強圧的双線形形式

同義語：coercive bilinear form強圧的な双線形形式

概要

前提知識: Hilbert空間, Rieszの表現定理, 正定値行列

強圧的双線形形式（coercive bilinear form）とは、Hilbert 空間 $H$ 上の双線形形式 $a$ で、ある定数 $\alpha>0$ について $a(v,v)\ge\alpha\|v\|^2$ がすべての $v\in H$ で成り立つものをいう。対角成分 $a(v,v)$ が、ノルムの 2 乗と同じ速さで下から押さえられるという条件である。
この条件は Lax–Milgramの定理と Stampacchiaの定理の仮定であり、楕円型の境界値問題を「すべての試験関数 $v$ について $a(u,v)=\varphi(v)$」という弱い形に直して解くときに、解の存在・一意性・右辺への連続な依存を保証する。有限次元では、強圧性は行列の対称部分の正定値性と同じことになる。しかし無限次元では、すべての $v\ne0$ で $a(v,v)>0$ という正値性だけでは足りず、一様な下界 $\alpha$ が本質的になる。
この記事では、強圧性を作用素・内積・有限次元の行列の言葉で特徴づけ、摂動に対する安定性を示す。偏微分方程式の例として、$-\Delta u+cu$ に対応する形式が零境界値の Sobolev 空間の上で強圧的になる条件を求め、区間の場合には条件が最良であることを確かめる。最後に、対称な強圧的形式についての方程式とエネルギー最小化の同値を述べる。

定義

この記事では、$H$ は実 Hilbert 空間で、内積を $\langle\cdot,\cdot\rangle$、ノルムを $\|\cdot\|$ と書く。

有界で強圧的な双線形形式

$a\colon H\times H\to\mathbb{R}$ を双線形形式（各変数について線形な写像）とする。

ある定数 $M\ge0$ について、すべての $u,v\in H$ で $|a(u,v)|\le M\|u\|\,\|v\|$ となるとき、$a$ は有界であるという。
ある定数 $\alpha>0$ について、すべての $v\in H$ で
$$ a(v,v)\ge\alpha\|v\|^2 $$
となるとき、$a$ は 強圧的 であるという。$\alpha$ を強圧性の定数という。
すべての $u,v$ で $a(u,v)=a(v,u)$ となるとき、$a$ は対称であるという。

強圧性は対角成分 $a(v,v)$ だけの条件なので、$a$ とその 対称部分 $s(u,v):=\frac12\bigl(a(u,v)+a(v,u)\bigr)$ は同じ定数で同時に強圧的になる（$s(v,v)=a(v,v)$）。$a$ 自身が対称である必要はない。
複素 Hilbert 空間では、形式は一方の変数について共役線形とし、強圧性を $\operatorname{Re}a(v,v)\ge\alpha\|v\|^2$ で定める（Lax–Milgramの定理の定義「有界性と強圧性」）。以下は実の場合だけを扱う。

形式に対応する作用素

$a$ を $H$ 上の有界な双線形形式とする。有界線形作用素 $A\colon H\to H$ で、すべての $u,v\in H$ について
$$ a(u,v)=\langle Au,v\rangle $$
となるものがただ 1 つ存在し、$\|A\|\le M$ である。$a$ が強圧的であることは、すべての $v$ で $\langle Av,v\rangle\ge\alpha\|v\|^2$ となることと同じであり、$a$ が対称であることは $A$ が自己共役であることと同じである。

$u$ を固定すると、$v\mapsto a(u,v)$ は $|a(u,v)|\le M\|u\|\,\|v\|$ を満たす連続線形汎関数なので、Rieszの表現定理の定理「Rieszの表現定理」により $a(u,v)=\langle Au,v\rangle$ となる $Au\in H$ がただ 1 つあり、$\|Au\|\le M\|u\|$ である。表現の一意性と $a$ の第 1 変数についての線形性から $A$ は線形である。残りの主張は定義の言い換えである。$\square$

強圧的なら、Cauchy–Schwarz の不等式から $\alpha\|v\|^2\le\langle Av,v\rangle\le\|Av\|\,\|v\|$、すなわち $\|Av\|\ge\alpha\|v\|$ である。この下からの評価が、Lax–Milgramの定理の定理「Lax–Milgramの定理」で $A$ が全単射になり $\|A^{-1}\|\le1/\alpha$ となることの要である。

有限次元での特徴づけ

有限次元での強圧性

$H=\mathbb{R}^n$（標準内積）とし、$n$ 次の実正方行列 $B$ について $a(u,v):=\langle Bu,v\rangle$ とおく。次は同値である。

$a$ は強圧的である。
すべての $v\ne0$ で $a(v,v)>0$ である。
対称部分 $S:=\frac12(B+B^{\mathsf T})$ が正定値行列である。
このとき強圧性の定数として $\alpha:=\min_{\|v\|=1}v^{\mathsf T}Sv>0$ がとれ、これが最良である。

$a(v,v)=v^{\mathsf T}Bv=v^{\mathsf T}Sv$ なので（$v^{\mathsf T}B^{\mathsf T}v=v^{\mathsf T}Bv$）、2 と 3 は正定値行列の定義（正定値行列の定義「正定値行列と半正定値行列」）そのものである。1 ⇒ 2 は明らかである。
2 ⇒ 1：単位球面 $\{\|v\|=1\}$ は有界閉集合なのでコンパクトであり、連続関数 $v\mapsto v^{\mathsf T}Sv$ はその上で最小値 $\alpha$ をとる（最大値・最小値の定理）。2 から $\alpha>0$ である。$v\ne0$ なら $v/\|v\|$ に当てて $a(v,v)=\|v\|^2\,a(v/\|v\|,v/\|v\|)\ge\alpha\|v\|^2$ を得る。$\alpha$ は単位ベクトルでの $a(v,v)$ の最小値なので、これより大きい定数は強圧性の定数にならない。$\square$

有限次元では、正値性（2）から一様な下界（1）が単位球面のコンパクト性によって自動的に出てくる。次の例が示すように、判定に使うのは $B$ ではなく対称部分 $S$ である。

対称でない行列

$B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ では $S=I$ なので、$a(v,v)=\|v\|^2$ で $\alpha=1$ の強圧的な形式である。$B$ 自身は対称でない。
$B=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}$ の固有値はどちらも $1$ だが、$S=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ は $v=(1,-1)$ で $v^{\mathsf T}Sv=-2<0$ となる。固有値が正でも強圧的とは限らない。
$B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$（$90^\circ$ の回転）は可逆だが、$S=0$ で $a(v,v)=0$ がすべての $v$ で成り立つ。

無限次元：正値性と強圧性の違い

無限次元では単位球面がコンパクトでないので、正値性から強圧性は出ない。

正値だが強圧的でない形式

$H=\ell^2$ とし、$a(u,v):=\sum_{k\ge1}u_kv_k/k$ とおく。$|a(u,v)|\le\|u\|\,\|v\|$ なので有界で対称であり、$v\ne0$ なら $a(v,v)=\sum_kv_k^2/k>0$ である。しかし標準基底 $e_k$ について $a(e_k,e_k)=1/k\to0$ なので、どの $\alpha>0$ でも強圧性は成り立たない。
対応する作用素は $(Au)_k=u_k/k$ で、単射である。$b:=(1/k)_{k\ge1}\in\ell^2$ について $Au=b$ を解こうとすると $u_k=1$ がすべての $k$ で必要になり、$u\notin\ell^2$ となる。よって「すべての $v$ で $a(u,v)=\langle b,v\rangle$」を満たす $u$ は存在しない。$A$ の像は有限個の成分だけが $0$ でない数列をすべて含むので稠密だが、閉じていない。

対称な形式に限れば、強圧性は「正値で、対応する作用素が可逆」と同値になる。

対称な形式の強圧性の特徴づけ

$a$ を $H$ 上の有界で対称な双線形形式（有界性の定数を $M$ とする）とし、$A$ を対応する作用素とする。次は同値である。

$a$ は強圧的である。
$a$ は内積であり、そのノルム $\|v\|_a:=a(v,v)^{1/2}$ は $\|\cdot\|$ と同値である。
すべての $v$ で $a(v,v)\ge0$ であり、$A$ は全単射である。
さらに 3 が成り立つとき、$\alpha:=1/(M\|A^{-1}\|^2)$ は強圧性の定数である。

1 ⇒ 2：$a$ は対称な双線形形式で、$v\ne0$ なら $a(v,v)\ge\alpha\|v\|^2>0$ なので内積である。$\alpha\|v\|^2\le\|v\|_a^2\le M\|v\|^2$ からノルムは同値である。
2 ⇒ 1：ノルムが同値なら、ある $c>0$ で $\|v\|_a\ge c\|v\|$ であり、$a(v,v)\ge c^2\|v\|^2$ となる。
1 ⇒ 3：$a(v,v)\ge0$ は明らかで、$A$ が全単射であることは Lax–Milgramの定理の定理「Lax–Milgramの定理」（実の場合）による。
3 ⇒ 1：$a$ は対称で $a(v,v)\ge0$ なので、Cauchy–Schwarz の不等式 $|a(u,w)|^2\le a(u,u)\,a(w,w)$ が成り立つ（内積の場合と同じく、$t\mapsto a(u+tw,u+tw)\ge0$ の判別式から従う）。これを $w=Au$ に当てると
$$ \|Au\|^2=\langle Au,Au\rangle=a(u,Au)\le a(u,u)^{1/2}\,a(Au,Au)^{1/2}\le a(u,u)^{1/2}\,M^{1/2}\|Au\| $$
なので $\|Au\|^2\le M\,a(u,u)$ である。$A$ は全単射な有界線形作用素なので、逆写像 $A^{-1}$ も有界である（開写像定理の系「有界逆写像定理」）。よって
$$ \|u\|^2\le\|A^{-1}\|^2\|Au\|^2\le M\|A^{-1}\|^2\,a(u,u) $$
となり、$a$ は定数 $1/(M\|A^{-1}\|^2)$ で強圧的である。$\square$

3 ⇒ 1 で対称性は欠かせない。ex-cbf-matrices の 3 の回転は、$a(v,v)\ge0$ で $A$ も可逆だが強圧的でない。逆に対称でも、正値性 $a(v,v)\ge0$ を外せば $a(u,v)=-\langle u,v\rangle$ のように可逆で強圧的でない形式がある。

強圧性の安定性

強圧性は、小さな摂動や部分空間への制限で壊れない。この性質は、近似解の構成や低階の項の扱いで使われる。

摂動と制限

$a$ を定数 $\alpha$ で強圧的な有界双線形形式とする。

$b$ を有界な双線形形式とし、$\|b\|:=\sup\{|b(u,v)|\mid\|u\|=\|v\|=1\}< \alpha$ とする。このとき $a+b$ は定数 $\alpha-\|b\|$ で強圧的である。
$V\subset H$ を閉部分空間とすると、$a$ の $V\times V$ への制限は、Hilbert 空間 $V$ の上で同じ定数 $\alpha$ で強圧的である。
$\|\cdot\|'$ を $\|\cdot\|$ と同値な Hilbert 空間のノルムで、$\|v\|'\le C\|v\|$ とすると、$a$ は $\|\cdot\|'$ に関して定数 $\alpha/C^2$ で強圧的である。

1．$(a+b)(v,v)\ge\alpha\|v\|^2-|b(v,v)|\ge(\alpha-\|b\|)\|v\|^2$ である。2．閉部分空間は Hilbert 空間で、不等式 $a(v,v)\ge\alpha\|v\|^2$ は $v\in V$ でもそのまま成り立つ。3．$a(v,v)\ge\alpha\|v\|^2\ge(\alpha/C^2)\|v\|'^2$ である。$\square$

2 は Galerkin 近似（有限次元部分空間 $V$ の上で方程式を解くこと）が、全空間と同じ定数で一意に解けることを保証する（Lax–Milgramの定理の命題「Céaの誤差評価」）。

偏微分方程式での強圧性

$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合とし、$H^1_0(\Omega)$ を零境界値の Sobolev 空間、ノルムを $\|v\|_{H^1}^2:=\|v\|_{L^2}^2+\|\nabla v\|_{L^2}^2$ とする（零境界Sobolev空間の定義「零境界Sobolev空間」。同記事の命題「基本的な性質」により Hilbert 空間である）。$c\in L^\infty(\Omega)$ について
$$ a_c(u,v):=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx+\int_\Omega c\,uv\,dx\qquad(u,v\in H^1_0(\Omega)) $$
とおく。$f\in L^2(\Omega)$ について「すべての $v\in H^1_0(\Omega)$ で $a_c(u,v)=\int_\Omega fv\,dx$」を満たす $u$ が、境界値問題 $-\Delta u+cu=f$、$u=0$（$\partial\Omega$ の上）の弱解である。

Dirichlet 形式の強圧性

$\Omega$ が $x_1$ 方向の幅 $d$ の帯 $\{x\mid t< x_1< t+d\}$ に含まれるとする（たとえば有界な $\Omega$）。$c\in L^\infty(\Omega)$ がほとんど至る所 $c\ge-\gamma$ を満たし、定数 $\gamma$ が $\gamma< \pi^2/d^2$ であるとする。このとき $a_c$ は $H^1_0(\Omega)$ 上の有界で対称な双線形形式であり、
$$ a_c(v,v)\ge\frac{1-\gamma_+d^2/\pi^2}{1+d^2/\pi^2}\,\|v\|_{H^1}^2\qquad(\gamma_+:=\max(\gamma,0)) $$
の意味で強圧的である。とくに $c\ge0$ なら定数 $\pi^2/(\pi^2+d^2)$ で強圧的である。

有界性：Cauchy–Schwarz の不等式から $|a_c(u,v)|\le\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla v\|_{L^2}+\|c\|_{L^\infty}\|u\|_{L^2}\|v\|_{L^2}\le(1+\|c\|_{L^\infty})\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$ である。
強圧性：Poincaréの不等式の系「帯での $p=2$ の改良」により $\|v\|_{L^2}\le\frac d\pi\|\nabla v\|_{L^2}$ である。$c\ge-\gamma\ge-\gamma_+$ なので
$$ a_c(v,v)\ge\|\nabla v\|_{L^2}^2-\gamma_+\|v\|_{L^2}^2\ge\Bigl(1-\frac{\gamma_+d^2}{\pi^2}\Bigr)\|\nabla v\|_{L^2}^2 $$
である。一方 $\|v\|_{H^1}^2\le(1+d^2/\pi^2)\|\nabla v\|_{L^2}^2$ なので、$\|\nabla v\|_{L^2}^2\ge\|v\|_{H^1}^2/(1+d^2/\pi^2)$ であり、$1-\gamma_+d^2/\pi^2>0$ と合わせて主張を得る。$\square$

この定理と Lax–Milgramの定理から、$c\ge0$（より一般に $c\ge-\gamma$、$\gamma< \pi^2/d^2$）なら、各 $f\in L^2(\Omega)$ について弱解がただ 1 つ存在する。$\Omega=(0,1)$（$d=1$）では、この条件 $c>-\pi^2$ が最良である。なお、トーラス上では、一般の強楕円型の形式に $L^2$ 内積の $\lambda$ 倍を足せば強圧的になる（Gårdingの不等式の定理「Gårdingの不等式（トーラス上）」と系「弱解の存在（Lax–Milgram）」）。

区間での最良の条件

$\Omega=(0,1)$、$c$ を定数とする。$c>-\pi^2$ であることと、$a_c$ が $H^1_0(0,1)$ の上で強圧的であることは同値である。
$c>-\pi^2$ なら、Poincaréの不等式の定理「区間での最良の定数」（$L=1$）により $\|v\|_{L^2}^2\le\pi^{-2}\|v'\|_{L^2}^2$ なので、$c_-:=\max(-c,0)< \pi^2$ として $a_c(v,v)\ge(1-c_-/\pi^2)\|v'\|_{L^2}^2\ge\frac{1-c_-/\pi^2}{1+\pi^{-2}}\|v\|_{H^1}^2$ である。逆に $c\le-\pi^2$ なら、$v(x)=\sin\pi x$ は $H^1_0(0,1)$ に属し（両端で $0$ になる $C^1$ 級の関数）、$\int_0^1v'^2=\pi^2/2$、$\int_0^1v^2=1/2$ なので $a_c(v,v)=(\pi^2+c)/2\le0$ となり、強圧的でない。$c=-\pi^2$ では $a_c$ は正値ですらなく、$-u''-\pi^2u=0$ は $0$ でない弱解 $\sin\pi x$ をもつ。

境界条件も強圧性に効く。$H^1_0(\Omega)$ を $H^1(\Omega)$ に替えると、$|\Omega|< \infty$ のとき $a_0(u,v)=\int\nabla u\cdot\nabla v$ は定数関数 $1$ で $a_0(1,1)=0$ となり、強圧的でない（Neumann問題の例「Lax–Milgram の定理がそのままでは使えない」）。
対称でない強圧的形式の例として、定数 $b\in\mathbb{R}$ について $H^1_0(0,1)$ 上の
$$ a(u,v):=\int_0^1u'v'\,dx+b\int_0^1u'v\,dx $$
がある（$-u''+bu'$ に対応する）。$\varphi\in C_c^1((0,1))$ では $\int_0^1\varphi'\varphi\,dx=\frac12\bigl[\varphi^2\bigr]_0^1=0$ であり、$v\mapsto\int_0^1v'v\,dx$ は $H^1$ ノルムについて連続なので、$C_c^1((0,1))$ の稠密性（零境界Sobolev空間の命題「基本的な性質」の 2）から $H^1_0(0,1)$ 全体で $\int_0^1v'v\,dx=0$ となる。よって $a(v,v)=\|v'\|_{L^2}^2$ で、上と同じく強圧的である。$b\ne0$ なら $a$ は対称でない。

対称な場合：エネルギーの最小化

方程式とエネルギー最小化

$a$ を $H$ 上の有界で強圧的な対称双線形形式、$\varphi$ を $H$ 上の連続線形汎関数とし、$E(v):=\frac12a(v,v)-\varphi(v)$ とおく。$u\in H$ について次は同値である。

すべての $v\in H$ で $a(u,v)=\varphi(v)$ である。
$E(u)=\min_{v\in H}E(v)$ である。
さらにこのとき、すべての $w\in H$ で $E(u+w)-E(u)=\frac12a(w,w)\ge\frac\alpha2\|w\|^2$ であり、最小点は $u$ だけである。

対称性と双線形性から、$u,w\in H$ について
$$ E(u+w)=E(u)+\bigl(a(u,w)-\varphi(w)\bigr)+\tfrac12a(w,w) $$
である。1 なら括弧の中は $0$ で、$E(u+w)-E(u)=\frac12a(w,w)\ge\frac\alpha2\|w\|^2$ となるので、$u$ はただ 1 つの最小点である。逆に 2 なら、$t\in\mathbb{R}$ について $E(u+tw)=E(u)+t\bigl(a(u,w)-\varphi(w)\bigr)+\frac{t^2}2a(w,w)$ は $t=0$ で最小なので、$t$ についての微分係数 $a(u,w)-\varphi(w)$ は $0$ である。$\square$

$E$ は連続で、強圧性から凸かつ $E(v)\ge\frac\alpha2\|v\|^2-\|\varphi\|\,\|v\|\to+\infty$（$\|v\|\to\infty$）を満たす。したがって最小点の存在は変分法の直接法からも得られ、この命題と合わせると、対称な場合の Lax–Milgram の定理の別証明になる。閉凸集合の上での同じ対応は Stampacchiaの定理の定理「対称な形式での最小化の特徴づけ」にある。対称でない形式には対応するエネルギーがなく、方程式は最小化問題として読めない。

仮定を外すと成り立たなくなること

外す条件	反例	成り立たなくなること
一様な下界 $\alpha$（正値性だけにする）	$\ell^2$、$a(u,v)=\sum_ku_kv_k/k$	すべての $b$ で $a(u,\cdot)=\langle b,\cdot\rangle$ が解ける（ex-cbf-positive）
対称性（thm-cbf-symmetric の 3 ⇒ 1）	$\mathbb{R}^2$、$90^\circ$ の回転	正値で $A$ が可逆なら強圧的
正値性 $a(v,v)\ge0$（thm-cbf-symmetric の 3 ⇒ 1）	$a(u,v)=-\langle u,v\rangle$	$A$ が可逆なら強圧的
下界 $c>-\pi^2$（ex-cbf-interval）	$\Omega=(0,1)$、$c=-\pi^2$	強圧性
零境界値（$H^1_0$ を $H^1$ にする）	$H^1(0,1)$、$a_0$	強圧性
有限次元（thm-cbf-finite の 2 ⇒ 1）	$\ell^2$、$a(u,v)=\sum_ku_kv_k/k$	正値なら強圧的

補足

文献

実 Hilbert 空間での有界性・強圧性の定義は Bre11 §5.3 の定義（p. 138）、対称な場合の方程式とエネルギー最小化の対応は Corollary 5.8（p. 140）にあり、$a(v,v)\ge0$ なら $v\mapsto a(v,v)$ が凸であることは同じ頁の Remark 6 にある。