曲げ折り法

1：$H$ は豊富なので、曲線 $A$ について $D\cdot A=H\cdot G_*[A]\ge0$ である。$G$ の像は曲面 $Y$ で、$D^2=\deg(S'\to Y)\,(H|_Y)^2>0$ である。

2：交点形式は $S'$ の Néron–Severi 空間の上で符号 $(1,\rho-1)$ をもつ（Har77 V 定理 1.9 と注意 1.9.1, p. 364）。$D^2>0$ なので $D$ の直交補空間は負定値である。$\square$

記号．$\varepsilon$ の $j$ 回目の爆発の例外曲線の、$S'$ での全変換を $E_j$ とする。$E_j^2=-1$、$E_j\cdot E_l=0$（$j\ne l$）で、$\overline D:=\varepsilon_*D$、$m_j:=D\cdot E_j\ge0$ とおくと $D\equiv\varepsilon^*\overline D-\sum_jm_jE_j$ である。$\Sigma_i:=\{p_i\}\times\overline T$ の $S'$ での固有変換を $\Sigma_i'$ とすると、$\Sigma_i$ は滑らかなので $\Sigma_i'\equiv\varepsilon^*\Sigma_i-\sum_{j\in J_i}E_j$ である。ここで $J_i$ は、中心が $\Sigma_i$ の固有変換の上にある爆発の番号の集合である。$\Sigma_i$ たちは互いに交わらないので、$J_i$ たちも互いに交わらない。

$w$ の定義．$\Sigma_i'$ は $G$ で点 $x_i$ につぶれるので $D\cdot\Sigma_i'=0$、すなわち $\overline D\cdot\Sigma_i=\sum_{j\in J_i}m_j$ である。$\Sigma_i$ はすべて同じ数値的同値類 $\tau$ に属するので、この値は $i$ によらない。これを $w$ とおく。

$\sum m_j^2$ の評価．$\varphi$ を $C\times\{t\}$ の類とする。$\varphi^2=\tau^2=0$、$\varphi\cdot\tau=1$ で、$\overline D\cdot\varphi=e$ である（一般の $t$ の $C\times\{t\}$ は爆発の中心を通らない）。Hodge 指数定理により $\varphi,\tau$ の張る平面の直交補空間は負定値なので、$\overline D\equiv w\varphi+e\tau+u$（$u$ は直交補空間の元）と書くと $\overline D^2=2ew+u^2\le2ew$ である。lem-bb-negative の 1 により $0 < D^2=\overline D^2-\sum_jm_j^2\le2ew-\sum_jm_j^2$ である。$e > 0$ なので、ここから $w > 0$ も従う（$w=0$ なら右辺が $0$ 以下である）。

小さい $m_j$．$\sum_i\sum_{j\in J_i}m_j^2 < 2ew$ なので、ある $i$ について $\sum_{j\in J_i}m_j^2 < 2ew/b$ である。$J_i$ の中の $m_j$ の正の値の最小値を $m$ とすると、$mw\le\sum_{j\in J_i}m_j^2$ なので $m < 2e/b$ である。$m_j=m$ となる $j\in J_i$ を 1 つとり、$j_0$ とする。

$x_i$ を通る有理曲線．$j_0$ の中心は $\Sigma_i$ の固有変換の上にあるので、$\Sigma_i'$ は $E_{j_0}$ と交わる。$E_{j_0}$ は連結で $\mathbb{P}^1$ の和であり、$D\cdot E_{j_0}=m > 0$ なので $G$ でつぶれない成分をもつ。$\Sigma_i'$ と、$E_{j_0}$ の成分のうち $G$ でつぶれるものを $\Sigma_i'$ から順につないだ連結な集合を $W$ とすると、$G(W)=x_i$ で、つぶれない成分 $A$ で $W$ と交わるものがある。$\Gamma:=G(A)$ は $x_i$ を通り、$\mathbb{P}^1$ の像なので有理曲線である（有理曲線 の系「有理曲線の像と単有理な曲線」）。$H\cdot\Gamma\le D\cdot A\le D\cdot E_{j_0}=m < 2e/b$ である。$\square$

ファイバーの類は一定なので、一般のファイバーについての随伴公式から $\sum_im_iK_{S'}\cdot C_i=-2$ である。可約なファイバーの成分は $C_i^2 < 0$ をみたす。随伴公式 $2p_a(C_i)-2=C_i^2+K_{S'}\cdot C_i$ により、$K_{S'}\cdot C_i < 0$ なら $C_i^2 > 2p_a(C_i)-2\ge-2$ なので $C_i^2=-1$、$p_a(C_i)=0$ である。このとき $K_{S'}\cdot C_i=-1$ である。ほかの成分では $K_{S'}\cdot C_i\ge0$ なので、$-2\ge-\sum_{(-1)\text{ 曲線}}m_i$ を得る。後半は、$E$ だけが $(-1)$ 曲線なら和が $1$ になることから従う。$\square$

解消の節の記号で $C=\mathbb{P}^1$ とし、$\pi\colon S'\to\overline T$ を射影とする。$\pi$ のファイバーはすべて $S'$ の中で同じ数値的同値類をもつ。ファイバー $\Phi=\sum_im_iC_i$ について、Cartier 因子 $L$ に対し $L\cdot G_*\Phi=G^*L\cdot\Phi$ は $\Phi$ によらないので、$G_*\Phi\equiv(f_t)_*[\mathbb{P}^1]$ である。$\Phi$ の成分は $\mathbb{P}^1$ の爆発の例外曲線と元のファイバーの固有変換で、どれも有理曲線なので、$G$ でつぶれない成分の像は有理曲線である。

次を示す：$G$ でつぶれない成分が 2 つ以上あるか、つぶれない成分の重複度が 2 以上であるようなファイバーが存在する。そのファイバー $\Phi$ について、つぶれない成分 $C_i$ の像 $\Gamma_i$ と $a_i:=m_i\deg(C_i\to\Gamma_i)$ をとる（像が同じ成分はまとめる）と $\sum a_i\ge2$ である。$\Phi$ は連結で、$0$ と $\infty$ の切断と交わるので、$G(\Phi)=\bigcup\Gamma_i$ は連結で $x,y$ を含む。

主張を否定する。どのファイバーも、$G$ でつぶれない成分をちょうど 1 つ（$D\cdot\Phi > 0$ なので少なくとも 1 つある）、重複度 $1$ でもつ。lem-bb-fibre により、可約なファイバーには $G$ でつぶれる $(-1)$ 曲線があり、これを縮約しても $\pi$ と $G$ は縮約後の曲面を経由する。これを繰り返すと、滑らかな射影曲面 $\overline S$、既約なファイバーをもつ射 $\overline\pi\colon\overline S\to\overline T$、射 $\overline G\colon\overline S\to X$ を得る。ファイバー $\overline\Phi$ は $\overline\Phi^2=0$、$K\cdot\overline\Phi=-2$ なので $\mathbb{P}^1$ であり、$\overline\pi$ は $\mathbb{P}^1$ 束である。

$0$、$\infty$ の切断の像を $\Sigma_0,\Sigma_\infty$ とする。これらは $\overline\pi$ の相異なる切断で、$\overline G$ で点につぶれる。$\overline D:=\overline G^*H$ について、lem-bb-negative の 1、2 の証明は $\overline S$ でも同じに成り立つ（$\overline D^2 > 0$ で、その直交補空間は負定値である）。$\mathbb{P}^1$ 束の Picard 群は 1 つの切断とファイバーの引き戻しで生成される（Har77 V 命題 2.3, p. 370）ので、$\Sigma_0\cdot\overline\Phi=\Sigma_\infty\cdot\overline\Phi=1$ から $\Sigma_0-\Sigma_\infty\equiv a\overline\Phi$（$a\in\mathbb{Z}$）である。$(\Sigma_0-\Sigma_\infty)^2=0$ かつ $\overline D\cdot(\Sigma_0-\Sigma_\infty)=0$ なので、負定値性から $\Sigma_0\equiv\Sigma_\infty$ である。すると $\Sigma_0^2=\Sigma_0\cdot\Sigma_\infty\ge0$ となるが、$\Sigma_0$ は $\overline D$ と直交し数値的に $0$ でないので $\Sigma_0^2 < 0$ であり、矛盾する。$\square$

$\nu\colon\tilde C\to C$ を正規化、$g\ge1$ をその種数とし、$d:=-K_X\cdot C$、$e_0:=H\cdot C$、$\delta:=\lfloor2ne_0/d\rfloor$ とおく。$H$ 次数が $\delta$ 以下の有理曲線の和集合を $R_\delta\subset X$ とする。$H$ 次数が $\delta$ 以下の定値でない射 $\mathbb{P}^1\to X$ の空間は有限型なので $R_\delta$ は構成可能集合で、有理曲線の族の極限は有理曲線の和なので（thm-bb-two の証明と同じ解消による）、$R_\delta$ は閉集合である。

標数 $p > 0$．$x\notin R_\delta$ と仮定する。$C\not\subset R_\delta$ なので $C\cap R_\delta$ は有限集合である。$q=p^m$ について $f_q:=\nu\circ\phi_q\colon C_q\to X$（$\phi_q\colon C_q\to\tilde C$ は次数 $q$ の Frobenius 写像、$C_q$ の種数は $g$）とおくと、$-K_X\cdot(f_q)_*[C_q]=qd$、$H\cdot(f_q)_*[C_q]=qe_0$ である。$b:=\lfloor(qd+n(1-g)-1)/n\rfloor$ とおき、$q$ を $b\ge1$ となるほど大きくとる。$f_q(B)\cap R_\delta=\emptyset$ となる $b$ 点の集合 $B\subset C_q$ をとる。prop-bb-dimension により、$\operatorname{Hom}(C_q,X;f_q|_B)$ は $[f_q]$ で次元 $1$ 以上である。$[f_q]$ を通る曲線の正規化の開集合を $T$ とし、族 $F$ を得る。

$F$ は曲がる。曲がらないとすると、$F$ は $C_q\times T\to C$ で、$C_q\times T$ は正規なので $\tilde C$ を経由する。$\tilde C$ の種数は $1$ 以上なので、この射は $C_q\times\overline T$ の全体に延びる（爆発の例外曲線は有理曲線で、$\tilde C$ の上で定値だからである）。$B$ の 1 点の上で定値なので、剛性補題により $t$ によらず、$T$ の取り方に反する。

thm-bb-fixed により、$f_q(B)$ のある点を通る有理曲線 $\Gamma$ で $H\cdot\Gamma < 2qe_0/b$ となるものがある。$q\to\infty$ で $2qe_0/b\to2ne_0/d$ であり、$H\cdot\Gamma$ は整数なので、$q$ が大きければ $H\cdot\Gamma\le\delta$ である。すると $f_q(B)$ の点が $R_\delta$ に入り、$B$ の取り方に反する。よって $x\in R_\delta$ である。$R_\delta$ の定義により $x$ を通る $H$ 次数 $\delta$ 以下の有理曲線があり、これが求める $\Gamma$ である。

標数 $0$．$X,H,C,x$ を有限生成の $\mathbb{Z}$ 代数 $A$ の上の族に広げ、$A$ を局所化して、$H$ の豊富性、滑らかさ、$\nu$ と交点数が保たれるようにする。$A$ の極大イデアルの剰余体は有限体で、その代数閉包の上で上の結果から、$x$ を通る $H$ 次数 $\delta$ 以下の有理曲線がある。$0$ を $x$ に写し $H$ 次数が $\delta$ 以下の定値でない射 $\mathbb{P}^1\to X$ の空間は $A$ 上有限型なので、その像は $\operatorname{Spec}A$ の構成可能集合である。この像はすべての閉点を含むので全体に一致する（空でない構成可能集合は閉点を含むので、補集合は空である）。よって元の体の上でもこの空間は空でなく、$x$ を通る $H$ 次数 $\delta$ 以下の有理曲線がある。$\square$