切除定理(特異ホモロジー)

同義語：切除定理特異ホモロジーの切除定理小さい鎖の定理excision theorem

概要

前提知識: 相対ホモロジーと長完全列, 特異ホモロジー, 重心細分, 開被覆, 距離空間

切除定理は、相対ホモロジー $H_n(X,A)$ が、$A$ の内側に深く埋まった部分 $Z$ を $X$ と $A$ の両方から取り除いても変わらないことを述べる。ホモロジーが空間の「局所的な」情報から組み立てられることを保証する定理であり、Mayer–Vietoris完全列、良い対の相対ホモロジーと商空間のホモロジーの一致、胞体ホモロジー、多様体の局所ホモロジーと向きは、どれもこの定理から導かれる。証明の要は、特異単体を重心細分で細かく切り、どの単体も与えられた被覆のどれかの成員に入るようにする操作（細分作用素）が、恒等写像と鎖ホモトピックであることである。この記事では細分作用素とその鎖ホモトピーを構成し、小さい単体の鎖への変形の定理を経て切除定理を完全に証明する。

定理の主張

記号は相対ホモロジーと長完全列の記事にそろえる。$C_\bullet(X)$ は位相空間 $X$ の特異鎖複体、$C_\bullet(X,A)=C_\bullet(X)/C_\bullet(A)$ は相対鎖複体、$\operatorname{cl}Z$ と $\operatorname{int}A$ は $X$ の中での閉包と内部である。

切除定理

部分空間 $Z\subset A\subset X$ が $\operatorname{cl}Z\subset\operatorname{int}A$ を満たすならば、包含 $(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow(X,A)$ はすべての $n$ で同型
$$ H_n(X\setminus Z,A\setminus Z)\xrightarrow{\ \cong\ }H_n(X,A) $$
を誘導する。
同じことだが、部分空間 $A,B\subset X$ が $\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=X$ を満たすならば、包含 $(B,A\cap B)\hookrightarrow(X,A)$ はすべての $n$ で同型 $H_n(B,A\cap B)\cong H_n(X,A)$ を誘導する。

仮定 $\operatorname{cl}Z\subset\operatorname{int}A$ の役割

仮定は、$Z$ が $A$ の境界にまで届かないことを要求している。これにより $\operatorname{int}A$ と $X\setminus\operatorname{cl}Z$ が $X$ を覆い、十分細かい特異単体が必ずそのどちらかに入る。切除定理の使いどころは、$Z$ を取り除いて空間を簡単にしても相対ホモロジーが変わらない場面である。たとえば、良い対の相対ホモロジーを商空間のホモロジーと比べるとき、$A$ の近傍を取り除く切除が使われる。証明は、このあとの小さい単体の鎖への変形の定理から導く。

と (2) は $B=X\setminus Z$（逆に $Z=X\setminus B$）と置き換えれば同じ主張である。実際、このとき $A\cap B=A\setminus Z$ であり、$\operatorname{int}(X\setminus Z)=X\setminus\operatorname{cl}Z$ だから $X\setminus\operatorname{int}B=\operatorname{cl}Z$ である。よって $\operatorname{cl}Z\subset\operatorname{int}A$ は $X\setminus\operatorname{int}B\subset\operatorname{int}A$、すなわち $\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=X$ と同値である。ただし (1) の $Z\subset A$ は、(2) では $X\setminus B\subset A$、つまり $A\cup B=X$ にあたり、これは $\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=X$ から従う。
切除定理は次の定理から導かれる。$X$ の部分集合の族 $\mathcal{U}=\{U_j\}$ で、内部 $\{\operatorname{int}U_j\}$ が $X$ を覆うものを考える。特異 $n$ 単体のうち像がある $U_j$ に含まれるものを $\mathcal{U}$ に小さい単体といい、それらが生成する $C_n(X)$ の部分群を $C_n^{\mathcal{U}}(X)$ と書く。小さい単体の面も小さいので、$C_\bullet^{\mathcal{U}}(X)$ は部分複体である。

小さい単体の鎖への変形

内部が $X$ を覆う族 $\mathcal{U}$ に対し、鎖写像 $\rho\colon C_\bullet(X)\to C_\bullet^{\mathcal{U}}(X)$ と準同型 $D\colon C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ で
$$ \rho\circ\iota=\mathrm{id},\qquad\partial D+D\partial=\mathrm{id}-\iota\circ\rho $$
を満たすものがある（$\iota\colon C_\bullet^{\mathcal{U}}(X)\hookrightarrow C_\bullet(X)$ は包含）。さらに、任意の部分空間 $A\subset X$ について $\rho$ と $D$ は $C_\bullet(A)$ を $C_\bullet(A)$ に写す。とくに $\iota$ は鎖ホモトピー同値であり、すべての $n$ で同型 $H_n(C_\bullet^{\mathcal{U}}(X))\cong H_n(X)$ を誘導する。

小さい単体の鎖への変形の使われ方

この定理は、どんな特異鎖も、被覆の成員のどれかに入る小さい単体の鎖へ、ホモロジー類を変えずに変形できることを述べる。$\rho$ と $D$ が $A$ の鎖を $A$ の鎖に写すので、同じ議論が相対鎖複体 $C_\bullet(X)/C_\bullet(A)$ でも通用する。切除定理は、$\mathcal{U}=\{A,B\}$ に対してこの定理を適用して得られる。

最後の主張はホモロジーの記事の系（鎖ホモトピー同値はホモロジー同型を与える）による。この定理は Hat02 Proposition 2.21（pp. 119–124）、切除定理は同 Theorem 2.20（p. 119）である。

直感

$(X,A)$ の相対輪体は、$Z$ の近くを通る特異単体を含むかもしれない。$\operatorname{cl}Z\subset\operatorname{int}A$ なので、$X$ は 2 つの集合 $\operatorname{int}A$ と $X\setminus\operatorname{cl}Z$ で覆われる。十分細かく切った単体は、どれも $A$ の中か $X\setminus Z$ の中に入る。$A$ の中の単体は相対鎖では $0$ なので捨ててよく、残りは $X\setminus Z$ の中にある。こうして相対輪体を $Z$ から引き離せる。問題は「細かく切る」操作がホモロジー類を変えないことであり、そのために細分作用素 $S$ と、$\partial T+T\partial=\mathrm{id}-S$ を満たす鎖ホモトピー $T$ を作る。$S$ は単体を重心細分の小さい単体の符号付き和に置き換える操作であり、$T$ は角柱 $\Delta^n\times[0,1]$ の底面に $\Delta^n$、上面にその細分を置いたときの角柱の分割を $\Delta^n$ へ射影したものである。

細分作用素の構成

線型単体と錐作用素

$Y$ を Euclid 空間 $\mathbb{R}^N$ の凸集合とする。点 $w_0,\dots,w_n\in Y$ に対し、$\Delta^n$ の点 $\sum_it_ie_i$ を $\sum_it_iw_i$ に写す写像を $[w_0,\dots,w_n]\colon\Delta^n\to Y$ と書き、線型単体という（$w_i$ は相異なる必要も、一般の位置にある必要もない）。線型単体の面は線型単体 $[w_0,\dots,\widehat{w_i},\dots,w_n]$ なので、線型単体が生成する部分群 $LC_n(Y)\subset C_n(Y)$ は部分複体をなす。さらに $LC_{-1}(Y):=\mathbb{Z}[\emptyset]$、$\partial[w_0]:=[\emptyset]$ と添加しておく（$\partial\partial[w_0,w_1]=[\emptyset]-[\emptyset]=0$）。線型単体 $\lambda=[w_0,\dots,w_n]$ の像は凸包 $\operatorname{conv}\{w_0,\dots,w_n\}$ であり、その直径を $\operatorname{diam}\lambda$ と書く。
点 $b\in Y$ に対し、錐作用素 $b\colon LC_n(Y)\to LC_{n+1}(Y)$（$n\ge-1$）を $b([w_0,\dots,w_n]):=[b,w_0,\dots,w_n]$、$b([\emptyset]):=[b]$ で定める。$Y$ が凸なので $[b,w_0,\dots,w_n]$ の像は $Y$ に入る。

錐作用素の公式

$\alpha\in LC_n(Y)$（$n\ge-1$）に対し $\partial b(\alpha)=\alpha-b(\partial\alpha)$ である。すなわち $\partial b+b\partial=\mathrm{id}$ であり、$b$ は添加した複体 $LC_\bullet(Y)$ の恒等写像と零写像の間の鎖ホモトピーである。

錐作用素の公式

$n=-1$ では $\partial b[\emptyset]=\partial[b]=[\emptyset]$、$\partial[\emptyset]=0$ なので成り立つ。$n\ge0$ では、線型単体 $\lambda=[w_0,\dots,w_n]$ について、$[b,w_0,\dots,w_n]$ の $0$ 番目の頂点 $b$ を除いた面が $[w_0,\dots,w_n]$、$i+1$ 番目の頂点 $w_i$ を除いた面が符号 $(-1)^{i+1}$ で現れるので
$$ \partial[b,w_0,\dots,w_n]=[w_0,\dots,w_n]-\sum_{i=0}^n(-1)^i[b,w_0,\dots,\widehat{w_i},\dots,w_n]=\lambda-b(\partial\lambda) $$
である（$n=0$ では右辺の和は $b([\emptyset])=[b]$ の $1$ 項）。線型に拡張すればよい。

アフィン写像 $f\colon\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^M$ で $f(Y)\subset Y'$（$Y'$ も凸）となるものは、$f_\sharp[w_0,\dots,w_n]=[f(w_0),\dots,f(w_n)]$ により $LC_\bullet(Y)\to LC_\bullet(Y')$ を定め（$f_\sharp[\emptyset]:=[\emptyset]$）、境界作用素と可換である。定義から
$$ f_\sharp\bigl(b(\alpha)\bigr)=f(b)\bigl(f_\sharp\alpha\bigr) $$
が成り立つ。この等式を $(*)$ と呼ぶ。

線型鎖の細分

線型単体 $\lambda=[w_0,\dots,w_n]$ の重心を $b_\lambda:=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^nw_i$ とする（$\Delta^n$ の重心 $\frac{1}{n+1}\sum_ie_i$ の $\lambda$ による像）。準同型 $S\colon LC_n(Y)\to LC_n(Y)$ と $T\colon LC_n(Y)\to LC_{n+1}(Y)$ を $n$ に関する帰納法で次のように定める。
$$ S[\emptyset]:=[\emptyset],\quad T[\emptyset]:=0,\qquad S(\lambda):=b_\lambda\bigl(S(\partial\lambda)\bigr),\quad T(\lambda):=b_\lambda\bigl(\lambda-T(\partial\lambda)\bigr)\quad(n\ge0). $$
$n=0$ では $S[w_0]=w_0(S[\emptyset])=[w_0]$、$T[w_0]=[w_0,w_0]$ である。$\lambda$ が $\Delta^n$ の恒等写像 $\iota_n=[e_0,\dots,e_n]$ のとき、$S(\iota_n)$ は $\Delta^n$ の重心細分の $n$ 単体に符号を付けた和であり、帰納的な定義は重心細分の帰納的な定義（面の細分の各単体と重心を結ぶ）をそのまま写したものである（重心細分の記事の定義（重心と重心細分）、Hat02 pp. 120–121）。以下の直径の評価は、重心細分の記事の定理（重心細分の直径の評価）を、頂点が重なってもよい線型単体の一次結合の形で述べ直したものである。

線型鎖の細分作用素

凸集合 $Y$ 上の $S,T$ について次が成り立つ。

$\partial S=S\partial$（$S$ は添加した複体の鎖写像）。
$\partial T+T\partial=\mathrm{id}-S$。
アフィン写像 $f$（$f(Y)\subset Y'$）について $f_\sharp S=Sf_\sharp$、$f_\sharp T=Tf_\sharp$。
$n\ge0$ の線型単体 $\lambda$ について、$S(\lambda)$ と $T(\lambda)$ は像が $\lambda$ の像に含まれる線型単体の整数係数の一次結合であり、$S(\lambda)$ に現れる線型単体の直径は $\frac{n}{n+1}\operatorname{diam}\lambda$ 以下である。

線型鎖の細分作用素

1．$LC_{-1}$ と $LC_0$ では $S=\mathrm{id}$ なので、次数 $0$ で $\partial S=S\partial$ は明らかである。$n\ge1$ では、lem-excision-singular-cone と帰納法の仮定（次数 $n-1$ で $\partial S=S\partial$）により
$$ \partial S\lambda=\partial b_\lambda(S\partial\lambda)=S\partial\lambda-b_\lambda(\partial S\partial\lambda)=S\partial\lambda-b_\lambda(S\partial\partial\lambda)=S\partial\lambda . $$
2．$LC_{-1}$ では $T=0$、$S=\mathrm{id}$ なので両辺とも $0$ である。$n\ge0$ で、次数 $n-1$ では成り立つとする。$\partial\lambda$ に帰納法の仮定を使うと $\partial T(\partial\lambda)=\partial\lambda-S\partial\lambda-T\partial\partial\lambda=\partial\lambda-S\partial\lambda$ なので、錐作用素の公式から
$$ \partial T\lambda=\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda\bigl(\partial\lambda-\partial T\partial\lambda\bigr)=\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda(S\partial\lambda)=\lambda-T\partial\lambda-S\lambda . $$
3．アフィン写像は重心を保つ：$f(b_\lambda)=\frac{1}{n+1}\sum_if(w_i)=b_{f_\sharp\lambda}$。$(*)$ と、次数 $n-1$ での帰納法の仮定から
$$ f_\sharp S\lambda=f(b_\lambda)\bigl(f_\sharp S\partial\lambda\bigr)=b_{f_\sharp\lambda}\bigl(S\partial f_\sharp\lambda\bigr)=S(f_\sharp\lambda) $$
であり、$T$ も同様である。
4．

詳しい証明を開く

まず、線型単体の直径は頂点間の距離の最大値に等しい。点 $v$ と凸結合 $\sum_it_iw_i$ の距離は $\lvert\sum_it_i(v-w_i)\rvert\le\sum_it_i\lvert v-w_i\rvert\le\max_i\lvert v-w_i\rvert$ なので、像の 2 点の距離は、一方を頂点に替えても減らず、もう一方も頂点に替えても減らないからである。

$n$ に関する帰納法で示す。$n=0$ では $S[w_0]=[w_0]$ で直径は $0$、$T[w_0]=[w_0,w_0]$ である。$n\ge1$ とする。$S\lambda=b_\lambda(S\partial\lambda)$ に現れる単体は、$\lambda$ の面 $\lambda_i$ に対する $S\lambda_i$ に現れる単体 $\mu$ を使った $[b_\lambda,\mu]$ である。帰納法の仮定から $\mu$ の像は $\lambda_i$ の像、したがって $\lambda$ の像に含まれ、$\operatorname{diam}\mu\le\frac{n-1}{n}\operatorname{diam}\lambda_i\le\frac{n}{n+1}\operatorname{diam}\lambda$ である。$b_\lambda$ も $\lambda$ の像に入るので $[b_\lambda,\mu]$ の像は $\lambda$ の像に含まれる。$[b_\lambda,\mu]$ の頂点間の距離のうち、$\mu$ の頂点どうしは上の評価で済む。$\mu$ の頂点 $u$ は $\operatorname{conv}\{w_j\}$ に入るので $\lvert b_\lambda-u\rvert\le\max_i\lvert b_\lambda-w_i\rvert$ であり、

$$\lvert b_\lambda-w_i\rvert=\Bigl\lvert\frac{1}{n+1}\sum_{j\ne i}(w_j-w_i)\Bigr\rvert\le\frac{n}{n+1}\max_j\lvert w_j-w_i\rvert\le\frac{n}{n+1}\operatorname{diam}\lambda$$

である。よって $\operatorname{diam}[b_\lambda,\mu]\le\frac{n}{n+1}\operatorname{diam}\lambda$。$T\lambda=b_\lambda(\lambda-T\partial\lambda)$ に現れる単体は $[b_\lambda,\lambda]$ と、面の $T\lambda_i$ に現れる単体 $\mu$ による $[b_\lambda,\mu]$ であり、帰納法の仮定から像は $\lambda$ の像に含まれる。

特異鎖の細分

位相空間 $X$ の特異 $n$ 単体 $\sigma\colon\Delta^n\to X$（$n\ge0$）に対し、$\Delta^n$（凸集合）の上の線型鎖 $S(\iota_n)\in LC_n(\Delta^n)$、$T(\iota_n)\in LC_{n+1}(\Delta^n)$ を $\sigma$ で押し出して
$$ S\sigma:=\sigma_\sharp S(\iota_n)\in C_n(X),\qquad T\sigma:=\sigma_\sharp T(\iota_n)\in C_{n+1}(X) $$
と定め、線型に拡張する。$S\sigma$ は、$\sigma$ を $\Delta^n$ の重心細分の各単体に制限したものの符号付き和である。

特異鎖の細分作用素

$S\colon C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)$ は鎖写像であり、$\partial T+T\partial=\mathrm{id}-S$ が成り立つ。
連続写像 $g\colon X\to X'$ について $g_\sharp S=Sg_\sharp$、$g_\sharp T=Tg_\sharp$ である。
$S\sigma$ と $T\sigma$ は、線型単体 $\lambda$（$\Delta^n$ の中の）による $\sigma\circ\lambda$ の一次結合である。とくに、$\sigma$ の像が部分集合 $W\subset X$ に含まれれば $S\sigma,T\sigma$ の単体の像も $W$ に含まれ、$S,T$ は任意の部分空間 $A$ について $C_\bullet(A)$ を、また $C_\bullet^{\mathcal{U}}(X)$ を保つ。
$m\ge0$ に対し、$S^m\sigma$ は $\operatorname{diam}\lambda\le\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^m\operatorname{diam}\Delta^n$ を満たす線型単体 $\lambda$ による $\sigma\circ\lambda$ の一次結合である。

特異鎖の細分作用素

要点：$\Delta^n$ の中の線型単体 $\lambda$ について $S(\sigma\circ\lambda)=\sigma_\sharp S(\lambda)$、$T(\sigma\circ\lambda)=\sigma_\sharp T(\lambda)$ が成り立つ（lem-excision-singular-linear の 3 をアフィン写像 $\lambda$ に使う）。これにより、線型鎖で示した $\partial S=S\partial$、$\partial T+T\partial=\mathrm{id}-S$、像と直径の評価が、$\sigma_\sharp$ で押し出すだけで特異鎖に移る。

詳しい証明を開く

まず次の等式を示す：$\Delta^n$ の中の線型単体 $\lambda\in LC_k(\Delta^n)$（$k\ge0$）に対し $$S(\sigma\circ\lambda)=\sigma_\sharp S(\lambda),\qquad T(\sigma\circ\lambda)=\sigma_\sharp T(\lambda)$$ （左辺は特異鎖の $S,T$、右辺は $\Delta^n$ 上の線型鎖の $S,T$）。実際、$\lambda\colon\Delta^k\to\Delta^n$ はアフィン写像であり $\lambda_\sharp\iota_k=\lambda$ なので、lem-excision-singular-linear の 3 から $$S(\sigma\circ\lambda)=(\sigma\circ\lambda)_\sharp S(\iota_k)=\sigma_\sharp\lambda_\sharp S(\iota_k)=\sigma_\sharp S(\lambda_\sharp\iota_k)=\sigma_\sharp S(\lambda)$$ であり、$T$ も同じである。

1．$n=0$ では $S\sigma=\sigma$、$T\sigma$ は定値の特異 $1$ 単体で $\partial T\sigma=\sigma-\sigma=0$ なので、$\partial S=S\partial$ と $\partial T\sigma+T\partial\sigma=0=\sigma-S\sigma$ が成り立つ。$n\ge1$ とする。$\iota_n$ の $i$ 番目の面は線型単体 $d_i=[e_0,\dots,\widehat{e_i},\dots,e_n]$ であり、$\sigma\circ d_i$ は $\sigma$ の $i$ 番目の面である。次数 $1$ 以上では添加の有無で境界作用素は変わらないので、lem-excision-singular-linear の 1・2 と上の等式から $$\partial S\sigma=\sigma_\sharp\partial S\iota_n=\sigma_\sharp S\partial\iota_n=\sum_i(-1)^i\sigma_\sharp S(d_i)=\sum_i(-1)^iS(\sigma\circ d_i)=S\partial\sigma,$$ $$\partial T\sigma=\sigma_\sharp\partial T\iota_n=\sigma_\sharp\bigl(\iota_n-S\iota_n-T\partial\iota_n\bigr)=\sigma-S\sigma-\sum_i(-1)^iT(\sigma\circ d_i)=\sigma-S\sigma-T\partial\sigma .$$

2．$g_\sharp S\sigma=g_\sharp\sigma_\sharp S\iota_n=(g\circ\sigma)_\sharp S\iota_n=S(g\circ\sigma)$。$T$ も同じである。

3．lem-excision-singular-linear の 4 により $S\iota_n$ と $T\iota_n$ は $\Delta^n$ の中の線型単体の一次結合である。$\sigma\circ\lambda$ の像は $\sigma$ の像に含まれる。

4．上の等式を線型に使うと、$S^m\iota_n$ が線型単体の一次結合であることから帰納的に $S^m\sigma=\sigma_\sharp S^m\iota_n$ を得る。lem-excision-singular-linear の 4 を $m$ 回使えば、$S^m\iota_n$ は直径 $\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^m\operatorname{diam}\Delta^n$ 以下の線型単体の一次結合である。

反復細分と鎖ホモトピー

$m\ge0$ に対し $D_m:=\sum_{0\le i< m}TS^i\colon C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ とおくと（$D_0=0$）、$\partial D_m+D_m\partial=\mathrm{id}-S^m$ である。

反復細分

$S$ は鎖写像なので $S^i\partial=\partial S^i$ であり、lem-excision-singular-chain の 1 から
$$ \partial D_m+D_m\partial=\sum_{0\le i< m}\bigl(\partial T+T\partial\bigr)S^i=\sum_{0\le i< m}\bigl(S^i-S^{i+1}\bigr)=\mathrm{id}-S^m . $$

小さい単体の鎖への変形の証明

Lebesgue 数

コンパクトな距離空間 $K$（コンパクト空間）の開被覆 $\mathcal{W}$ に対し、正の数 $\varepsilon$ で、直径が $\varepsilon$ 未満の $K$ の部分集合はどれも $\mathcal{W}$ のある成員に含まれるものがある（$\varepsilon$ を $\mathcal{W}$ の Lebesgue 数という）。

Lebesgue 数

要点：コンパクト距離空間の点列が収束部分列をもつことを使い、背理法で示す。

詳しい証明を開く

直径が $\varepsilon$ 未満の空でない集合は、その 1 点を中心とする半径 $\varepsilon$ の開球に含まれる。よって、ある $\varepsilon>0$ について「どの開球 $B(y,\varepsilon)$ もある成員に含まれる」ことを示せばよい。そうでないとすると、各 $k\ge1$ について $B(y_k,1/k)$ がどの成員にも含まれない点 $y_k$ がある。$K$ はコンパクトな距離空間なので部分列が点 $y$ に収束する。$y$ を含む成員 $W$ と、$B(y,r)\subset W$ となる $r>0$ をとる。$d(y_k,y)< r/2$ かつ $1/k< r/2$ となる部分列の番号 $k$ では $B(y_k,1/k)\subset B(y,r)\subset W$ となり、矛盾する。

thm-excision-singular-small-chains を証明する。$\Delta^n$ の直径を $\delta_n$（$n\ge1$ では $\sqrt2$、$\delta_0=0$）と書く。
段 1（細分の回数 $m(\sigma)$）． 特異 $n$ 単体 $\sigma$ に対し、$\sigma$ が $\mathcal{U}$ に小さいときは $m(\sigma):=0$ とする。小さくないときは、「直径が $\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^m\delta_n$ 以下の $\Delta^n$ の部分集合はどれも、ある $j$ について $\sigma^{-1}(\operatorname{int}U_j)$ に含まれる」という条件 $(\mathrm{L}_m)$ を満たす最小の $m\ge0$ を $m(\sigma)$ とする。このような $m$ は存在する。$n=0$ なら $\sigma$ は 1 点で、その点を内部に含む $U_j$ があるので $\sigma$ は小さい。$n\ge1$ なら、$\{\sigma^{-1}(\operatorname{int}U_j)\}$ はコンパクト距離空間 $\Delta^n$ の開被覆なので Lebesgue 数 $\varepsilon$ があり（lem-excision-singular-lebesgue）、$\frac{n}{n+1}<1$ だから $\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^m\delta_n<\varepsilon$ となる $m$ がある。$(\mathrm{L}_m)$ が成り立てば $m$ より大きい番号でも成り立つ。
段 2（$m(\sigma)$ の 2 つの性質）． (a) $i\ge m(\sigma)$ なら $S^i\sigma\in C_n^{\mathcal{U}}(X)$ である。$\sigma$ が小さければ lem-excision-singular-chain の 3 による。小さくなければ、同じ補題の 4 により $S^i\sigma$ は $\operatorname{diam}\lambda\le\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^i\delta_n$ の $\sigma\circ\lambda$ の一次結合であり、$(\mathrm{L}_i)$ から $\lambda(\Delta^n)\subset\sigma^{-1}(\operatorname{int}U_j)$ となる $j$ があるので、$\sigma\circ\lambda$ は小さい。
(b) $\sigma$ の面 $\sigma_k=\sigma\circ d_k$ について $m(\sigma_k)\le m(\sigma)$ である。$\sigma_k$ が小さければ $m(\sigma_k)=0$ である。$\sigma$ が小さければ面も小さい。残るのは両方とも小さくない場合である。面写像 $d_k\colon\Delta^{n-1}\to\Delta^n$ は座標に $0$ を 1 つ挿入する写像なので距離を保つ。$\Delta^{n-1}$ の部分集合 $W$ の直径が $\bigl(\frac{n-1}{n}\bigr)^{m(\sigma)}\delta_{n-1}$ 以下なら、$d_k(W)$ の直径は $\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^{m(\sigma)}\delta_n$ 以下なので、ある $j$ で $d_k(W)\subset\sigma^{-1}(\operatorname{int}U_j)$、すなわち $W\subset\sigma_k^{-1}(\operatorname{int}U_j)$ となる。よって $\sigma_k$ は $(\mathrm{L}_{m(\sigma)})$ を満たし、$m(\sigma_k)\le m(\sigma)$ である。
段 3（$D$ と $\rho$ の定義）． 特異単体 $\sigma$ に対し $D\sigma:=D_{m(\sigma)}\sigma$ と定めて線型に拡張し、$\rho:=\mathrm{id}-\partial D-D\partial$ とおく。$\partial\partial=0$ から
$$ \partial\rho=\partial-\partial D\partial=\rho\partial $$
なので $\rho$ は鎖写像であり、$\partial D+D\partial=\mathrm{id}-\rho$ は定義そのものである。
段 4（$\rho$ の像は小さい鎖）． $m=m(\sigma)$ とすると、lem-excision-singular-iterate から $\partial D_m\sigma=\sigma-S^m\sigma-D_m\partial\sigma$ なので
$$ \rho\sigma=\sigma-\partial D_m\sigma-D\partial\sigma=S^m\sigma+\sum_k(-1)^k\bigl(D_{m(\sigma)}\sigma_k-D_{m(\sigma_k)}\sigma_k\bigr)=S^m\sigma+\sum_k(-1)^k\sum_{m(\sigma_k)\le i< m(\sigma)}TS^i\sigma_k $$
である（段 2 (b) により $m(\sigma_k)\le m(\sigma)$）。段 2 (a) により $S^m\sigma$ と各 $S^i\sigma_k$（$i\ge m(\sigma_k)$）は小さい鎖であり、$T$ は小さい鎖を小さい鎖に写す。よって $\rho\sigma\in C_n^{\mathcal{U}}(X)$ である。
段 5（$\rho\iota=\mathrm{id}$ と部分空間）． $\sigma$ が小さければ面も小さいので、$D\sigma=D_0\sigma=0$、$D\partial\sigma=0$ となり $\rho\sigma=\sigma$ である。また、$\sigma$ の像が $A$ に含まれれば、lem-excision-singular-chain の 3 により $D\sigma$ と $D\partial\sigma$ も $C_\bullet(A)$ に入るので、$\rho\sigma\in C_\bullet(A)$ である。以上で定理が示された。

切除定理の証明

thm-excision-singular-main の (2) を示せばよい（(1) との同値は定理の後で確かめた）。$\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=X$ なので、$\mathcal{U}=\{A,B\}$ に thm-excision-singular-small-chains を使える。$C_n^{\mathcal{U}}(X)$ は $A$ の鎖と $B$ の鎖の和の全体なので $C_n(A+B)$ と書く。

切除定理

段 1（$A$ を法とする）．thm-excision-singular-small-chains の $\rho,D$ は $C_\bullet(A)$ を $C_\bullet(A)$ に写し、$\iota$ も $C_\bullet(A)$ を保つ。$C_\bullet(A)\subset C_\bullet(A+B)$ だから、これらは商の上の写像
$$ \bar\iota\colon C_\bullet(A+B)/C_\bullet(A)\to C_\bullet(X)/C_\bullet(A),\qquad\bar\rho\colon C_\bullet(X)/C_\bullet(A)\to C_\bullet(A+B)/C_\bullet(A),\qquad\bar D $$
を誘導し、商の上でも $\bar\rho\bar\iota=\mathrm{id}$、$\partial\bar D+\bar D\partial=\mathrm{id}-\bar\iota\bar\rho$ が成り立つ。よって $\bar\iota$ は鎖ホモトピー同値であり、ホモロジーの同型を誘導する（ホモロジーの記事の系（鎖ホモトピー同値はホモロジー同型を与える））。
段 2（$B$ の鎖への置き換え）．包含が誘導する鎖写像
$$ C_\bullet(B)/C_\bullet(A\cap B)\to C_\bullet(A+B)/C_\bullet(A) $$
は各次数で同型である。実際、$C_n(A+B)=C_n(A)+C_n(B)$ なので第 2 同型定理から $C_n(B)/\bigl(C_n(B)\cap C_n(A)\bigr)\cong C_n(A+B)/C_n(A)$ であり、自由アーベル群の基底を比べると $C_n(B)\cap C_n(A)=C_n(A\cap B)$（像が $A$ と $B$ の両方に含まれる単体、すなわち $A\cap B$ に含まれる単体の一次結合）である。
段 3（まとめ）．段 2 の同型と段 1 の $\bar\iota$ の合成は、包含 $(B,A\cap B)\hookrightarrow(X,A)$ が誘導する鎖写像 $C_\bullet(B,A\cap B)\to C_\bullet(X,A)$ に等しい。したがってこれはホモロジーの同型 $H_n(B,A\cap B)\cong H_n(X,A)$ を誘導する。

証明は係数を変えても同じである。アーベル群 $G$ について $-\otimes G$ や $\operatorname{Hom}(-,G)$ を施しても、$\bar\rho\bar\iota=\mathrm{id}$ と鎖ホモトピーの式は保たれ、段 2 の同型も保たれるので、係数付きホモロジー $H_n(-;G)$ と特異コホモロジー $H^n(-;G)$ でも切除定理が成り立つ（コホモロジー版は特異コホモロジーの記事の定理（Eilenberg–Steenrod の公理）の切除公理である）。

良い対と商空間

良い対

空間の対 $(X,A)$ が良い対（good pair）であるとは、$A$ が空でない閉集合であり、$A$ のある近傍 $V$ で、$A$ が $V$ の強変位レトラクト（変形レトラクトの記事の定義）になるものがあることをいう。

たとえば $X$ が CW複体で $A$ が空でない部分複体なら $(X,A)$ は良い対である（Hat02 p. 114 と Proposition A.5（p. 523）。この記事では証明しない）。

良い対の相対ホモロジー

$(X,A)$ が良い対で $q\colon X\to X/A$ が商写像なら、$q_*\colon H_n(X,A)\to H_n(X/A,A/A)$ はすべての $n$ で同型であり、$H_n(X/A,A/A)\cong\tilde H_n(X/A)$ である。したがって $H_n(X,A)\cong\tilde H_n(X/A)$ である。

良い対の相対ホモロジー

$V$ を定義の近傍、$*:=q(A)$、$\bar V:=q(V)$ とする。対の写像が誘導する次の図式を考える。
$$ \xymatrix{ H_n(X,A) \ar[r] \ar[d]_{q_*} & H_n(X,V) \ar[d]_{q_*} & H_n(X\setminus A,V\setminus A) \ar[l] \ar[d]^{q_*}\\ H_n(X/A,*) \ar[r] & H_n(X/A,\bar V) & H_n(X/A\setminus *,\bar V\setminus *) \ar[l] } $$
すべての矢印が対の写像から誘導され、対の写像の合成が等しいので図式は可換である。
要点：右の縦の矢印は同相写像から来るので同型、右の 2 本の横の矢印は切除定理で同型、左の 2 本の横の矢印は三対の長完全列と強変位レトラクトの相対ホモロジーの消滅で同型である。

各矢印が同型であることの詳細を開く

右の縦の矢印は同型である。$A$ は閉集合なので $X\setminus A$ は開集合で、商写像で飽和しているから、$q$ は $X\setminus A$ から $X/A\setminus*$ への同相写像であり、$V\setminus A$ を $\bar V\setminus*$ に写す。

右の 2 本の横の矢印は切除定理（thm-excision-singular-main の (1)）で同型である。上の段では $Z=A$ で、$\operatorname{cl}A=A\subset\operatorname{int}V$ である。下の段では $Z=\{*\}$ で、$q^{-1}(*)=A$ が閉集合だから $\{*\}$ は閉集合である。$\operatorname{int}V$ は $A$ を含む開集合で飽和しているので、$q(\operatorname{int}V)$ は $*$ を含む開集合で $\bar V$ に含まれ、$\{*\}\subset\operatorname{int}\bar V$ となる。

左の 2 本の横の矢印も同型である。上の段は三対 $(X,V,A)$ の長完全列（相対ホモロジーと長完全列の記事の命題（三対の長完全列））で、$A$ が $V$ の強変位レトラクトだから $H_n(V,A)=0$（同じ記事の系（強変位レトラクトの相対ホモロジー））であることによる。下の段も三対 $(X/A,\bar V,*)$ について同じ議論をすればよく、そのためには $*$ が $\bar V$ の強変位レトラクトであることを示せばよい。

詳細

強変位レトラクション $H\colon V\times[0,1]\to V$ は $A$ の点を止めるので、$\bar H(q(v),t):=q(H(v,t))$ は写像 $\bar V\times[0,1]\to\bar V$ として矛盾なく定まり、$*$ を止め、$\bar H(\cdot,0)=\mathrm{id}$、$\bar H(\cdot,1)$ は定値写像 $*$ である。連続性を示す。まず $q|_V\colon V\to\bar V$（$\bar V$ には $X/A$ の部分空間の位相を入れる）は商写像である。実際、$O\subset\bar V$ で $q^{-1}(O)\cap V=G\cap V$（$G$ は $X$ の開集合）とする。$*\notin O$ の点 $y=q(x)$ については、$G\setminus A$ が飽和した開集合なので $q(G\setminus A)$ は開集合で、$q(G\setminus A)\cap\bar V=q\bigl((G\cap V)\setminus A\bigr)\subset O$ が $y$ を含む。$*\in O$ なら $A\subset G\cap V$ であり、$G\cap\operatorname{int}V$ は $A$ を含む飽和した開集合なので、$q(G\cap\operatorname{int}V)$ は $*$ を含む開集合で $O$ に含まれる。よって $O$ は $\bar V$ の開集合である。$[0,1]$ は局所コンパクトなので、商写像と $\mathrm{id}_{[0,1]}$ の積 $q|_V\times\mathrm{id}\colon V\times[0,1]\to\bar V\times[0,1]$ も商写像であり（Hat02 Proposition A.17、p. 532。この記事では証明しない）、$\bar H\circ(q|_V\times\mathrm{id})=q\circ H$ は連続だから $\bar H$ は連続である。

以上から、可換図式の左の縦の矢印 $q_*$ も同型である。最後に、相対ホモロジーと長完全列の記事の系（基点を法とする相対ホモロジー）により $H_n(X/A,*)\cong\tilde H_n(X/A)$ である。

良い対でないと、この同型は成り立たないことがある。$X=[0,1]$、$A=X\setminus\{1/2\}$ では $H_1(X,A)\cong\mathbb{Z}$ だが $\tilde H_1(X/A)=0$ である（相対ホモロジーと長完全列の記事の例（反例：商空間のホモロジーと一致しない対））。この $A$ は閉集合でない。

例

Euclid 空間の局所ホモロジーと次元の不変性

$U\subset\mathbb{R}^m$ を開集合、$x\in U$ とすると
$$ H_k(U,U\setminus\{x\})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&(k=m)\\0&(k\ne m)\end{cases} $$
である。したがって、空でない開集合 $U\subset\mathbb{R}^m$ と $V\subset\mathbb{R}^n$ が同相ならば $m=n$ である。

次元の不変性

$m=0$ なら $U$ は 1 点で $U\setminus\{x\}=\emptyset$ なので、一点のホモロジーから主張が従う。$m\ge1$ とする。$Z:=\mathbb{R}^m\setminus U$ は閉集合で、開集合 $\mathbb{R}^m\setminus\{x\}$ に含まれるので、切除定理（thm-excision-singular-main の (1)）を $(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^m\setminus\{x\})$ と $Z$ に使うと
$$ H_k(U,U\setminus\{x\})\cong H_k(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^m\setminus\{x\}) $$
である。$\mathbb{R}^m$ は可縮なので、被約版の対の長完全列（相対ホモロジーと長完全列の記事の命題（被約ホモロジーの対の長完全列））から右辺は $\tilde H_{k-1}(\mathbb{R}^m\setminus\{x\})$ に同型である。$\mathbb{R}^m\setminus\{x\}$ は $y\mapsto x+(y-x)/\lvert y-x\rvert$ で $x$ を中心とする単位球面 $S^{m-1}$ に強変位レトラクトし（途中は線分に沿って動かす）、ホモトピー同値なので、$\tilde H_{k-1}(\mathbb{R}^m\setminus\{x\})\cong\tilde H_{k-1}(S^{m-1})$ である。これは $k-1=m-1$ のとき $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ である（Mayer–Vietoris完全列の記事の命題（球面のホモロジー））。
同相写像 $h\colon U\to V$ は対の同相 $(U,U\setminus\{x\})\to(V,V\setminus\{h(x)\})$ を与えるので、すべての $k$ で $H_k(U,U\setminus\{x\})\cong H_k(V,V\setminus\{h(x)\})$ である。前半により左辺は $k=m$ でだけ、右辺は $k=n$ でだけ $0$ でないので $m=n$ である。

これは Hat02 Theorem 2.26（p. 126）である。一般に、位相空間 $X$ の点 $x$ で $\{x\}$ が閉集合であるとき、群 $H_k(X,X\setminus\{x\})$ を $x$ における局所ホモロジー群という。切除定理により、これは $x$ の任意の開近傍 $U$ について $H_k(U,U\setminus\{x\})$ に等しく、$x$ の近くの位相だけで決まる。$m$ 次元の位相多様体では局所ホモロジーが $m$ 次だけ $\mathbb{Z}$ であり、その生成元の選び方が多様体の向きである（向き付け可能多様体）。

反例

反例：切除定理の仮定を外した場合

閉包が内部に含まれない． $X=[0,1]$、$A=Z=\{0\}$ とする。$\operatorname{cl}Z=\{0\}$ だが $\operatorname{int}A=\emptyset$ である。$X$ は弧状連結で $A$ と交わるので $H_0(X,A)=0$ だが、$(X\setminus Z,A\setminus Z)=((0,1],\emptyset)$ では $H_0=\mathbb{Z}$ である（0 次の相対ホモロジーの計算は相対ホモロジーと長完全列の記事の命題（0 次の相対ホモロジー））。
内部が覆わない． $X=[-1,1]$、$A=[-1,0]$、$B=(0,1]$ とすると $A\cup B=X$ だが、$X$ の中での内部 $[-1,0)$ と $(0,1]$ は点 $0$ を覆わない。$A\cap B=\emptyset$ なので $H_0(B,A\cap B)=H_0(B)\cong\mathbb{Z}$ だが、$H_0(X,A)=0$ である。
小さい単体の鎖． 2 と同じ $\mathcal{U}=\{[-1,0],(0,1]\}$ では、小さい単体はどちらか一方に含まれ、2 つは交わらないので $C_\bullet^{\mathcal{U}}(X)=C_\bullet([-1,0])\oplus C_\bullet((0,1])$ であり、$H_0(C_\bullet^{\mathcal{U}}(X))\cong\mathbb{Z}^2$ となって $H_0(X)\cong\mathbb{Z}$ と一致しない。たとえば $-1$ から $1$ への道をどれだけ細分しても、像に $0$ と正の数の両方を含む単体が残り、それはどの成員にも入らない。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\operatorname{cl}Z\subset\operatorname{int}A$	$X=[0,1]$、$A=Z=\{0\}$	$H_0(X\setminus Z,A\setminus Z)\cong H_0(X,A)$（$\mathbb{Z}$ と $0$）
$\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=X$	$X=[-1,1]$、$A=[-1,0]$、$B=(0,1]$	$H_0(B,A\cap B)\cong H_0(X,A)$（$\mathbb{Z}$ と $0$）
族 $\mathcal{U}$ の内部が $X$ を覆う	$X=[-1,1]$、$\mathcal{U}=\{[-1,0],(0,1]\}$	$H_0(C^{\mathcal{U}}_\bullet(X))\cong H_0(X)$（$\mathbb{Z}^2$ と $\mathbb{Z}$）
良い対（$A$ が閉で近傍が変形レトラクトする）	$X=[0,1]$、$A=X\setminus\{1/2\}$	$H_1(X,A)\cong\tilde H_1(X/A)$（$\mathbb{Z}$ と $0$）

どの反例も、成り立たなくなるのは「包含（または商写像）がホモロジーの同型を誘導する」という結論であり、満たしている性質は「対の各空間のホモロジーが定義され、包含が対の写像である」ことだけである。

補足

細分の回数を単体ごとに変える理由：1 つの $m$ ですべての単体を小さくすることはできない（単体ごとに Lebesgue 数が違う）。そのため段 1 で $m(\sigma)$ を単体ごとに選び、段 4 で面との食い違いの項 $TS^i\sigma_k$ が小さい鎖であることを確かめた。この食い違いを吸収するために、$\rho$ を $S^{m(\sigma)}$ ではなく $\mathrm{id}-\partial D-D\partial$ で定義している。
ほかのホモロジー論：胞体ホモロジーや単体ホモロジーでは、部分複体の対について切除は鎖の段階で成り立つ（単体の集合の比較だけで済む）。特異ホモロジーでは単体が勝手な形をしているので、細分による変形が必要になる。
応用：Mayer–Vietoris完全列は thm-excision-singular-small-chains から直接導かれる。良い対の相対ホモロジー（prop-excision-singular-good-pair）は、胞体複体の骨格の対 $(X^k,X^{k-1})$ のホモロジーを球面の一点和の被約ホモロジーとして計算する出発点であり、胞体ホモロジーの基礎になる。