双対空間(線形代数)

$V$ の各元 $v$ は、有限個を除いて $0$ である係数 $(a_i)_{i\in I}$ によって $v=\sum_ia_iv_i$ とただ一通りに書ける（基底の定義）。
一意性：$\varphi,\varphi'\in V^*$ がすべての $i$ で $\varphi(v_i)=\varphi'(v_i)$ を満たせば、線形性により $\varphi(v)=\sum_ia_i\varphi(v_i)=\sum_ia_i\varphi'(v_i)=\varphi'(v)$ である（和は有限和）。
存在：$v=\sum_ia_iv_i$ に対し $\varphi(v):=\sum_ia_ic_i$ と定める。係数 $a_i$ は $v$ から一意に定まり有限個を除いて $0$ なので、これは $K$ の元として定まる。$v=\sum_ia_iv_i$、$w=\sum_ib_iv_i$、$a\in K$ なら $v+aw=\sum_i(a_i+ab_i)v_i$ なので $\varphi(v+aw)=\sum_i(a_i+ab_i)c_i=\varphi(v)+a\varphi(w)$ となり、$\varphi$ は線形である。$v_j$ の係数は $a_i=\delta_{ij}$ なので $\varphi(v_j)=c_j$ である。
$\Phi$ が線形であることは $V^*$ の演算の定義から従い、上の一意性は $\Phi$ が単射であること、存在は全射であることを意味する。

2：$v=\sum_jc_jv_j$ と書くと、$\varphi_i(v)=\sum_jc_j\varphi_i(v_j)=\sum_jc_j\delta_{ij}=c_i$ である。
3：$\psi:=\sum_i\varphi(v_i)\varphi_i$ とおくと、$\psi(v_j)=\sum_i\varphi(v_i)\delta_{ij}=\varphi(v_j)$ がすべての $j$ で成り立つ。prop-dual-values-on-basis の一意性により $\psi=\varphi$ である。
1：3 により $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ は $V^*$ を生成する。$\sum_ia_i\varphi_i=0$ なら、両辺を $v_j$ で評価して $a_j=0$ を得るので線形独立である。よって基底であり、$\dim V^*=n$ である。

1：$\psi\in W^*$ について $(S\circ T)^*(\psi)=\psi\circ S\circ T=T^*(\psi\circ S)=T^*(S^*(\psi))$ である。$(\mathrm{id}_V)^*(\psi)=\psi\circ\mathrm{id}_V=\psi$ である。$(S+aS')^*(\psi)=\psi\circ(S+aS')=\psi\circ S+a\,\psi\circ S'$ は $\psi$ の線形性による。
2：prop-dual-basis の 3 により $T^*(w_i^*)=\sum_j\bigl(T^*(w_i^*)\bigr)(v_j)\,v_j^*$ であり、係数は
$$ \bigl(T^*(w_i^*)\bigr)(v_j)=w_i^*(Tv_j)=w_i^*\Bigl(\sum_{k=1}^ma_{kj}w_k\Bigr)=\sum_ka_{kj}\delta_{ik}=a_{ij} $$
である。よって $T^*(w_i^*)=\sum_ja_{ij}v_j^*$ となり、$T^*$ の表現行列の $(j,i)$ 成分は $a_{ij}$、すなわち表現行列は $A^{\top}$ である。

$n:=\dim V$、$k:=\dim U$ とする（$U$ は有限次元で $k\le n$。線形代数学 の記事の補題「部分空間の基底と基底の延長」の 1）。$U$ の基底 $u_1,\dots,u_k$ をとり、同じ補題の 2 によって $V$ の基底 $u_1,\dots,u_k,u_{k+1},\dots,u_n$ に延長する（$k=0$ なら $V$ の任意の基底、$k=n$ なら延長しない）。その双対基底を $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ とする。
まず $U^0=\operatorname{span}(\varphi_{k+1},\dots,\varphi_n)$ を示す。$j>k$ なら $\varphi_j(u_i)=0$（$i\le k$）なので、$\varphi_j$ は $U$ の基底の上で $0$、したがって $U$ 上で $0$ であり $\varphi_j\in U^0$ である。逆に $\varphi\in U^0$ なら、prop-dual-basis の 3 により $\varphi=\sum_{i=1}^n\varphi(u_i)\varphi_i=\sum_{i>k}\varphi(u_i)\varphi_i$ である。$\varphi_{k+1},\dots,\varphi_n$ は線形独立なので、$\dim U^0=n-k$ となり 2 が従う。
1：$r$ は線形で、核が $U^0$ であることは定義そのものである。$\psi\in U^*$ に対し、prop-dual-values-on-basis により $\varphi(u_i)=\psi(u_i)$（$i\le k$）、$\varphi(u_i)=0$（$i>k$）を満たす $\varphi\in V^*$ がとれる。$\varphi|_U$ と $\psi$ は $U$ の基底上で一致するので $r(\varphi)=\psi$ である。
3：右辺を $U'$ とおく。$U\subset U'$ は $U^0$ の定義から明らかである。$v=\sum_ia_iu_i\in U'$ なら、$j>k$ について $\varphi_j\in U^0$ だから $a_j=\varphi_j(v)=0$ となり、$v=\sum_{i\le k}a_iu_i\in U$ である。
4：基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」の 3（有限次元の空間の部分空間は、次元が等しいときに限り全体と一致する）を使う。$U^0=\{0\}$ は $\dim U^0=0$ と同値であり、2 によりこれは $\dim U=n$、すなわち $U=V$ と同値である。$\dim V^*=n$（prop-dual-basis の 1）なので、$U^0=V^*$ は $\dim U^0=n$ と同値であり、2 によりこれは $\dim U=0$、すなわち $U=\{0\}$ と同値である。

1：$\psi\in W^*$ について、$T^*(\psi)=\psi\circ T=0$ は「すべての $v$ で $\psi(Tv)=0$」、すなわち $\psi$ が $\operatorname{im}T$ 上で $0$ であることと同値である。
2：$T^*\colon W^*\to V^*$ に線形代数学 の記事の定理「次元定理」を適用し、1、thm-dual-annihilator の 2、prop-dual-basis の 1 を使うと
$$ \operatorname{rank}T^*=\dim W^*-\dim\ker T^*=\dim W-\dim(\operatorname{im}T)^0=\dim W-(\dim W-\operatorname{rank}T)=\operatorname{rank}T $$
である。
3：$\varphi=T^*(\psi)\in\operatorname{im}T^*$ なら、$v\in\ker T$ について $\varphi(v)=\psi(Tv)=\psi(0)=0$ なので $\operatorname{im}T^*\subset(\ker T)^0$ である。次元を比べると、thm-dual-annihilator の 2、次元定理、2 により
$$ \dim(\ker T)^0=\dim V-\dim\ker T=\operatorname{rank}T=\operatorname{rank}T^* $$
なので、両者は等しい（基底と次元 の記事の命題「有限次元空間における独立系と生成系」の 3）。
4：$T$ が全射 $\iff\operatorname{im}T=W\iff(\operatorname{im}T)^0=\{0\}$（thm-dual-annihilator の 4）$\iff\ker T^*=\{0\}$（1）$\iff T^*$ が単射、である。同様に $T$ が単射 $\iff\ker T=\{0\}\iff(\ker T)^0=V^*$（thm-dual-annihilator の 4）$\iff\operatorname{im}T^*=V^*$（3）$\iff T^*$ が全射、である。

$T_A\colon K^n\to K^m$、$T_A(x):=Ax$ とする。$T_A$ の像は $A$ の列ベクトル $a_1,\dots,a_n$ の張る部分空間 $\operatorname{span}(a_1,\dots,a_n)$ である（$Ax=\sum_jx_ja_j$）から、$\operatorname{rank}T_A$ は $A$ の列ランクに等しい。
thm-dual-map-transpose の 2 により、$T_A^*\colon(K^m)^*\to(K^n)^*$ の、座標関数からなる双対基底に関する表現行列は $A^{\top}$ である。基底に関する座標をとる写像 $(K^m)^*\to K^m$、$(K^n)^*\to K^n$ はどちらも線形同型であり（prop-dual-values-on-basis）、これらで $T_A^*$ を書き直した写像は $y\mapsto A^{\top}y$ である。線形同型は部分空間の次元を変えないので、$\operatorname{rank}T_A^*$ は $A^{\top}$ の列ランク、すなわち $A$ の行ランクに等しい。thm-dual-kernel-image の 2 により $\operatorname{rank}T_A^*=\operatorname{rank}T_A$ であるから、列ランクと行ランクは等しい。

1：$v\ne0$ とする。$\{v\}$ は線形独立なので、$v$ を含む $V$ の基底 $B$ がある（基底と次元 の記事の定理「一般のベクトル空間の基底の存在」）。prop-dual-values-on-basis により $\varphi(v)=1$、$\varphi(b)=0$（$b\in B$、$b\ne v$）となる $\varphi\in V^*$ がとれ、$\iota_V(v)(\varphi)=\varphi(v)=1\ne0$ である。よって $\ker\iota_V=\{0\}$ であり、$\iota_V$ は単射である。
2：$v\in V$、$\psi\in W^*$ について
$$ \bigl(T^{**}(\iota_V(v))\bigr)(\psi)=\iota_V(v)\bigl(T^*(\psi)\bigr)=(\psi\circ T)(v)=\psi(Tv)=\iota_W(Tv)(\psi) $$
である。
3：prop-dual-basis の 1 を 2 回使うと $\dim V^{**}=\dim V^*=\dim V$ である。単射な線形写像 $\iota_V$ の像は $\dim V$ 次元なので、$\iota_V$ は全射でもある（線形代数学 の記事の定理「次元定理」）。$V=\{0\}$ なら $V^{**}=\{0\}$ で明らかである。
4：$V$ の基底 $(v_i)_{i\in I}$ をとる（前掲の定理「一般のベクトル空間の基底の存在」）。$V$ は有限次元でないので $I$ は無限集合である。prop-dual-values-on-basis により、$\varphi_i(v_j)=\delta_{ij}$ を満たす $\varphi_i\in V^*$ と、すべての $j$ で $\sigma(v_j)=1$ を満たす $\sigma\in V^*$ がとれる。$\varphi_i$ たちは線形独立である（有限個の線形結合 $\sum_ia_i\varphi_i=0$ を $v_j$ で評価すると $a_j=0$）。また $\sigma$ は $\varphi_i$ たちの有限個の線形結合ではない。実際、有限集合 $F\subset I$ 上の和 $\sum_{i\in F}a_i\varphi_i$ は、$I$ が無限なのでとれる $j\notin F$ について $v_j$ で $0$ になるが、$\sigma(v_j)=1$ である。したがって $\{\varphi_i\}_{i\in I}\cup\{\sigma\}$ は $V^*$ の線形独立な部分集合であり、これを含む $V^*$ の基底 $B'$ がある（前掲の定理）。prop-dual-values-on-basis を $V^*$ とその基底 $B'$ に適用して、$\Phi(\sigma)=1$、$\Phi(\beta)=0$（$\beta\in B'$、$\beta\ne\sigma$）を満たす $\Phi\in V^{**}$ をとる。とくにすべての $i$ で $\Phi(\varphi_i)=0$ である。
$\Phi=\iota_V(v)$ となる $v$ があったとする。$v=\sum_ia_iv_i$（有限和）と書くと、$a_j=\varphi_j(v)=\iota_V(v)(\varphi_j)=\Phi(\varphi_j)=0$ がすべての $j$ で成り立つので $v=0$ となり、$\Phi=\iota_V(0)=0$ である。これは $\Phi(\sigma)=1$ に反する。よって $\Phi$ は $\iota_V$ の像に入らず、$\iota_V$ は全射でない。