n$ がある。$j:=\min\{i>n\mid s_i< c\}$ とすると $s_{j-1}\ge c>s_j$ であり、$0< c-s_j\le s_{j-1}-s_j<\varepsilon$ となる。よって任意の $\varepsilon$ と $N$ に対して $|s_j-c|<\varepsilon$ となる $j\ge N$ があり、$\varepsilon=1,\frac12,\frac13,\dots$ について番号を増やしながら選べば $c$ に収束する部分列が得られる。
$\lambda$ が実数のとき、$\lambda$ は集積値である。実際、$\varepsilon>0$ と $N$ に対し $\inf_{n\ge N'}s_n>\lambda-\varepsilon$ となる $N'\ge N$ をとると、$\inf_{n\ge N'}s_n\le\lambda$ なので $s_n<\lambda+\varepsilon$ となる $n\ge N'$ があり、その $n$ で $|s_n-\lambda|<\varepsilon$ である。$\mu$ が実数のときも同様である。

段 1（材料）．$a_n>0$ となる添字、$a_n<0$ となる添字、$a_n=0$ となる添字をそれぞれ小さい順に並べる。絶対収束 の記事の命題「正の部分と負の部分の級数」により $\sum a_n^+=\sum a_n^-=+\infty$ なので、正の項と負の項はどちらも無限個あり、正の項のうち有限個を除いた残りの和も $+\infty$、負の項のうち有限個を除いた残りの和も $-\infty$ である。また $a_n\to0$ である（級数 の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」）。
段 2（壁）．実数列 $(\alpha_k)$、$(\beta_k)$ を、すべての $k$ で $\alpha_k\le\beta_k$ かつ $\alpha_{k+1}\le\beta_k$ を満たし、$\alpha_k\to\lambda$、$\beta_k\to\mu$ となるようにとる。たとえば $\lambda,\mu$ がともに実数なら $\alpha_k=\lambda$、$\beta_k=\mu$、$\lambda$ が実数で $\mu=+\infty$ なら $\alpha_k=\lambda$、$\beta_k=\lambda+k$、$\lambda=-\infty$ で $\mu$ が実数なら $\alpha_k=\mu-k$、$\beta_k=\mu$、$\lambda=-\infty$、$\mu=+\infty$ なら $\alpha_k=-k$、$\beta_k=k$、$\lambda=\mu=+\infty$ なら $\alpha_k=k$、$\beta_k=k+1$、$\lambda=\mu=-\infty$ なら $\alpha_k=-k-1$、$\beta_k=-k$ とすればよい。
段 3（構成）．現在の和を $0$ から始め、$k=1,2,\dots$ の順に第 $k$ 段を次のように行う。

1. 現在の和が $\alpha_k$ 以上である間、まだ使っていない負の項のうち添字が最小のものを並べて足す。
2. 現在の和が $\beta_k$ 以下である間、まだ使っていない正の項のうち添字が最小のものを並べて足す。
3. まだ使っていない $0$ の項があれば、添字が最小のものを 1 つ並べる。
   残りの負の項の和は $-\infty$、正の項の和は $+\infty$ なので、1 と 2 は有限回で止まり、各段は有限個の項を並べる。こうして並べた添字の列を $\sigma(1),\sigma(2),\dots$ とし、部分和を $T_N$、第 $k$ 段の 1 が終わった時点の和を $l_k$、第 $k$ 段の終わりの和を $u_k$ とする。$l_k<\alpha_k$、$u_k>\beta_k$ である。

段 4（全単射）．$k\ge2$ のとき第 $k$ 段は和 $u_{k-1}>\beta_{k-1}\ge\alpha_k$ から始まるので、1 で負の項を少なくとも 1 つ使う。どの段でも 1 の後の和は $l_k<\alpha_k\le\beta_k$ なので、2 で正の項を少なくとも 1 つ使う。各種類の項は添字の小さい順に使うので、正の項と負の項はすべていずれかの段で使われ、$0$ の項も 1 段に 1 つずつすべて使われる。使っていない項だけを並べるので $\sigma$ は単射であり、$\sigma$ は全単射である。
段 5（行き過ぎの評価）．$\varepsilon>0$ に対し $|a_n|\ge\varepsilon$ となる $n$ は有限個で、それらは有限個の位置にしか現れないので、$a_{\sigma(N)}\to0$ である。$k\ge2$ のとき、第 $k$ 段の 1 で最後に足した項を $a_{\sigma(m)}$ とすると、その直前の和は $\alpha_k$ 以上なので $\alpha_k+a_{\sigma(m)}\le l_k<\alpha_k$ である。同様に、2 で最後に足した項を $a_{\sigma(m')}$ とすると $\beta_k< u_k\le\beta_k+a_{\sigma(m')}$ である。段の番号が大きくなるとこれらの位置も大きくなるので、$l_k-\alpha_k\to0$、$u_k-\beta_k\to0$ である。よって $l_k\to\lambda$、$u_k\to\mu$（$\pm\infty$ を含めた意味で）である。
段 6（上極限と下極限）．$k\ge2$ のとき、第 $k$ 段の 1 の間の部分和は $u_{k-1}$ から $l_k$ まで減り続け、2 の間は $l_k$ から $u_k$ まで増え続け、3 では変わらない。したがって第 $k$ 段に属するすべての $N$ で
$$ l_k\le T_N\le\max(u_{k-1},u_k) $$
である。$l_k$ と $u_k$ はそれぞれ部分和として現れる値なので、$\liminf T_N=\lim l_k=\lambda$、$\limsup T_N=\lim u_k=\mu$ である。最後に $T_{N+1}-T_N=a_{\sigma(N+1)}\to0$ なので、lem-rr-clusters により集積値の集合は $[\lambda,\mu]\cap\mathbb R$ である。

上極限と下極限が等しい $L\in\{-\infty\}\cup\mathbb R\cup\{+\infty\}$ なら部分和は $L$ に近づく（上極限と下極限 の記事の定理「上極限・下極限による収束判定」）。よって 1 は $\lambda=\mu=x$、2 は $\lambda=\mu=+\infty$ または $\lambda=\mu=-\infty$ とすればよい。3 では、$J$ の左端を $\lambda$（$J$ が下に有界でなければ $\lambda=-\infty$）、右端を $\mu$ とすると $J=[\lambda,\mu]\cap\mathbb R$ であり、thm-rr-main を使う。$J$ が 2 点以上を含めば $\lambda<\mu$ なので、部分和は収束も $\pm\infty$ への発散もしない。

着いた項をすぐには出さずに「保留の箱」に入れ、箱の中身の合計がおよそ $c$ に保たれるように出していく。箱の合計が $c$ に届かないうちは、先の番号の十分小さい項を前借りして出す。前借りした項の合計は小さく抑えられるので、遅れ $D_k$ は箱の中身の合計に近づく。

1 を示す。$a_n>0$ となる添字を小さい順に $r_1< r_2<\cdots$ とし、$p_i:=a_{r_i}$ とおく。thm-rr-main の証明の段 1 と同じ理由で $p_i\to0$、$\sum p_i=+\infty$ である。$c:=s-s'>0$ として lem-rr-deficit の $\pi$ をとり、
$$ \rho(r_i):=r_{\pi(i)},\qquad a_n\le0\text{ なら }\rho(n):=n $$
と定める。$\rho$ は正の項の位置の集合の上では全単射、その補集合の上では恒等写像なので、$\mathbb N$ の全単射である。$N$ 以下の正の項の位置の個数を $k(N)$ とすると、負の項と $0$ の項は同じ位置で打ち消し合うので
$$ \sum_{n\le N}a_{\rho(n)}-\sum_{n\le N}a_n=\sum_{i\le k(N)}p_{\pi(i)}-\sum_{i\le k(N)}p_i=-D_{k(N)} $$
である（$k(N)=0$ のときは両辺とも $0$）。$N\to\infty$ で $k(N)\to\infty$ なので右辺は $-c$ に収束し、$\sum a_{\rho(n)}=s-c=s'$ である。
2 は、$\sum(-a_n)$（和 $-s$ に条件収束する）に 1 を $-s''<-s$ について当て、得られた並べ替えの各項の符号を戻せばよい。$-a_n\le0$ の位置、すなわち $a_n\ge0$ の位置が固定される。

$c_n:=|a_n|$ とおく。$S_0:=0$ とし、$n=1,2,\dots$ の順に、$S_{n-1}\le x$ なら $\varepsilon_na_n=c_n$、$S_{n-1}>x$ なら $\varepsilon_na_n=-c_n$ となるように $\varepsilon_n$ を選び（$a_n=0$ なら $\varepsilon_n=1$）、$S_n:=S_{n-1}+\varepsilon_na_n$ とする。$S_{n-1}\le x< S_n$ または $S_{n-1}>x\ge S_n$ となる $n$ を「またぐ番号」と呼ぶ。
ある番号から先でまたがないとすると、その先ずっと $S_n\le x$ で $c_n$ を足し続けるか、ずっと $S_n>x$ で $c_n$ を引き続けることになり、$\sum c_n=+\infty$ から $S_n\to\pm\infty$ となって矛盾する。よってまたぐ番号は無限個ある。またぐ番号 $m$ では $|S_m-x|\le c_m$ である。またがない番号 $n$ では $S_n$ は $S_{n-1}$ と $x$ の間（$x$ を含む）にあるので、$|S_n-x|\le|S_{n-1}-x|$ である。したがって最初のまたぐ番号より後の $n$ について、$n$ 以前で最後のまたぐ番号を $m(n)$ とすると $|S_n-x|\le c_{m(n)}$ であり、$m(n)\to\infty$ と $c_n\to0$ から $S_n\to x$ である。条件収束する級数については $a_n\to0$（級数 の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」）と $\sum|a_n|=+\infty$ が成り立つ。