導関数の中間値の性質

1. $f(x)=x^3-3x$ の導関数 $f'(x)=3x^2-3$ は連続で、$f'(0)=-3$、$f'(2)=9$ である。$-3$ と $9$ の間の値、たとえば $0$ は $x=1$ で、$2$ は $x=\sqrt{\dfrac53}\approx1.291$ でとる。
2. $f(x)=\lvert x\rvert$ は、$x<0$ で $f'(x)=-1$、$x>0$ で $f'(x)=1$ で、$-1$ と $1$ の間の値（たとえば $0$）をどこでもとらない。ただし $f$ は $x=0$ で微分できないので、区間 $[-1,1]$ 全体で微分可能な関数の例にはなっていない。
3. $f(x)=x^2\sin\dfrac1x$（$x\ne0$）、$f(0)=0$ は、すべての点で微分可能だが、導関数 $f'$ は $x=0$ で連続でない（ex-dpd-x2sin）。

1. 区間で連続な関数は、中間値の定理（関数の連続性と中間値の定理（高校数学） の定理「中間値の定理」）により中間値の性質をもつ。
2. 符号関数 $\operatorname{sgn}x$（$x>0$ で $1$、$x=0$ で $0$、$x<0$ で $-1$）は、区間 $[-1,1]$ で中間値の性質をもたない。$\operatorname{sgn}(-1)=-1$ と $\operatorname{sgn}1=1$ の間の $\dfrac12$ を、どの点でもとらない。

$f(x)=x^2$、$[a,b]=[0,1]$ とすると、$f'(0)=0$、$f'(1)=2$ である。間の値 $y=1$ をとる点を探す。
$g(x)=f(x)-yx=x^2-x$ とおく。$g'(x)=2x-1$ で、$g'(0)=-1<0$、$g'(1)=1>0$ である。左端では $g$ は減りながら始まり、右端では増えながら終わるので、$g$ の最小値は端ではなく内部でとる。実際 $g(x)=\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14$ は $x=\dfrac12$ で最小値 $-\dfrac14$ をとり、そこで $g'\left(\dfrac12\right)=0$、すなわち $f'\left(\dfrac12\right)=y=1$ である。

$f(x)=x^3-3x$、$[a,b]=[0,2]$ では、$f'(0)=-3<0<9=f'(2)$ なので、thm-dpd-darboux により $f'(c)=0$ となる $c$（$0< c<2$）がある。実際 $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ なので $c=1$ である。証明の $g$ は $g(x)=f(x)-0\cdot x=f(x)$ で、$f$ は $[0,2]$ で $x=1$ のとき最小値 $-2$ をとる。

$f(x)=x^2\sin\dfrac1x$（$x\ne0$）、$f(0)=0$ とする。
段 1（$x\ne0$ での導関数）．積の微分と合成関数の微分により、$f'(x)=2x\sin\dfrac1x+x^2\cos\dfrac1x\cdot\left(-\dfrac1{x^2}\right)=2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x$ である。
段 2（$x=0$ での微分係数）．$\dfrac{f(h)-f(0)}h=h\sin\dfrac1h$ で、$\left\lvert h\sin\dfrac1h\right\rvert\le\lvert h\rvert$ なので、はさみうちにより $h\to0$ で $0$ に近づく。よって $f'(0)=0$ で、$f$ はすべての点で微分可能である。
段 3（$f'$ は $0$ で連続でない）．自然数 $k$ について、$x=\dfrac1{2k\pi}$ では $\sin\dfrac1x=0$、$\cos\dfrac1x=1$ なので $f'(x)=-1$、$x=\dfrac1{(2k+1)\pi}$ では $\sin\dfrac1x=0$、$\cos\dfrac1x=-1$ なので $f'(x)=1$ である。$k$ を大きくするとどちらの $x$ も $0$ に近づくので、$f'(x)$ は $x\to0$ で極限をもたず（関数の極限の計算）、$f'$ は $0$ で連続でない。

ex-dpd-x2sin の $f$ を $[a,b]=\left[0,\dfrac1\pi\right]$ で考える。$f'(0)=0$、$f'\left(\dfrac1\pi\right)=\dfrac2\pi\sin\pi-\cos\pi=1$ である。thm-dpd-darboux により、間の値 $y=\dfrac12$ について $f'(c)=\dfrac12$ となる $c$（$0< c<\dfrac1\pi$）がある。数値計算では、そのような $c$ のうち最も大きいものは $c\approx0.26547$ で（$\dfrac1\pi\approx0.31831$）、$0$ に近いところにも無数にある（$f'$ が $0$ の近くで $-1$ と $1$ の間を振動するため）。

1. 符号関数 $\operatorname{sgn}x$ は、区間 $[-1,1]$ で微分可能などの関数の導関数にもならない。もし $f'=\operatorname{sgn}$ なら、$\displaystyle\lim_{x\to+0}f'(x)=1$ なので cor-dpd-no-jump により $f'(0)=1$ となるが、$\operatorname{sgn}0=0$ と矛盾する。thm-dpd-darboux を直接使っても、$f'(-1)=-1$、$f'(1)=1$ の間の $\dfrac12$ をとらないことと矛盾する。
2. ガウス記号 $[x]$ は、$1$ を内部に含む区間（たとえば $[0,2]$）で微分可能などの関数の導関数にもならない。$\displaystyle\lim_{x\to1-0}[x]=0$ だが $[1]=1$ だからである（cor-dpd-no-jump の左側極限の場合）。
3. $0$ の右側で導関数に極限があるなら、その値は $f'(0)$ に等しい。たとえば $x\ne0$ で $f'(x)=2x$ となる、$\mathbb R$ で微分可能な $f$ では、cor-dpd-no-jump により $f'(0)=\displaystyle\lim_{x\to+0}2x=0$ でなければならない。

定義域 $D=\{x\mid 0< x<1\text{ または }2< x<3\}$ の上で、$f(x)=0$（$0< x<1$）、$f(x)=x$（$2< x<3$）とする。$f$ は $D$ のすべての点で微分可能で、$f'(x)=0$（$0< x<1$）、$f'(x)=1$（$2< x<3$）である。$f'$ は $0$ と $1$ しかとらず、間の $\dfrac12$ をとらない。thm-dpd-darboux の証明では、最大値・最小値の定理を区間 $[a,b]$ で使ったので、定義域が区間であることが欠かせない。

$k$ を $-1\le k\le1$ の定数とし、$h_k(x)=\sin\dfrac1x$（$x\ne0$）、$h_k(0)=k$ とする。$h_k$ はどの $k$ でも中間値の性質をもつ（下の「詳細」）。
(1) $h_k$ は $0$ で連続でない。$x\to0$ で $\sin\dfrac1x$ は極限をもたない（関数の極限の計算 の例「反例：和の規則の逆」の確認と同じ）からである。
(2) $k\ne0$ なら、$h_k$ は $0$ を含む区間で微分可能などの関数の導関数にもならない。一方 $h_0$ は導関数である。