Lp空間の双対

$\|T_pu\|\le\|u\|_{p'}$ は Hölder の不等式である。逆向きを示す。$u=0$ なら明らかなので $\|u\|_{p'}>0$ とし、$\int uf_0\,d\mu$ が大きくなる $f_0$ を指数ごとに選ぶ。
$1< p<\infty$：$f_0=\operatorname{sign}(u)\,|u|^{p'-1}$ とおく。$(p'-1)p=p'$ なので $|f_0|^p=|u|^{p'}$ であり、$f_0\in L^p$、$\|f_0\|_p=\|u\|_{p'}^{p'/p}$ である。$\int uf_0=\int|u|^{p'}=\|u\|_{p'}^{p'}$ だから
$$ \|T_pu\|\ge\frac{\int uf_0}{\|f_0\|_p}=\|u\|_{p'}^{p'-p'/p}=\|u\|_{p'} $$
である（$p'-\frac{p'}p=p'\bigl(1-\frac1p\bigr)=1$）。
$p=\infty$（$p'=1$）：$f_0=\operatorname{sign}u$ は $\|f_0\|_\infty\le1$ で、$\int uf_0=\|u\|_1$ である。
$p=1$（$p'=\infty$）：$0< C<\|u\|_\infty$ をとる。$A=\{|u|>C\}$ は本質的上限の定義から零集合でないので、ある $n$ で $0<\mu(A\cap\Omega_n)<\infty$ である。$f_0=\operatorname{sign}(u)\,1_{A\cap\Omega_n}/\mu(A\cap\Omega_n)$ とおくと $\|f_0\|_1=1$ で、
$$ \int uf_0\,d\mu=\frac1{\mu(A\cap\Omega_n)}\int_{A\cap\Omega_n}|u|\,d\mu\ge C $$
である。よって $\|T_1u\|\ge C$ であり、$C\uparrow\|u\|_\infty$ として結論を得る。
等長な線形写像は単射である。$L^{p'}$ は完備なので（Lp空間 の記事の定理「$L^p$ 空間の完備性（Riesz–Fischer）」）、その等長像も完備であり、閉じている。$\square$

prop-lpd-isometry により、$T_p$ は等長で、像 $E=T_p(L^{p'})$ は閉部分空間である。$E\ne(L^p)^*$ と仮定する。$(L^p)^*$ は Banach 空間であり、Hahn–Banachの定理 の記事の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」により、$E$ の上で $0$ になる $0$ でない $H\in(L^p)^{**}$ がある。
Lp空間の反射性 の定理「$1< p<\infty$ での反射性」により $L^p$ は反射的なので、評価写像 $J\colon L^p\to(L^p)^{**}$ は全射であり、ある $h\in L^p$ で $H=J(h)$、すなわちすべての $\psi\in(L^p)^*$ について $H(\psi)=\psi(h)$ となる。$H$ は $E$ の上で $0$ だから、すべての $u\in L^{p'}$ について
$$ 0=H(T_pu)=(T_pu)(h)=\int uh\,d\mu $$
である。$u=\operatorname{sign}(h)\,|h|^{p-1}$ とおくと $|u|^{p'}=|h|^p$ なので $u\in L^{p'}$ であり、$0=\int uh=\int|h|^p$ となる。よって $h=0$、$H=J(0)=0$ となり矛盾する。したがって $T_p$ は全射である。$u$ の一意性とノルムの等式は $T_p$ の等長性から従う。$\square$

$D_1=\Omega_1$、$D_n=\Omega_n\setminus\Omega_{n-1}$（$n\ge2$）とおくと、$D_n$ は互いに交わらず、和は $X$ である。$\alpha_n=2^{-n}(1+\mu(\Omega_n))^{-1/2}>0$ とし、$w=\sum_n\alpha_n1_{D_n}$ とおく。各点はちょうど 1 つの $D_n$ に属するので $w$ は正の値をとる可測関数であり、単調収束定理により $\int w^2=\sum_n\alpha_n^2\mu(D_n)\le\sum_n4^{-n}<\infty$ である。$\Omega_n=D_1\cup\dots\cup D_n$ なので、$\Omega_n$ の上で $w\ge\varepsilon_n=\min_{j\le n}\alpha_j$ である。$\square$

$L^2$ への帰着：lem-lpd-weight の $w$ をとる。$f\in L^2$ なら Hölder の不等式（$p=2$）により $wf\in L^1$、$\|wf\|_1\le\|w\|_2\|f\|_2$ なので、$f\mapsto\varphi(wf)$ は $L^2$ 上の有界線形汎関数である。thm-lpd-finite を $p=2$ で使うと、$v\in L^2$ で
$$ \varphi(wf)=\int vf\,d\mu\quad(f\in L^2) $$
となるものがある。$v$ の代表を有限値にとり、$u=v/w$ とおく。$u$ は可測関数である。
有界な関数での表示：$g$ を有界な可測関数とし、$n$ を固定する。$f=1_{\Omega_n}g/w$ は $|f|\le\sup|g|/\varepsilon_n$ を満たし、測度有限な $\Omega_n$ の外で $0$ なので $L^2$ に属する。$wf=1_{\Omega_n}g$ だから
$$ \varphi(1_{\Omega_n}g)=\int v\,\frac{1_{\Omega_n}g}w\,d\mu=\int u\,1_{\Omega_n}g\,d\mu $$
である（右辺の被積分関数は $1_{\Omega_n}|v|\sup|g|/\varepsilon_n$ で押さえられ、$v\in L^2$ と $\mu(\Omega_n)<\infty$ からこれは可積分）。
$u$ の有界性：$C>\|\varphi\|$ をとり、$A=\{|u|>C\}$ とおく。上の式を $g=1_A\operatorname{sign}u$ に使うと
$$ C\mu(A\cap\Omega_n)\le\int_{A\cap\Omega_n}|u|\,d\mu=\varphi\bigl(1_{A\cap\Omega_n}\operatorname{sign}u\bigr)\le\|\varphi\|\,\mu(A\cap\Omega_n) $$
である。$\mu(A\cap\Omega_n)<\infty$ なので $\mu(A\cap\Omega_n)=0$ であり、$n$ について和をとって $\mu(A)=0$ となる。$C=\|\varphi\|+\frac1k$（$k=1,2,\dots$）として零集合の可算和をとると、ほとんどいたるところ $|u|\le\|\varphi\|$ である。よって $u\in L^\infty$、$\|u\|_\infty\le\|\varphi\|$ である。
一般の $h\in L^1$ への拡張：$h_n=1_{\Omega_n}\max(-n,\min(h,n))$ とおく。$h_n$ は有界なので $\varphi(h_n)=\int uh_n$ である。各点で $h_n\to h$、$|h_n-h|\le2|h|$ なので、優収束定理（Lebesgue積分 の記事の定理「優収束定理」）により $\|h_n-h\|_1\to0$ である。$\varphi$ の連続性から $\varphi(h_n)\to\varphi(h)$、Hölder の不等式から $|\int u(h_n-h)|\le\|u\|_\infty\|h_n-h\|_1\to0$ なので、$\varphi(h)=\int uh$ を得る。
よって $\varphi=T_1u$ であり、$T_1$ は全射である。一意性とノルムの等式は prop-lpd-isometry（$p=1$）から従う。$\square$

原子と「有限個の原子で覆われる」ことの定義は Lp空間の反射性 の定義「原子」による。
$T_\infty$ が全射なら $L^1$ は反射的であることを示す。$\Xi\in(L^1)^{**}$ をとると、$\Xi\circ T_1$ は $L^\infty$ 上の有界線形汎関数なので、仮定からある $h\in L^1$ で $\Xi(T_1g)=\int hg$（$g\in L^\infty$）と書ける。一方 $J(h)(T_1g)=(T_1g)(h)=\int gh$ である。thm-lpd-l1 により $T_1$ は全射なので $\Xi=J(h)$ であり、$J$ は全射である。Lp空間の反射性 の定理「端点での反射性」により、$L^1$ が反射的なら $X$ は有限個の原子で覆われる。
逆に $X$ が有限個の原子で覆われるなら、同じ定理により $L^1$ は有限次元である。$\dim L^1=d$ とすると $(L^1)^*$ も $d$ 次元であり、$T_1\colon L^\infty\to(L^1)^*$ は線形な同型なので $L^\infty$ も、その双対 $(L^\infty)^*$ も $d$ 次元である。単射な線形写像 $T_\infty$ は次元の比較から全射である。$\square$